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Theorem cdlemkid1 39183
Description: Lemma for cdlemkid 39197. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))

Proof of Theorem cdlemkid1
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . . 3 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
21oveq1i 7339 . 2 (𝑍 (𝑅𝑏)) = (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏))
3 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp1 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp3rl 1245 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏𝑇)
6 simp3rr 1246 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11trlnidat 38434 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐴)
134, 5, 6, 12syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐴)
14 simp3ll 1243 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐴)
15 cdlemk5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
167, 15, 8hlatjcl 37627 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵)
173, 14, 13, 16syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵)
183hllatd 37624 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ Lat)
19 simp22 1206 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑁𝑇)
207, 8atbase 37549 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2114, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐵)
227, 9, 10ltrncl 38386 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐵) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐵)
234, 19, 21, 22syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐵)
24 simp21 1205 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐹𝑇)
259, 10ltrncnv 38407 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
264, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐹𝑇)
279, 10ltrnco 38980 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝐹𝑇) → (𝑏𝐹) ∈ 𝑇)
284, 5, 26, 27syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑏𝐹) ∈ 𝑇)
297, 9, 10, 11trlcl 38425 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑏𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵)
304, 28, 29syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵)
317, 15latjcl 18246 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵)
3218, 23, 30, 31syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵)
33 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3433, 15, 8hlatlej2 37636 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏)))
353, 14, 13, 34syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏)))
36 cdlemk5.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
377, 33, 15, 36, 8atmod2i1 38122 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
383, 13, 17, 32, 35, 37syl131anc 1382 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
397, 8atbase 37549 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
4013, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
417, 9, 10, 11trlcl 38425 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇) → (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)
424, 19, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)
437, 15latj32 18292 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
4418, 21, 40, 42, 43syl13anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
45 simp3l 1200 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4633, 15, 8, 9, 10, 11trljat3 38429 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)))
474, 19, 45, 46syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)))
4847oveq1d 7344 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
497, 15latjass 18290 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
5018, 23, 42, 40, 49syl13anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
5144, 48, 503eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
527, 15latjass 18290 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
5318, 23, 30, 40, 52syl13anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
547, 15latjcom 18254 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
5518, 42, 40, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
569, 10, 11trlcnv 38426 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
574, 24, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
58 simp23 1207 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
5957, 58eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
6059oveq2d 7345 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
6155, 60eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
6215, 9, 10, 11trljco 39001 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝐹𝑇) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
634, 5, 26, 62syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
647, 15latjcom 18254 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6518, 40, 30, 64syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6661, 63, 653eqtr2d 2782 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6766oveq2d 7345 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
6853, 67eqtr4d 2779 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
6951, 68eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)))
7069oveq2d 7345 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
717, 15, 36latabs2 18283 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
7218, 17, 42, 71syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
7338, 70, 723eqtr2d 2782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
742, 73eqtrid 2788 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940   class class class wbr 5089   I cid 5511  ccnv 5613  cres 5616  ccom 5618  cfv 6473  (class class class)co 7329  Basecbs 17001  lecple 17058  joincjn 18118  meetcmee 18119  Latclat 18238  Atomscatm 37523  HLchlt 37610  LHypclh 38245  LTrncltrn 38362  trLctrl 38419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-riotaBAD 37213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-undef 8151  df-map 8680  df-proset 18102  df-poset 18120  df-plt 18137  df-lub 18153  df-glb 18154  df-join 18155  df-meet 18156  df-p0 18232  df-p1 18233  df-lat 18239  df-clat 18306  df-oposet 37436  df-ol 37438  df-oml 37439  df-covers 37526  df-ats 37527  df-atl 37558  df-cvlat 37582  df-hlat 37611  df-llines 37759  df-lplanes 37760  df-lvols 37761  df-lines 37762  df-psubsp 37764  df-pmap 37765  df-padd 38057  df-lhyp 38249  df-laut 38250  df-ldil 38365  df-ltrn 38366  df-trl 38420
This theorem is referenced by:  cdlemkid2  39185
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