Theorem ioosshoi 47818

Description: A n-dimensional open interval is a subset of the half-open interval with the same bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ioosshoi	⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)

Proof of Theorem ioosshoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1836	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		ioossico 13579	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
4	1, 3	ixpssixp 46246	. 2 ⊢ (⊤ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵))
5	4	mptru 1576	1 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7427  Xcixp 8936  (,)cioo 13486  [,)cico 13488

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-ioo 13490  df-ico 13492

This theorem is used by: (None)