Theorem rneq 5891

Description: Equality theorem for range. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
rneq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Proof of Theorem rneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5828	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ◡𝐴 = ◡𝐵)
2	1	dmeqd 5860	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom ◡𝐴 = dom ◡𝐵)
3		df-rn 5642	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
4		df-rn 5642	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642

This theorem is referenced by:  rneqi  5892  rneqd  5893  feq1  6646  foeq1  6748  fnrnfv  6899  fconst5  7161  frxp  8076  tz7.44-2  8346  tz7.44-3  8347  ixpsnf1o  8886  ordtypecbv  9432  ordtypelem3  9435  dfac8alem  9951  dfac8a  9952  dfac5lem3  10047  dfac9  10059  dfac12lem1  10066  dfac12r  10069  ackbij2  10164  isfin3ds  10251  fin23lem17  10260  fin23lem29  10263  fin23lem30  10264  fin23lem32  10266  fin23lem34  10268  fin23lem35  10269  fin23lem39  10272  fin23lem41  10274  isf33lem  10288  isf34lem6  10302  dcomex  10369  axdc2lem  10370  zorn2lem1  10418  zorn2g  10425  ttukey2g  10438  gruurn  10721  rpnnen1lem6  12932  relexp0g  14984  relexpsucnnr  14987  dfrtrcl2  15024  mpfrcl  22063  selvval  22101  ply1frcl  22283  pnrmopn  23308  isi1f  25641  itg1val  25650  madeval  27824  axlowdimlem13  29023  axlowdim1  29028  ausgrusgri  29237  0uhgrsubgr  29348  cusgrsize  29523  ex-rn  30510  gidval  30583  grpoinvfval  30593  grpodivfval  30605  isablo  30617  vciOLD  30632  isvclem  30648  isnvlem  30681  isphg  30888  pj11i  31782  hmopidmch  32224  hmopidmpj  32225  pjss1coi  32234  padct  32791  tocyc01  33179  tocyccntz  33205  unitprodclb  33449  esplyfvaln  33718  esplyind  33719  locfinreflem  33984  locfinref  33985  issibf  34477  sitgfval  34485  onvf1odlem3  35287  mrsubvrs  35704  rdgprc0  35973  rdgprc  35974  dfrdg2  35975  brrangeg  36116  poimirlem24  37965  volsupnfl  37986  elghomlem1OLD  38206  isdivrngo  38271  iscom2  38316  elrefrels2  38919  elrefrels3  38920  refreleq  38922  elcnvrefrels2  38935  elcnvrefrels3  38936  dnnumch1  43472  aomclem3  43484  aomclem8  43489  rclexi  44042  rtrclex  44044  rtrclexi  44048  cnvrcl0  44052  dfrtrcl5  44056  dfrcl2  44101  csbima12gALTVD  45323  modelaxreplem1  45405  modelaxreplem2  45406  modelaxrep  45408  unirnmap  45637  ssmapsn  45645  sge0val  46794  vonvolmbl  47089