Theorem ismtybndlem 38557

Description: Lemma for ismtybnd 38558. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismtybndlem	⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem ismtybndlem

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isismty 38552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹‘𝑧)𝑁(𝐹‘𝑤)))))
2	1	biimp3a 1498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝑧𝑀𝑤) = ((𝐹‘𝑧)𝑁(𝐹‘𝑤))))
3	2	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
4		f1ocnv 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
5		f1of 6818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
7	6	ffvelcdmda 7078	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋)
8		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟))
9	8	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
10	9	rexbidv 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝑦) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
11	10	rspcv 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
12	7, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
13		imaeq2 6052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → (𝐹 “ 𝑋) = (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)))
14		f1ofo 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
15		foima 6795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
16	3, 14, 15	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ 𝑋) = 𝑌)
18		rpxr 13053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
20	7, 19	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*))
21		ismtyima 38554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ ((◡𝐹‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
22	20, 21	syldan 603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟))
23		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝑌)
24		f1ocnvfv2 7279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑦)) = 𝑦)
25	3, 23, 24	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑦)) = 𝑦)
26	25	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑦))(ball‘𝑁)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
27	22, 26	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))
28	17, 27	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ 𝑋) = (𝐹 “ ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
29	13, 28	imbitrid 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
30	29	anassrs 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
31	30	reximdva 3175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = ((◡𝐹‘𝑦)(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
32	12, 31	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
33	32	ralrimdva 3162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
34		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
35	33, 34	jctild 535	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
36	35	3expib 1140	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
37	36	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))))
38	37	impd 416	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) → (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟))))
39		isbndx 38533	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
40		isbndx 38533	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑌 = (𝑦(ball‘𝑁)𝑟)))
41	38, 39, 40	3imtr4g 299	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6529  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11267  ℝ⁺crp 13043  ∞Metcxmet 21571  ballcbl 21573  Bndcbnd 38518   Ismty cismty 38549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-ec 8699  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-bnd 38530  df-ismty 38550

This theorem is used by:  ismtybnd  38558