Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyhmeolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtyhmeolem 36263
Description: Lemma for ismtyhmeo 36264. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyhmeo.1 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
ismtyhmeolem.3 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
ismtyhmeolem.4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
ismtyhmeolem.5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ismtyhmeolem (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem
Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyhmeolem.5 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2 ismtyhmeolem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 ismtyhmeolem.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4 isismty 36260 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
61, 5mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
76simpld 495 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
8 f1of 6784 . . 3 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
103adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
112adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 ismtycnv 36261 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
132, 3, 12syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
141, 13mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑤𝑌)
17 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
18 ismtyima 36262 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
1910, 11, 15, 16, 17, 18syl32anc 1378 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
20 f1ocnv 6796 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
21 f1of 6784 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
227, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
23 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑤𝑌)
24 ffvelcdm 7032 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑌𝑋𝑤𝑌) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑋)
2522, 23, 24syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑋)
26 ismtyhmeo.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
2726blopn 23856 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
2811, 25, 17, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
2919, 28eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
3029ralrimivva 3197 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ* (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
31 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩))
32 df-ov 7360 . . . . . . . 8 (𝑤(ball‘𝑁)𝑟) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩)
3331, 32eqtr4di 2794 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = (𝑤(ball‘𝑁)𝑟))
3433imaeq2d 6013 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → (𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) = (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)))
3534eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽))
3635ralxp 5797 . . . 4 (∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ* (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
3730, 36sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽)
38 blf 23760 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌)
39 ffn 6668 . . . 4 ((ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌 → (ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*))
40 imaeq2 6009 . . . . . 6 (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → (𝐹𝑢) = (𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)))
4140eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → ((𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
4241ralrn 7038 . . . 4 ((ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
433, 38, 39, 424syl 19 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
4437, 43mpbird 256 . 2 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
4526mopntopon 23792 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
462, 45syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
47 ismtyhmeo.2 . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
4847mopnval 23791 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
493, 48syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
5047mopntopon 23792 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
513, 50syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5246, 49, 51tgcn 22603 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽)))
539, 44, 52mpbir2and 711 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  𝒫 cpw 4560  cop 4592   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  *cxr 11188  topGenctg 17319  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575   Ismty cismty 36257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cn 22578  df-ismty 36258
This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  36264
  Copyright terms: Public domain W3C validator