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Theorem ismtycnv 36665
Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtycnv ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
Proof of Theorem ismtycnv
Dummy variables 𝑣 𝑒 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6845 . . . . 5 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
21adantr 481 . . . 4 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
3 f1ocnvdm 7282 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)
43ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝑒 ∈ π‘Œ β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋))
5 f1ocnvdm 7282 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)
65ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝑣 ∈ π‘Œ β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋))
74, 6anim12d 609 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
98imdistani 569 . . . . . . 7 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
10 oveq1 7415 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦))
11 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’)))
1211oveq1d 7423 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))
1310, 12eqeq12d 2748 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘’) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
14 oveq2 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
15 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
1615oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
1714, 16eqeq12d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘£) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
1813, 17rspc2v 3622 . . . . . . . . 9 (((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
1918impcom 408 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
2019adantll 712 . . . . . . 7 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
219, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
22 f1ocnvfv2 7274 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
2322adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
24 f1ocnvfv2 7274 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = 𝑣)
2524adantrl 714 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£)) = 𝑣)
2623, 25oveq12d 7426 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))) = (𝑒𝑁𝑣))
2726adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘’))𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘£))) = (𝑒𝑁𝑣))
2821, 27eqtr2d 2773 . . . . 5 (((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
2928ralrimivva 3200 . . . 4 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))
302, 29jca 512 . . 3 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£))))
3130a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
32 isismty 36664 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
33 isismty 36664 . . 3 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀) ↔ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
3433ancoms 459 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀) ↔ (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) = ((β—‘πΉβ€˜π‘’)𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘£)))))
3531, 32, 343imtr4d 293 1 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  β—‘ccnv 5675  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  βˆžMetcxmet 20928   Ismty cismty 36661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-xr 11251  df-xmet 20936  df-ismty 36662
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  36667  ismtyhmeo  36668  ismtybnd  36670
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