Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtybndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtybndlem 36265
Description: Lemma for ismtybnd 36266. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 36260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹𝑧)𝑁(𝐹𝑤)))))
21biimp3a 1469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹𝑧)𝑁(𝐹𝑤))))
32simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
4 f1ocnv 6796 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
5 f1of 6784 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑌𝑋)
76ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑋)
8 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟))
98eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
109rexbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
1110rspcv 3577 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
13 imaeq2 6009 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → (𝐹𝑋) = (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
14 f1ofo 6791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
15 foima 6761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋onto𝑌 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
18 rpxr 12924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
207, 19anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑋𝑟 ∈ ℝ*))
21 ismtyima 36262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ 𝑋𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(𝐹𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
2220, 21syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(𝐹𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
23 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦𝑌)
24 f1ocnvfv2 7223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑦𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) = 𝑦)
253, 23, 24syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) = 𝑦)
2625oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘(𝐹𝑦))(ball‘𝑁)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
2722, 26eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
2817, 27eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝑋) = (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
2913, 28imbitrid 243 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
3029anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
3130reximdva 3165 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
3212, 31syld 47 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
3332ralrimdva 3151 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
34 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
3533, 34jctild 526 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
36353expib 1122 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
3736com12 32 . . 3 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
3837impd 411 . 2 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
39 isbndx 36241 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
40 isbndx 36241 . 2 (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
4138, 39, 403imtr4g 295 1 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  ccnv 5632  cima 5636  wf 6492  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  *cxr 11188  +crp 12915  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  Bndcbnd 36226   Ismty cismty 36257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-bnd 36238  df-ismty 36258
This theorem is referenced by:  ismtybnd  36266
  Copyright terms: Public domain W3C validator