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Theorem ismtyima 37305
Description: The image of a ball under an isometry is another ball. (Contributed by Jeff Madsen, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtyima (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅))

Proof of Theorem ismtyima
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 6067 . . . . 5 (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) βŠ† ran 𝐹
2 isismty 37303 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))))
32biimp3a 1465 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
43adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
54simpld 493 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
6 f1of 6832 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
87frnd 6723 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ ran 𝐹 βŠ† π‘Œ)
91, 8sstrid 3983 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) βŠ† π‘Œ)
109sseld 3971 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
11 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
12 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
13 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
147, 12, 13syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
15 simprr 771 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
16 blssm 24340 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅) βŠ† π‘Œ)
1711, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅) βŠ† π‘Œ)
1817sseld 3971 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
19 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2019adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
21 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
22 simplrl 775 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
23 f1ocnv 6844 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
24 f1of 6832 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
255, 23, 243syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
26 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)
2725, 26sylan 578 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)
28 elbl2 24312 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅) ↔ (𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑅))
2920, 21, 22, 27, 28syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅) ↔ (𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑅))
304simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))
31 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑃 β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = (𝑃𝑀𝑦))
32 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑃 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
3332oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑃 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)))
3431, 33eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑃 β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑃𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))))
35 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘₯) β†’ (𝑃𝑀𝑦) = (𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
36 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
3736oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
3835, 37eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘₯) β†’ ((𝑃𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))))
3934, 38rspc2v 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))))
4039impancom 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) = ((πΉβ€˜π‘₯)𝑁(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋 β†’ (𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))))
4112, 30, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋 β†’ (𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))))
4241imp 405 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
4327, 42syldan 589 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
4443breq1d 5151 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑃𝑀(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑅 ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))) < 𝑅))
4529, 44bitrd 278 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))) < 𝑅))
46 f1of1 6831 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
475, 46syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
4847adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
49 blssm 24340 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋)
5019, 12, 15, 49syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋)
5150adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋)
52 f1elima 7267 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
5348, 27, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
5411adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
5514adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
56 f1ocnvfv2 7280 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
575, 56sylan 578 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
58 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
5957, 58eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ π‘Œ)
60 elbl2 24312 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))) < 𝑅))
6154, 21, 55, 59, 60syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝑁(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))) < 𝑅))
6245, 53, 613bitr4d 310 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅)))
6357eleq1d 2810 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅))))
6457eleq1d 2810 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅) ↔ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅)))
6562, 63, 643bitr3d 308 . . . 4 ((((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅)))
6665ex 411 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅))))
6710, 18, 66pm5.21ndd 378 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅)))
6867eqrdv 2723 1 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑅)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π‘)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5669  ran crn 5671   β€œ cima 5673  βŸΆwf 6537  β€“1-1β†’wf1 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„*cxr 11275   < clt 11276  βˆžMetcxmet 21266  ballcbl 21268   Ismty cismty 37300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-map 8843  df-xr 11280  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-bl 21276  df-ismty 37301
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  37306  ismtybndlem  37308
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