Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isismty Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isismty 33930
Description: The condition "is an isometry". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isismty ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem isismty
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyval 33929 . . 3 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)))})
21eleq2d 2836 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)))}))
3 f1of 6279 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
43adantr 466 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → 𝐹:𝑋𝑌)
5 elfvdm 6363 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
6 elfvdm 6363 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom ∞Met)
7 fex2 7272 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝑌 ∈ dom ∞Met) → 𝐹 ∈ V)
84, 5, 6, 7syl3an 1163 . . . . 5 (((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → 𝐹 ∈ V)
983expib 1116 . . . 4 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → 𝐹 ∈ V))
109com12 32 . . 3 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → 𝐹 ∈ V))
11 f1oeq1 6269 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
12 fveq1 6332 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6332 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑦) = (𝐹𝑦))
1412, 13oveq12d 6814 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))
1514eqeq2d 2781 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)) ↔ (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
16152ralbidv 3138 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
1711, 16anbi12d 616 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦))) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
1817elab3g 3508 . . 3 (((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)))} ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
1910, 18syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)))} ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
202, 19bitrd 268 1 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wral 3061  Vcvv 3351  dom cdm 5250  wf 6026  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6796  ∞Metcxmt 19946   Ismty cismty 33927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-xr 10284  df-xmet 19954  df-ismty 33928
This theorem is referenced by:  ismtycnv  33931  ismtyima  33932  ismtyhmeolem  33933  ismtybndlem  33935  ismtyres  33937  ismrer1  33967  reheibor  33968
  Copyright terms: Public domain W3C validator