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Theorem ismtycnv 36311
Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtycnv ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))

Proof of Theorem ismtycnv
Dummy variables 𝑣 𝑒 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6800 . . . . 5 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
3 f1ocnvdm 7235 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)
43ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝑒 ∈ π‘Œ β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋))
5 f1ocnvdm 7235 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)
65ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝑣 ∈ π‘Œ β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋))
74, 6anim12d 610 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
87adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
98imdistani 570 . . . . . . 7 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
10 oveq1 7368 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦))
11 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’)))
1211oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))
1310, 12eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
14 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
15 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
1615oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
1714, 16eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
1813, 17rspc2v 3592 . . . . . . . . 9 (((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
1918impcom 409 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
2019adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
219, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
22 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
2322adantrr 716 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
24 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = 𝑣)
2524adantrl 715 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = 𝑣)
2623, 25oveq12d 7379 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))) = (𝑒𝑁𝑣))
2726adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))) = (𝑒𝑁𝑣))
2821, 27eqtr2d 2774 . . . . 5 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
2928ralrimivva 3194 . . . 4 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
302, 29jca 513 . . 3 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
3130a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
32 isismty 36310 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
33 isismty 36310 . . 3 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀) ↔ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
3433ancoms 460 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀) ↔ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
3531, 32, 343imtr4d 294 1 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  β—‘ccnv 5636  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  βˆžMetcxmet 20804   Ismty cismty 36307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-xr 11201  df-xmet 20812  df-ismty 36308
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  36313  ismtyhmeo  36314  ismtybnd  36316
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