Theorem ismtyhmeolem 38399

Description: Lemma for ismtyhmeo 38400. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
ismtyhmeolem.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
ismtyhmeolem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
ismtyhmeolem.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeolem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem

Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeolem.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2		ismtyhmeolem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		ismtyhmeolem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4		isismty 38396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
6	1, 5	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
8		f1of 6820	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
11	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		ismtycnv 38397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
13	2, 3, 12	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
14	1, 13	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
17		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
18		ismtyima 38398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
19	10, 11, 15, 16, 17, 18	syl32anc 1403	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
20		f1ocnv 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
21		f1of 6820	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
22	7, 20, 21	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
23		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑤 ∈ 𝑌)
24		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
25	22, 23, 24	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
26		ismtyhmeo.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
27	26	blopn 24636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
28	11, 25, 17, 27	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
29	19, 28	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
30	29	ralrimivva 3206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
31		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩))
32		df-ov 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩)
33	31, 32	eqtr4di 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = (𝑤(ball‘𝑁)𝑟))
34	33	imaeq2d 6062	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) = (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)))
35	34	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽))
36	35	ralxp 5827	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
37	30, 36	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽)
38		blf 24543	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌)
39		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌 → (ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*))
40		imaeq2 6058	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)))
41	40	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
42	41	ralrn 7083	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
43	3, 38, 39, 42	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
44	37, 43	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)
45	26	mopntopon 24575	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
46	2, 45	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
47		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
48	47	mopnval 24574	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
49	3, 48	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
50	47	mopntopon 24575	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
51	3, 50	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
52	46, 49, 51	tgcn 23388	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)))
53	9, 44, 52	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  𝒫 cpw 4561  ⟨cop 4594   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660  ran crn 5662   “ cima 5664   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11241  topGenctg 17489  ∞Metcxmet 21486  ballcbl 21488  MetOpencmopn 21491  TopOnctopon 23046   Cn ccn 23360   Ismty cismty 38393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-topgen 17495  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-top 23030  df-topon 23047  df-bases 23082  df-cn 23363  df-ismty 38394

This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  38400