Theorem ismtyhmeo 36019

Description: An isometry is a homeomorphism on the induced topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeo	⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
2		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
3		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
5		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
6	1, 2, 3, 4, 5	ismtyhmeolem 36018	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7		ismtycnv 36016	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
8	7	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
9	2, 1, 4, 3, 8	ismtyhmeolem 36018	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
10		ishmeo 22982	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
11	6, 9, 10	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
12	11	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾)))
13	12	ssrdv 3937	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3897  ^◡ccnv 5606  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  ∞Metcxmet 20654  MetOpencmopn 20659   Cn ccn 22447  Homeochmeo 22976   Ismty cismty 36012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-sup 9271  df-inf 9272  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-q 12762  df-rp 12804  df-xneg 12921  df-xadd 12922  df-xmul 12923  df-topgen 17224  df-psmet 20661  df-xmet 20662  df-bl 20664  df-mopn 20665  df-top 22115  df-topon 22132  df-bases 22168  df-cn 22450  df-hmeo 22978  df-ismty 36013

This theorem is referenced by:  reheibor  36053