Theorem ismtyhmeo 36464

Description: An isometry is a homeomorphism on the induced topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeo	⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
2		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
3		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
5		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
6	1, 2, 3, 4, 5	ismtyhmeolem 36463	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7		ismtycnv 36461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
8	7	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
9	2, 1, 4, 3, 8	ismtyhmeolem 36463	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
10		ishmeo 23189	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
11	6, 9, 10	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
12	11	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾)))
13	12	ssrdv 3983	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3943  ^◡ccnv 5667  ‘cfv 6531  (class class class)co 7392  ∞Metcxmet 20860  MetOpencmopn 20865   Cn ccn 22654  Homeochmeo 23183   Ismty cismty 36457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168  ax-pre-sup 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-er 8685  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11853  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12454  df-z 12540  df-uz 12804  df-q 12914  df-rp 12956  df-xneg 13073  df-xadd 13074  df-xmul 13075  df-topgen 17370  df-psmet 20867  df-xmet 20868  df-bl 20870  df-mopn 20871  df-top 22322  df-topon 22339  df-bases 22375  df-cn 22657  df-hmeo 23185  df-ismty 36458

This theorem is referenced by:  reheibor  36498