Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtyres 35262
 Description: A restriction of an isometry is an isometry. The condition 𝐴 ⊆ 𝑋 is not necessary but makes the proof easier. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyres.2 𝐵 = (𝐹𝐴)
ismtyres.3 𝑆 = (𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))
ismtyres.4 𝑇 = (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ismtyres (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇))

Proof of Theorem ismtyres
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 35255 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
21simprbda 502 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
32adantrr 716 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
4 f1of1 6589 . . . 4 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
53, 4syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
6 simprr 772 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐴𝑋)
7 f1ores 6604 . . 3 ((𝐹:𝑋1-1𝑌𝐴𝑋) → (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴))
85, 6, 7syl2anc 587 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴))
91biimpa 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
109adantrr 716 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
11 ssel 3908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝑢𝐴𝑢𝑋))
12 ssel 3908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝑣𝐴𝑣𝑋))
1311, 12anim12d 611 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋 → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢𝑋𝑣𝑋)))
1413imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑋𝑣𝑋))
15 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑢𝑀𝑦))
16 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑢))
1716oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦)))
1815, 17eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) ↔ (𝑢𝑀𝑦) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦))))
19 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 → (𝑢𝑀𝑦) = (𝑢𝑀𝑣))
20 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑣))
2120oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2219, 21eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢𝑀𝑦) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦)) ↔ (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣))))
2318, 22rspc2v 3581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑋𝑣𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣))))
2414, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣))))
2524imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2625an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2726adantlrl 719 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2827adantlll 717 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
29 ismtyres.3 . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))
3029oveqi 7148 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆𝑣) = (𝑢(𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑣)
31 ovres 7295 . . . . . . . 8 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢(𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑣) = (𝑢𝑀𝑣))
3230, 31syl5eq 2845 . . . . . . 7 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢𝑆𝑣) = (𝑢𝑀𝑣))
3332adantl 485 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑆𝑣) = (𝑢𝑀𝑣))
34 fvres 6664 . . . . . . . . . . 11 (𝑢𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
3534ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
36 fvres 6664 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑣) = (𝐹𝑣))
3736ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝑣) = (𝐹𝑣))
3835, 37oveq12d 7153 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑇(𝐹𝑣)))
39 ismtyres.4 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))
4039oveqi 7148 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢)𝑇(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)(𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝐹𝑣))
41 f1ofun 6592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → Fun 𝐹)
4241adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → Fun 𝐹)
43 f1odm 6594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
4443sseq2d 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐴 ⊆ dom 𝐹𝐴𝑋))
4544biimparc 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
46 funfvima2 6971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑢𝐴 → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹𝐴)))
4742, 45, 46syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑢𝐴 → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹𝐴)))
4847imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑢𝐴) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹𝐴))
49 ismtyres.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (𝐹𝐴)
5048, 49eleqtrrdi 2901 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑢𝐴) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐵)
5150adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐵)
52 funfvima2 6971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑣𝐴 → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹𝐴)))
5342, 45, 52syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑣𝐴 → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹𝐴)))
5453imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹𝐴))
5554, 49eleqtrrdi 2901 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
5655adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
5751, 56ovresd 7296 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝑢)(𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
5840, 57syl5eq 2845 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝑢)𝑇(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
5938, 58eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
6059adantlrr 720 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
6160adantlll 717 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
6228, 33, 613eqtr4d 2843 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
6362ralrimivva 3156 . . . 4 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
6463adantlrl 719 . . 3 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
6510, 64mpdan 686 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
66 xmetres2 22975 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
6729, 66eqeltrid 2894 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 ∈ (∞Met‘𝐴))
6867ad2ant2rl 748 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑆 ∈ (∞Met‘𝐴))
69 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
70 imassrn 5907 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
7149, 70eqsstri 3949 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ ran 𝐹
72 f1ofo 6597 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
73 forn 6568 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
743, 72, 733syl 18 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → ran 𝐹 = 𝑌)
7571, 74sseqtrid 3967 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐵𝑌)
76 xmetres2 22975 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌) → (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
7769, 75, 76syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
7839, 77eqeltrid 2894 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑇 ∈ (∞Met‘𝐵))
7949fveq2i 6648 . . . 4 (∞Met‘𝐵) = (∞Met‘(𝐹𝐴))
8078, 79eleqtrdi 2900 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑇 ∈ (∞Met‘(𝐹𝐴)))
81 isismty 35255 . . 3 ((𝑆 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝑇 ∈ (∞Met‘(𝐹𝐴))) → ((𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴) ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))))
8268, 80, 81syl2anc 587 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴) ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))))
838, 65, 82mpbir2and 712 1 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881   × cxp 5517  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521   “ cima 5522  Fun wfun 6318  –1-1→wf1 6321  –onto→wfo 6322  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ∞Metcxmet 20079   Ismty cismty 35252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8393  df-xr 10670  df-xmet 20087  df-ismty 35253 This theorem is referenced by:  reheibor  35293
 Copyright terms: Public domain W3C validator