Theorem rneq 5933

Description: Equality theorem for range. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
rneq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Proof of Theorem rneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5871	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ◡𝐴 = ◡𝐵)
2	1	dmeqd 5903	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom ◡𝐴 = dom ◡𝐵)
3		df-rn 5686	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
4		df-rn 5686	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686

This theorem is referenced by:  rneqi  5934  rneqd  5935  feq1  6695  foeq1  6798  fnrnfv  6948  fconst5  7203  frxp  8108  tz7.44-2  8403  tz7.44-3  8404  ixpsnf1o  8928  ordtypecbv  9508  ordtypelem3  9511  dfac8alem  10020  dfac8a  10021  dfac5lem3  10116  dfac9  10127  dfac12lem1  10134  dfac12r  10137  ackbij2  10234  isfin3ds  10320  fin23lem17  10329  fin23lem29  10332  fin23lem30  10333  fin23lem32  10335  fin23lem34  10337  fin23lem35  10338  fin23lem39  10341  fin23lem41  10343  isf33lem  10357  isf34lem6  10371  dcomex  10438  axdc2lem  10439  zorn2lem1  10487  zorn2g  10494  ttukey2g  10507  gruurn  10789  rpnnen1lem6  12962  relexp0g  14965  relexpsucnnr  14968  dfrtrcl2  15005  mpfrcl  21639  selvval  21672  ply1frcl  21828  pnrmopn  22838  isi1f  25182  itg1val  25191  madeval  27336  axlowdimlem13  28201  axlowdim1  28206  ausgrusgri  28417  0uhgrsubgr  28525  cusgrsize  28700  ex-rn  29682  gidval  29752  grpoinvfval  29762  grpodivfval  29774  isablo  29786  vciOLD  29801  isvclem  29817  isnvlem  29850  isphg  30057  pj11i  30951  hmopidmch  31393  hmopidmpj  31394  pjss1coi  31403  padct  31931  tocyc01  32264  tocyccntz  32290  locfinreflem  32808  locfinref  32809  issibf  33320  sitgfval  33328  mrsubvrs  34501  rdgprc0  34753  rdgprc  34754  dfrdg2  34755  brrangeg  34896  poimirlem24  36500  volsupnfl  36521  elghomlem1OLD  36741  isdivrngo  36806  iscom2  36851  elrefrels2  37376  elrefrels3  37377  refreleq  37379  elcnvrefrels2  37392  elcnvrefrels3  37393  dnnumch1  41771  aomclem3  41783  aomclem8  41788  rclexi  42351  rtrclex  42353  rtrclexi  42357  cnvrcl0  42361  dfrtrcl5  42365  dfrcl2  42410  csbima12gALTVD  43643  unirnmap  43892  ssmapsn  43900  sge0val  45068  vonvolmbl  45363