Theorem ismtyhmeolem 37793

Description: Lemma for ismtyhmeo 37794. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
ismtyhmeolem.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
ismtyhmeolem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
ismtyhmeolem.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeolem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem

Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeolem.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2		ismtyhmeolem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		ismtyhmeolem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4		isismty 37790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
6	1, 5	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
8		f1of 6802	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
11	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		ismtycnv 37791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
13	2, 3, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
14	1, 13	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
17		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
18		ismtyima 37792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
19	10, 11, 15, 16, 17, 18	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
20		f1ocnv 6814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
21		f1of 6802	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
22	7, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
23		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑤 ∈ 𝑌)
24		ffvelcdm 7055	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
26		ismtyhmeo.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
27	26	blopn 24394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
28	11, 25, 17, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
29	19, 28	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
30	29	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
31		fveq2 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩))
32		df-ov 7392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩)
33	31, 32	eqtr4di 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = (𝑤(ball‘𝑁)𝑟))
34	33	imaeq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) = (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)))
35	34	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽))
36	35	ralxp 5807	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
37	30, 36	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽)
38		blf 24301	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌)
39		ffn 6690	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌 → (ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*))
40		imaeq2 6029	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)))
41	40	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
42	41	ralrn 7062	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
43	3, 38, 39, 42	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
44	37, 43	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)
45	26	mopntopon 24333	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
46	2, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
47		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
48	47	mopnval 24332	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
49	3, 48	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
50	47	mopntopon 24333	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
51	3, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
52	46, 49, 51	tgcn 23145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)))
53	9, 44, 52	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  𝒫 cpw 4565  ⟨cop 4597   × cxp 5638  ^◡ccnv 5639  ran crn 5641   “ cima 5643   Fn wfn 6508  ⟶wf 6509  –1-1-onto→wf1o 6512  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝ^*cxr 11213  topGenctg 17406  ∞Metcxmet 21255  ballcbl 21257  MetOpencmopn 21260  TopOnctopon 22803   Cn ccn 23117   Ismty cismty 37787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-topgen 17412  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-top 22787  df-topon 22804  df-bases 22839  df-cn 23120  df-ismty 37788

This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  37794