Theorem ismtybndlem 38515

Description: Lemma for ismtybnd 38516. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismtybndlem	⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem ismtybndlem

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isismty 38510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹‘𝑧)𝑁(𝐹‘𝑤)))))
2	1	biimp3a 1498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹‘𝑧)𝑁(𝐹‘𝑤))))
3	2	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
4		f1ocnv 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
5		f1of 6824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
7	6	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋)
8		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟))
9	8	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
10	9	rexbidv 3191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
11	10	rspcv 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
12	7, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
13		imaeq2 6060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → (𝐹 “ 𝑋) = (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
14		f1ofo 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
15		foima 6801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
16	3, 14, 15	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
18		rpxr 13042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
20	7, 19	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*))
21		ismtyima 38512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
22	20, 21	syldan 603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
23		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝑌)
24		f1ocnvfv2 7284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑦)) = 𝑦)
25	3, 23, 24	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑦)) = 𝑦)
26	25	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
27	22, 26	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
28	17, 27	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ 𝑋) = (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
29	13, 28	imbitrid 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
30	29	anassrs 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
31	30	reximdva 3180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
32	12, 31	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
33	32	ralrimdva 3167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
34		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
35	33, 34	jctild 535	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
36	35	3expib 1140	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
37	36	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
38	37	impd 416	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
39		isbndx 38491	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
40		isbndx 38491	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
41	38, 39, 40	3imtr4g 299	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝ^*cxr 11257  ℝ⁺crp 13032  ∞Metcxmet 21557  ballcbl 21559  Bndcbnd 38476   Ismty cismty 38507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-ec 8702  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-bnd 38488  df-ismty 38508

This theorem is used by:  ismtybnd  38516