Theorem ismtyhmeo 38931

Description: An isometry is a homeomorphism on the induced topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeo	⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
2		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
3		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
6	1, 2, 3, 4, 5	ismtyhmeolem 38930	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7		ismtycnv 38928	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
8	7	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
9	2, 1, 4, 3, 8	ismtyhmeolem 38930	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
10		ishmeo 24108	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
11	6, 9, 10	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
12	11	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾)))
13	12	ssrdv 3919	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ^◡ccnv 5654  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ∞Metcxmet 21693  MetOpencmopn 21698   Cn ccn 23572  Homeochmeo 24102   Ismty cismty 38924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294  df-cn 23575  df-hmeo 24104  df-ismty 38925

This theorem is used by:  reheibor  38965