Theorem ismtyhmeolem 38113

Description: Lemma for ismtyhmeo 38114. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
ismtyhmeolem.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
ismtyhmeolem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
ismtyhmeolem.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeolem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem

Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeolem.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2		ismtyhmeolem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		ismtyhmeolem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4		isismty 38110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦)))))
6	1, 5	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝑁(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
8		f1of 6769	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
11	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		ismtycnv 38111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
13	2, 3, 12	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
14	1, 13	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
17		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
18		ismtyima 38112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
19	10, 11, 15, 16, 17, 18	syl32anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
20		f1ocnv 6781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
21		f1of 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
22	7, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
23		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑤 ∈ 𝑌)
24		ffvelcdm 7022	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
25	22, 23, 24	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋)
26		ismtyhmeo.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
27	26	blopn 24453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
28	11, 25, 17, 27	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → ((◡𝐹‘𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
29	19, 28	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
30	29	ralrimivva 3178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
31		fveq2 6829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩))
32		df-ov 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩)
33	31, 32	eqtr4di 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = (𝑤(ball‘𝑁)𝑟))
34	33	imaeq2d 6014	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) = (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)))
35	34	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽))
36	35	ralxp 5785	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑌 ∀𝑟 ∈ ℝ* (◡𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
37	30, 36	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽)
38		blf 24360	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌)
39		ffn 6657	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌 → (ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*))
40		imaeq2 6010	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → (◡𝐹 “ 𝑢) = (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)))
41	40	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
42	41	ralrn 7029	. . . 4 ⊢ ((ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
43	3, 38, 39, 42	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(◡𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
44	37, 43	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)
45	26	mopntopon 24392	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
46	2, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
47		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
48	47	mopnval 24391	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
49	3, 48	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
50	47	mopntopon 24392	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
51	3, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
52	46, 49, 51	tgcn 23205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(◡𝐹 “ 𝑢) ∈ 𝐽)))
53	9, 44, 52	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  𝒫 cpw 4531  ⟨cop 4563   × cxp 5618  ^◡ccnv 5619  ran crn 5621   “ cima 5623   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  –1-1-onto→wf1o 6486  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11167  topGenctg 17389  ∞Metcxmet 21326  ballcbl 21328  MetOpencmopn 21331  TopOnctopon 22863   Cn ccn 23177   Ismty cismty 38107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-topgen 17395  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-top 22847  df-topon 22864  df-bases 22899  df-cn 23180  df-ismty 38108

This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  38114