Theorem rneq 5876

Description: Equality theorem for range. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
rneq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Proof of Theorem rneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5813	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ◡𝐴 = ◡𝐵)
2	1	dmeqd 5845	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom ◡𝐴 = dom ◡𝐵)
3		df-rn 5627	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
4		df-rn 5627	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2791	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616  ran crn 5617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627

This theorem is referenced by:  rneqi  5877  rneqd  5878  feq1  6629  foeq1  6731  fnrnfv  6881  fconst5  7140  frxp  8056  tz7.44-2  8326  tz7.44-3  8327  ixpsnf1o  8862  ordtypecbv  9403  ordtypelem3  9406  dfac8alem  9920  dfac8a  9921  dfac5lem3  10016  dfac9  10028  dfac12lem1  10035  dfac12r  10038  ackbij2  10133  isfin3ds  10220  fin23lem17  10229  fin23lem29  10232  fin23lem30  10233  fin23lem32  10235  fin23lem34  10237  fin23lem35  10238  fin23lem39  10241  fin23lem41  10243  isf33lem  10257  isf34lem6  10271  dcomex  10338  axdc2lem  10339  zorn2lem1  10387  zorn2g  10394  ttukey2g  10407  gruurn  10689  rpnnen1lem6  12880  relexp0g  14929  relexpsucnnr  14932  dfrtrcl2  14969  mpfrcl  22021  selvval  22051  ply1frcl  22234  pnrmopn  23259  isi1f  25603  itg1val  25612  madeval  27794  axlowdimlem13  28933  axlowdim1  28938  ausgrusgri  29147  0uhgrsubgr  29258  cusgrsize  29434  ex-rn  30418  gidval  30490  grpoinvfval  30500  grpodivfval  30512  isablo  30524  vciOLD  30539  isvclem  30555  isnvlem  30588  isphg  30795  pj11i  31689  hmopidmch  32131  hmopidmpj  32132  pjss1coi  32141  padct  32699  tocyc01  33085  tocyccntz  33111  unitprodclb  33352  locfinreflem  33851  locfinref  33852  issibf  34344  sitgfval  34352  onvf1odlem3  35147  mrsubvrs  35564  rdgprc0  35833  rdgprc  35834  dfrdg2  35835  brrangeg  35976  poimirlem24  37690  volsupnfl  37711  elghomlem1OLD  37931  isdivrngo  37996  iscom2  38041  elrefrels2  38561  elrefrels3  38562  refreleq  38564  elcnvrefrels2  38577  elcnvrefrels3  38578  dnnumch1  43083  aomclem3  43095  aomclem8  43100  rclexi  43654  rtrclex  43656  rtrclexi  43660  cnvrcl0  43664  dfrtrcl5  43668  dfrcl2  43713  csbima12gALTVD  44935  modelaxreplem1  45017  modelaxreplem2  45018  modelaxrep  45020  unirnmap  45251  ssmapsn  45259  sge0val  46410  vonvolmbl  46705