Theorem ismtyhmeolem 35958

Description: Lemma for ismtyhmeo 35959. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
ismtyhmeolem.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
ismtyhmeolem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
ismtyhmeolem.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeolem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem

Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeolem.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2		ismtyhmeolem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		ismtyhmeolem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4		isismty 35955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
6	1, 5	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
8		f1of 6714	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
11	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		ismtycnv 35956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
13	2, 3, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
14	1, 13	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
17		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
18		ismtyima 35957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
19	10, 11, 15, 16, 17, 18	syl32anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
20		f1ocnv 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
21		f1of 6714	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
22	7, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
23		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑤 ∈ 𝑌)
24		ffvelrn 6956	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
26		ismtyhmeo.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
27	26	blopn 23654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
28	11, 25, 17, 27	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
29	19, 28	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
30	29	ralrimivva 3117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
31		fveq2 6771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩))
32		df-ov 7274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩)
33	31, 32	eqtr4di 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = (𝑤(ball‘𝑁)𝑟))
34	33	imaeq2d 5968	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) = (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)))
35	34	eleq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽))
36	35	ralxp 5749	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
37	30, 36	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽)
38		blf 23558	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌)
39		ffn 6598	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌 → (ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*))
40		imaeq2 5964	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)))
41	40	eleq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
42	41	ralrn 6961	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
43	3, 38, 39, 42	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
44	37, 43	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)
45	26	mopntopon 23590	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
46	2, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
47		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
48	47	mopnval 23589	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
49	3, 48	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
50	47	mopntopon 23590	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
51	3, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
52	46, 49, 51	tgcn 22401	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)))
53	9, 44, 52	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  𝒫 cpw 4539  ⟨cop 4573   × cxp 5588  ^◡ccnv 5589  ran crn 5591   “ cima 5593   Fn wfn 6427  ⟶wf 6428  –1-1-onto→wf1o 6431  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℝ^*cxr 11009  topGenctg 17146  ∞Metcxmet 20580  ballcbl 20582  MetOpencmopn 20585  TopOnctopon 22057   Cn ccn 22373   Ismty cismty 35952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-topgen 17152  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-top 22041  df-topon 22058  df-bases 22094  df-cn 22376  df-ismty 35953

This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  35959