Theorem ismtybndlem 38266

Description: Lemma for ismtybnd 38267. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismtybndlem	⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem ismtybndlem

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isismty 38261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹‘𝑧)𝑁(𝐹‘𝑤)))))
2	1	biimp3a 1489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹‘𝑧)𝑁(𝐹‘𝑤))))
3	2	simpld 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
4		f1ocnv 6814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
5		f1of 6801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
7	6	ffvelcdmda 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋)
8		oveq1 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟))
9	8	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
10	9	rexbidv 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
11	10	rspcv 3576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
13		imaeq2 6041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → (𝐹 “ 𝑋) = (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
14		f1ofo 6809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
15		foima 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
16	3, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
17	16	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
18		rpxr 12997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
20	7, 19	anim12dan 628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*))
21		ismtyima 38263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
22	20, 21	syldan 600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
23		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝑌)
24		f1ocnvfv2 7256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑦)) = 𝑦)
25	3, 23, 24	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑦)) = 𝑦)
26	25	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
27	22, 26	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
28	17, 27	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ 𝑋) = (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
29	13, 28	imbitrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
30	29	anassrs 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
31	30	reximdva 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
32	12, 31	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
33	32	ralrimdva 3161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
34		simp2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
35	33, 34	jctild 533	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
36	35	3expib 1134	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
37	36	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
38	37	impd 414	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
39		isbndx 38242	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
40		isbndx 38242	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
41	38, 39, 40	3imtr4g 298	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ^◡ccnv 5642   “ cima 5646  ⟶wf 6512  –onto→wfo 6514  –1-1-onto→wf1o 6515  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝ^*cxr 11209  ℝ⁺crp 12987  ∞Metcxmet 21397  ballcbl 21399  Bndcbnd 38227   Ismty cismty 38258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-ec 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-bnd 38239  df-ismty 38259

This theorem is referenced by:  ismtybnd  38267