Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isismty Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isismty 36972
Description: The condition "is an isometry". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isismty ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦

Proof of Theorem isismty
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyval 36971 . . 3 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑀 Ismty 𝑁) = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((π‘“β€˜π‘₯)𝑁(π‘“β€˜π‘¦)))})
21eleq2d 2817 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((π‘“β€˜π‘₯)𝑁(π‘“β€˜π‘¦)))}))
3 f1of 6832 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
43adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
5 elfvdm 6927 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
6 elfvdm 6927 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ dom ∞Met)
7 fex2 7926 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ π‘Œ ∈ dom ∞Met) β†’ 𝐹 ∈ V)
84, 5, 6, 7syl3an 1158 . . . . 5 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ V)
983expib 1120 . . . 4 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ V))
109com12 32 . . 3 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ 𝐹 ∈ V))
11 f1oeq1 6820 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ))
12 fveq1 6889 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
13 fveq1 6889 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
1412, 13oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝑁(π‘“β€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))
1514eqeq2d 2741 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) = ((π‘“β€˜π‘₯)𝑁(π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
16152ralbidv 3216 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((π‘“β€˜π‘₯)𝑁(π‘“β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
1711, 16anbi12d 629 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((π‘“β€˜π‘₯)𝑁(π‘“β€˜π‘¦))) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
1817elab3g 3674 . . 3 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((π‘“β€˜π‘₯)𝑁(π‘“β€˜π‘¦)))} ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
1910, 18syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((π‘“β€˜π‘₯)𝑁(π‘“β€˜π‘¦)))} ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
202, 19bitrd 278 1 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  βˆžMetcxmet 21129   Ismty cismty 36969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-xr 11256  df-xmet 21137  df-ismty 36970
This theorem is referenced by:  ismtycnv  36973  ismtyima  36974  ismtyhmeolem  36975  ismtybndlem  36977  ismtyres  36979  ismrer1  37009  reheibor  37010
  Copyright terms: Public domain W3C validator