Theorem ismtybnd 38491

Description: Isometries preserve boundedness. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismtybnd	⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem ismtybnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtybndlem 38490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))
2	1	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))
3		ismtycnv 38486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
4	3	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
5		ismtybndlem 38490	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) → (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋)))
6	5	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) → (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋)))
7	4, 6	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋)))
8	2, 7	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146  ^◡ccnv 5662  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ∞Metcxmet 21537  Bndcbnd 38451   Ismty cismty 38482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-ec 8698  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-bnd 38463  df-ismty 38483

This theorem is used by:  reheibor  38523