Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtybndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtybndlem 34092
Description: Lemma for ismtybnd 34093. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 34087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹𝑧)𝑁(𝐹𝑤)))))
21biimp3a 1594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹𝑧)𝑁(𝐹𝑤))))
32simpld 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
4 f1ocnv 6368 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
5 f1of 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑌𝑋)
76ffvelrnda 6585 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑋)
8 oveq1 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟))
98eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
109rexbidv 3233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
1110rspcv 3493 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
13 imaeq2 5679 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → (𝐹𝑋) = (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
14 f1ofo 6363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
15 foima 6336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋onto𝑌 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
1716adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
18 rpxr 12085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
1918adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
207, 19anim12dan 613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑋𝑟 ∈ ℝ*))
21 ismtyima 34089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ 𝑋𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(𝐹𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
2220, 21syldan 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(𝐹𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
23 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦𝑌)
24 f1ocnvfv2 6761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑦𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) = 𝑦)
253, 23, 24syl2an 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) = 𝑦)
2625oveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘(𝐹𝑦))(ball‘𝑁)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
2722, 26eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
2817, 27eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝑋) = (𝐹 “ ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
2913, 28syl5ib 236 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
3029anassrs 460 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
3130reximdva 3197 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((𝐹𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
3212, 31syld 47 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦𝑌) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
3332ralrimdva 3150 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
34 simp2 1168 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
3533, 34jctild 522 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
36353expib 1153 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
3736com12 32 . . 3 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
3837impd 399 . 2 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
39 isbndx 34068 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
40 isbndx 34068 . 2 (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦𝑌𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
4138, 39, 403imtr4g 288 1 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  ccnv 5311  cima 5315  wf 6097  ontowfo 6099  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6878  *cxr 10362  +crp 12074  ∞Metcxmet 20053  ballcbl 20055  Bndcbnd 34053   Ismty cismty 34084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-er 7982  df-ec 7984  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-bnd 34065  df-ismty 34085
This theorem is referenced by:  ismtybnd  34093
  Copyright terms: Public domain W3C validator