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Theorem ismtycnv 36973
Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtycnv ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
Proof of Theorem ismtycnv
Dummy variables 𝑣 𝑒 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6844 . . . . 5 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
21adantr 479 . . . 4 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
3 f1ocnvdm 7285 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)
43ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝑒 ∈ π‘Œ β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋))
5 f1ocnvdm 7285 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)
65ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝑣 ∈ π‘Œ β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋))
74, 6anim12d 607 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
87adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
98imdistani 567 . . . . . . 7 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
10 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦))
11 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’)))
1211oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))
1310, 12eqeq12d 2746 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
14 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
15 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
1615oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
1714, 16eqeq12d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
1813, 17rspc2v 3621 . . . . . . . . 9 (((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
1918impcom 406 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
2019adantll 710 . . . . . . 7 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
219, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
22 f1ocnvfv2 7277 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
2322adantrr 713 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
24 f1ocnvfv2 7277 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = 𝑣)
2524adantrl 712 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = 𝑣)
2623, 25oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))) = (𝑒𝑁𝑣))
2726adantlr 711 . . . . . 6 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))) = (𝑒𝑁𝑣))
2821, 27eqtr2d 2771 . . . . 5 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
2928ralrimivva 3198 . . . 4 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
302, 29jca 510 . . 3 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
3130a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
32 isismty 36972 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
33 isismty 36972 . . 3 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀) ↔ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
3433ancoms 457 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀) ↔ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
3531, 32, 343imtr4d 293 1 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  β—‘ccnv 5674  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  βˆžMetcxmet 21129   Ismty cismty 36969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-xr 11256  df-xmet 21137  df-ismty 36970
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  36975  ismtyhmeo  36976  ismtybnd  36978
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