Theorem ismtyhmeo 37771

Description: An isometry is a homeomorphism on the induced topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyhmeo.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ismtyhmeo	⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyhmeo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
2		ismtyhmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
3		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
6	1, 2, 3, 4, 5	ismtyhmeolem 37770	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7		ismtycnv 37768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
8	7	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
9	2, 1, 4, 3, 8	ismtyhmeolem 37770	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
10		ishmeo 23713	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
11	6, 9, 10	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
12	11	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾)))
13	12	ssrdv 3969	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑀 Ismty 𝑁) ⊆ (𝐽Homeo𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  ^◡ccnv 5664  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ∞Metcxmet 21311  MetOpencmopn 21316   Cn ccn 23178  Homeochmeo 23707   Ismty cismty 37764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-topgen 17459  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-top 22848  df-topon 22865  df-bases 22900  df-cn 23181  df-hmeo 23709  df-ismty 37765

This theorem is referenced by:  reheibor  37805