Theorem ismtybndlem 38340

Description: Lemma for ismtybnd 38341. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismtybndlem	⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem ismtybndlem

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isismty 38335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹‘𝑧)𝑁(𝐹‘𝑤)))))
2	1	biimp3a 1495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹‘𝑧)𝑁(𝐹‘𝑤))))
3	2	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
4		f1ocnv 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
5		f1of 6818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
7	6	ffvelcdmda 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋)
8		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟))
9	8	eqeq2d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
10	9	rexbidv 3195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
11	10	rspcv 3586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
12	7, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
13		imaeq2 6056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → (𝐹 “ 𝑋) = (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
14		f1ofo 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
15		foima 6795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
16	3, 14, 15	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
18		rpxr 13022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
20	7, 19	anim12dan 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*))
21		ismtyima 38337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
22	20, 21	syldan 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
23		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝑌)
24		f1ocnvfv2 7273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑦)) = 𝑦)
25	3, 23, 24	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑦)) = 𝑦)
26	25	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
27	22, 26	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
28	17, 27	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ 𝑋) = (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
29	13, 28	imbitrid 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
30	29	anassrs 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
31	30	reximdva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
32	12, 31	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
33	32	ralrimdva 3171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
34		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
35	33, 34	jctild 534	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
36	35	3expib 1138	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
37	36	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
38	37	impd 415	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
39		isbndx 38316	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
40		isbndx 38316	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
41	38, 39, 40	3imtr4g 299	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6530  –onto→wfo 6532  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℝ^*cxr 11238  ℝ⁺crp 13012  ∞Metcxmet 21472  ballcbl 21474  Bndcbnd 38301   Ismty cismty 38332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-ec 8692  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-bnd 38313  df-ismty 38333

This theorem is referenced by:  ismtybnd  38341