Theorem ismtyhmeolem 37974

Description: Lemma for ismtyhmeo 37975. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
ismtyhmeolem.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
ismtyhmeolem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
ismtyhmeolem.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeolem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem

Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeolem.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2		ismtyhmeolem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		ismtyhmeolem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4		isismty 37971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
6	1, 5	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
8		f1of 6773	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
11	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		ismtycnv 37972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
13	2, 3, 12	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
14	1, 13	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
17		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
18		ismtyima 37973	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
19	10, 11, 15, 16, 17, 18	syl32anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
20		f1ocnv 6785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
21		f1of 6773	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
22	7, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
23		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑤 ∈ 𝑌)
24		ffvelcdm 7026	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
25	22, 23, 24	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
26		ismtyhmeo.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
27	26	blopn 24446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
28	11, 25, 17, 27	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
29	19, 28	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
30	29	ralrimivva 3178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
31		fveq2 6833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩))
32		df-ov 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩)
33	31, 32	eqtr4di 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = (𝑤(ball‘𝑁)𝑟))
34	33	imaeq2d 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) = (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)))
35	34	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽))
36	35	ralxp 5789	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
37	30, 36	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽)
38		blf 24353	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌)
39		ffn 6661	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌 → (ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*))
40		imaeq2 6014	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)))
41	40	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
42	41	ralrn 7033	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
43	3, 38, 39, 42	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
44	37, 43	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)
45	26	mopntopon 24385	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
46	2, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
47		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
48	47	mopnval 24384	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
49	3, 48	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
50	47	mopntopon 24385	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
51	3, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
52	46, 49, 51	tgcn 23198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)))
53	9, 44, 52	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  𝒫 cpw 4553  ⟨cop 4585   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  ran crn 5624   “ cima 5626   Fn wfn 6486  ⟶wf 6487  –1-1-onto→wf1o 6490  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11167  topGenctg 17359  ∞Metcxmet 21296  ballcbl 21298  MetOpencmopn 21301  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23170   Ismty cismty 37968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-topgen 17365  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-cn 23173  df-ismty 37969

This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  37975