Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkid1 40621
Description: Lemma for cdlemkid 40635. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))

Proof of Theorem cdlemkid1
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . . 3 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
21oveq1i 7434 . 2 (𝑍 (𝑅𝑏)) = (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏))
3 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp3rl 1243 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏𝑇)
6 simp3rr 1244 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11trlnidat 39872 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐴)
134, 5, 6, 12syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐴)
14 simp3ll 1241 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐴)
15 cdlemk5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
167, 15, 8hlatjcl 39065 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵)
173, 14, 13, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵)
183hllatd 39062 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ Lat)
19 simp22 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑁𝑇)
207, 8atbase 38987 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2114, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐵)
227, 9, 10ltrncl 39824 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐵) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐵)
234, 19, 21, 22syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐵)
24 simp21 1203 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐹𝑇)
259, 10ltrncnv 39845 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
264, 24, 25syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐹𝑇)
279, 10ltrnco 40418 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝐹𝑇) → (𝑏𝐹) ∈ 𝑇)
284, 5, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑏𝐹) ∈ 𝑇)
297, 9, 10, 11trlcl 39863 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑏𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵)
304, 28, 29syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵)
317, 15latjcl 18464 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵)
3218, 23, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵)
33 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3433, 15, 8hlatlej2 39074 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏)))
353, 14, 13, 34syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏)))
36 cdlemk5.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
377, 33, 15, 36, 8atmod2i1 39560 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
383, 13, 17, 32, 35, 37syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
397, 8atbase 38987 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
4013, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
417, 9, 10, 11trlcl 39863 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇) → (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)
424, 19, 41syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)
437, 15latj32 18510 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
4418, 21, 40, 42, 43syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
45 simp3l 1198 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4633, 15, 8, 9, 10, 11trljat3 39867 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)))
474, 19, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)))
4847oveq1d 7439 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
497, 15latjass 18508 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
5018, 23, 42, 40, 49syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
5144, 48, 503eqtrd 2770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
527, 15latjass 18508 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
5318, 23, 30, 40, 52syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
547, 15latjcom 18472 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
5518, 42, 40, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
569, 10, 11trlcnv 39864 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
574, 24, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
58 simp23 1205 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
5957, 58eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
6059oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
6155, 60eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
6215, 9, 10, 11trljco 40439 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝐹𝑇) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
634, 5, 26, 62syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
647, 15latjcom 18472 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6518, 40, 30, 64syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6661, 63, 653eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6766oveq2d 7440 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
6853, 67eqtr4d 2769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
6951, 68eqtr4d 2769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)))
7069oveq2d 7440 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
717, 15, 36latabs2 18501 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
7218, 17, 42, 71syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
7338, 70, 723eqtr2d 2772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
742, 73eqtrid 2778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153   I cid 5579  ccnv 5681  cres 5684  ccom 5686  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  joincjn 18336  meetcmee 18337  Latclat 18456  Atomscatm 38961  HLchlt 39048  LHypclh 39683  LTrncltrn 39800  trLctrl 39857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-undef 8288  df-map 8857  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858
This theorem is referenced by:  cdlemkid2  40623
  Copyright terms: Public domain W3C validator