Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isismty Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isismty 34086
Description: The condition "is an isometry". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isismty ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem isismty
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyval 34085 . . 3 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)))})
21eleq2d 2865 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)))}))
3 f1of 6357 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
43adantr 473 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → 𝐹:𝑋𝑌)
5 elfvdm 6444 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
6 elfvdm 6444 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom ∞Met)
7 fex2 7357 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋𝑌𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝑌 ∈ dom ∞Met) → 𝐹 ∈ V)
84, 5, 6, 7syl3an 1200 . . . . 5 (((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → 𝐹 ∈ V)
983expib 1153 . . . 4 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → 𝐹 ∈ V))
109com12 32 . . 3 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → 𝐹 ∈ V))
11 f1oeq1 6346 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
12 fveq1 6411 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6411 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑦) = (𝐹𝑦))
1412, 13oveq12d 6897 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))
1514eqeq2d 2810 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)) ↔ (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
16152ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
1711, 16anbi12d 625 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦))) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
1817elab3g 3550 . . 3 (((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)))} ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
1910, 18syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝑓𝑥)𝑁(𝑓𝑦)))} ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
202, 19bitrd 271 1 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  {cab 2786  wral 3090  Vcvv 3386  dom cdm 5313  wf 6098  1-1-ontowf1o 6101  cfv 6102  (class class class)co 6879  ∞Metcxmet 20052   Ismty cismty 34083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-map 8098  df-xr 10368  df-xmet 20060  df-ismty 34084
This theorem is referenced by:  ismtycnv  34087  ismtyima  34088  ismtyhmeolem  34089  ismtybndlem  34091  ismtyres  34093  ismrer1  34123  reheibor  34124
  Copyright terms: Public domain W3C validator