Theorem ismtyhmeo 38019

Description: An isometry is a homeomorphism on the induced topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeo	⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
2		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
3		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
6	1, 2, 3, 4, 5	ismtyhmeolem 38018	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7		ismtycnv 38016	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
8	7	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
9	2, 1, 4, 3, 8	ismtyhmeolem 38018	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
10		ishmeo 23708	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
11	6, 9, 10	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
12	11	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾)))
13	12	ssrdv 3940	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ^◡ccnv 5624  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ∞Metcxmet 21299  MetOpencmopn 21304   Cn ccn 23173  Homeochmeo 23702   Ismty cismty 38012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-xneg 13031  df-xadd 13032  df-xmul 13033  df-topgen 17368  df-psmet 21306  df-xmet 21307  df-bl 21309  df-mopn 21310  df-top 22843  df-topon 22860  df-bases 22895  df-cn 23176  df-hmeo 23704  df-ismty 38013

This theorem is referenced by:  reheibor  38053