Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyhmeolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtyhmeolem 36976
Description: Lemma for ismtyhmeo 36977. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyhmeo.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
ismtyhmeo.2 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
ismtyhmeolem.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
ismtyhmeolem.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
ismtyhmeolem.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ismtyhmeolem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem
Dummy variables 𝑒 π‘Ÿ 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyhmeolem.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2 ismtyhmeolem.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 ismtyhmeolem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4 isismty 36973 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
61, 5mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
76simpld 494 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
8 f1of 6833 . . 3 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
103adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
112adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
12 ismtycnv 36974 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
132, 3, 12syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
141, 13mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16 simprl 768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑀 ∈ π‘Œ)
17 simprr 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
18 ismtyima 36975 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ◑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) = ((β—‘πΉβ€˜π‘€)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
1910, 11, 15, 16, 17, 18syl32anc 1377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) = ((β—‘πΉβ€˜π‘€)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
20 f1ocnv 6845 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
21 f1of 6833 . . . . . . . . 9 (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
227, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
23 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ 𝑀 ∈ π‘Œ)
24 ffvelcdm 7083 . . . . . . . 8 ((◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
2522, 23, 24syl2an 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
26 ismtyhmeo.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π‘€)
2726blopn 24230 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘€)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
2811, 25, 17, 27syl3anc 1370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘€)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
2919, 28eqeltrd 2832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) ∈ 𝐽)
3029ralrimivva 3199 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) ∈ 𝐽)
31 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑧 = βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ© β†’ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§) = ((ballβ€˜π‘)β€˜βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ©))
32 df-ov 7415 . . . . . . . 8 (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) = ((ballβ€˜π‘)β€˜βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ©)
3331, 32eqtr4di 2789 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ© β†’ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§) = (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ))
3433imaeq2d 6059 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ© β†’ (◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) = (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
3534eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘€, π‘ŸβŸ© β†’ ((◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽 ↔ (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) ∈ 𝐽))
3635ralxp 5841 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ Γ— ℝ*)(◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ (𝑀(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) ∈ 𝐽)
3730, 36sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ Γ— ℝ*)(◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
38 blf 24134 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (ballβ€˜π‘):(π‘Œ Γ— ℝ*)βŸΆπ’« π‘Œ)
39 ffn 6717 . . . 4 ((ballβ€˜π‘):(π‘Œ Γ— ℝ*)βŸΆπ’« π‘Œ β†’ (ballβ€˜π‘) Fn (π‘Œ Γ— ℝ*))
40 imaeq2 6055 . . . . . 6 (𝑒 = ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)))
4140eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑒 = ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽 ↔ (◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽))
4241ralrn 7089 . . . 4 ((ballβ€˜π‘) Fn (π‘Œ Γ— ℝ*) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π‘)(◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ Γ— ℝ*)(◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽))
433, 38, 39, 424syl 19 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π‘)(◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ Γ— ℝ*)(◑𝐹 β€œ ((ballβ€˜π‘)β€˜π‘§)) ∈ 𝐽))
4437, 43mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π‘)(◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)
4526mopntopon 24166 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
462, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
47 ismtyhmeo.2 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π‘)
4847mopnval 24165 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘)))
493, 48syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘)))
5047mopntopon 24166 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
513, 50syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
5246, 49, 51tgcn 22977 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π‘)(◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)))
539, 44, 52mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„*cxr 11252  topGenctg 17388  βˆžMetcxmet 21130  ballcbl 21132  MetOpencmopn 21135  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949   Ismty cismty 36970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cn 22952  df-ismty 36971
This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  36977
  Copyright terms: Public domain W3C validator