Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyhmeolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtyhmeolem 37266
Description: Lemma for ismtyhmeo 37267. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyhmeo.1 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
ismtyhmeolem.3 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
ismtyhmeolem.4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
ismtyhmeolem.5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ismtyhmeolem (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem
Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyhmeolem.5 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2 ismtyhmeolem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 ismtyhmeolem.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4 isismty 37263 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
61, 5mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
76simpld 494 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
8 f1of 6833 . . 3 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
103adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
112adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 ismtycnv 37264 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
132, 3, 12syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
141, 13mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑤𝑌)
17 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
18 ismtyima 37265 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
1910, 11, 15, 16, 17, 18syl32anc 1376 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
20 f1ocnv 6845 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
21 f1of 6833 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
227, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
23 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑤𝑌)
24 ffvelcdm 7085 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑌𝑋𝑤𝑌) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑋)
2522, 23, 24syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑋)
26 ismtyhmeo.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
2726blopn 24402 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
2811, 25, 17, 27syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
2919, 28eqeltrd 2828 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
3029ralrimivva 3195 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ* (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
31 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩))
32 df-ov 7417 . . . . . . . 8 (𝑤(ball‘𝑁)𝑟) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩)
3331, 32eqtr4di 2785 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = (𝑤(ball‘𝑁)𝑟))
3433imaeq2d 6057 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → (𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) = (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)))
3534eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽))
3635ralxp 5838 . . . 4 (∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ* (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
3730, 36sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽)
38 blf 24306 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌)
39 ffn 6716 . . . 4 ((ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌 → (ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*))
40 imaeq2 6053 . . . . . 6 (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → (𝐹𝑢) = (𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)))
4140eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → ((𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
4241ralrn 7092 . . . 4 ((ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
433, 38, 39, 424syl 19 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
4437, 43mpbird 257 . 2 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
4526mopntopon 24338 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
462, 45syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
47 ismtyhmeo.2 . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
4847mopnval 24337 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
493, 48syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
5047mopntopon 24338 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
513, 50syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5246, 49, 51tgcn 23149 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽)))
539, 44, 52mpbir2and 712 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  𝒫 cpw 4598  cop 4630   × cxp 5670  ccnv 5671  ran crn 5673  cima 5675   Fn wfn 6537  wf 6538  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  (class class class)co 7414  *cxr 11271  topGenctg 17412  ∞Metcxmet 21257  ballcbl 21259  MetOpencmopn 21262  TopOnctopon 22805   Cn ccn 23121   Ismty cismty 37260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cn 23124  df-ismty 37261
This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  37267
  Copyright terms: Public domain W3C validator