Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyhmeolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtyhmeolem 36975
Description: Lemma for ismtyhmeo 36976. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyhmeo.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
ismtyhmeo.2 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
ismtyhmeolem.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
ismtyhmeolem.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
ismtyhmeolem.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ismtyhmeolem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem
Dummy variables 𝑒 π‘Ÿ 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyhmeolem.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2 ismtyhmeolem.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 ismtyhmeolem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4 isismty 36972 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
61, 5mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
76simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
8 f1of 6832 . . 3 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
103adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
112adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
12 ismtycnv 36973 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
132, 3, 12syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
141, 13mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16 simprl 767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑀 ∈ π‘Œ)
17 simprr 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
18 ismtyima 36974 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) = ((β—‘πΉβ€˜π‘€)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
1910, 11, 15, 16, 17, 18syl32anc 1376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) = ((β—‘πΉβ€˜π‘€)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
20 f1ocnv 6844 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
21 f1of 6832 . . . . . . . . 9 (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
227, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
23 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ 𝑀 ∈ π‘Œ)
24 ffvelcdm 7082 . . . . . . . 8 ((◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
2522, 23, 24syl2an 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
26 ismtyhmeo.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
2726blopn 24229 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘€)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
2811, 25, 17, 27syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘€)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
2919, 28eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) ∈ 𝐽)
3029ralrimivva 3198 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) ∈ 𝐽)
31 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑧 = βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ© β†’ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§) = ((ballβ€˜π‘)β€˜βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ©))
32 df-ov 7414 . . . . . . . 8 (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) = ((ballβ€˜π‘)β€˜βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ©)
3331, 32eqtr4di 2788 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ© β†’ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§) = (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ))
3433imaeq2d 6058 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ© β†’ (◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) = (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
3534eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ© β†’ ((◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽 ↔ (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) ∈ 𝐽))
3635ralxp 5840 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ Γ— ℝ*)(◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) ∈ 𝐽)
3730, 36sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ Γ— ℝ*)(◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
38 blf 24133 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (ballβ€˜π‘):(π‘Œ Γ— ℝ*)βŸΆπ’« π‘Œ)
39 ffn 6716 . . . 4 ((ballβ€˜π‘):(π‘Œ Γ— ℝ*)βŸΆπ’« π‘Œ β†’ (ballβ€˜π‘) Fn (π‘Œ Γ— ℝ*))
40 imaeq2 6054 . . . . . 6 (𝑒 = ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)))
4140eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑒 = ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽 ↔ (◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽))
4241ralrn 7088 . . . 4 ((ballβ€˜π‘) Fn (π‘Œ Γ— ℝ*) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π‘)(◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ Γ— ℝ*)(◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽))
433, 38, 39, 424syl 19 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π‘)(◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ Γ— ℝ*)(◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽))
4437, 43mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π‘)(◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)
4526mopntopon 24165 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
462, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
47 ismtyhmeo.2 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
4847mopnval 24164 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘)))
493, 48syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘)))
5047mopntopon 24165 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
513, 50syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
5246, 49, 51tgcn 22976 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π‘)(◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)))
539, 44, 52mpbir2and 709 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  π’« cpw 4601  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„*cxr 11251  topGenctg 17387  βˆžMetcxmet 21129  ballcbl 21131  MetOpencmopn 21134  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948   Ismty cismty 36969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-ismty 36970
This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  36976
  Copyright terms: Public domain W3C validator