Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtybndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtybndlem 36674
Description: Lemma for ismtybnd 36675. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 36669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑀) = ((πΉβ€˜π‘§)𝑁(πΉβ€˜π‘€)))))
21biimp3a 1470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑀) = ((πΉβ€˜π‘§)𝑁(πΉβ€˜π‘€))))
32simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
4 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
5 f1of 6834 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
76ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
8 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
98eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) β†’ (𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ 𝑋 = ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
109rexbidv 3179 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
1110rspcv 3609 . . . . . . . . 9 ((β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
13 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) = (𝐹 β€œ ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
14 f1ofo 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
15 foima 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) = π‘Œ)
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) = π‘Œ)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) = π‘Œ)
18 rpxr 12983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
207, 19anim12dan 620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*))
21 ismtyima 36671 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (𝐹 β€œ ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘¦))(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ))
2220, 21syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹 β€œ ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘¦))(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ))
23 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
24 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
253, 23, 24syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
2625oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘¦))(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ))
2722, 26eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹 β€œ ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ))
2817, 27eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑋) = (𝐹 β€œ ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) ↔ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
2913, 28imbitrid 243 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 = ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
3029anassrs 469 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑋 = ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
3130reximdva 3169 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = ((β—‘πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
3212, 31syld 47 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
3332ralrimdva 3155 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
34 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
3533, 34jctild 527 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ))))
36353expib 1123 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))))
3736com12 32 . . 3 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))))
3837impd 412 . 2 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) β†’ (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ))))
39 isbndx 36650 . 2 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (π‘₯(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
40 isbndx 36650 . 2 (𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
4138, 39, 403imtr4g 296 1 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„*cxr 11247  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  Bndcbnd 36635   Ismty cismty 36666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-bnd 36647  df-ismty 36667
This theorem is referenced by:  ismtybnd  36675
  Copyright terms: Public domain W3C validator