cdlemkid1 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem cdlemkid1 40889

Description: Lemma for cdlemkid 40903. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))))

**Assertion**
Ref	Expression
cdlemkid1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 ∨ (𝑅‘𝑏)) = (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)))

**Proof of Theorem cdlemkid1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))))
2	1	oveq1i 7379	. 2 ⊢ (𝑍 ∨ (𝑅‘𝑏)) = (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)))) ∨ (𝑅‘𝑏))
3		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		simp3rl 1247	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏 ∈ 𝑇)
6		simp3rr 1248	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7		cdlemk5.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemk5.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		cdlemk5.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		cdlemk5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		cdlemk5.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	trlnidat 40140	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐴)
13	4, 5, 6, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐴)
14		simp3ll 1245	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15		cdlemk5.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
16	7, 15, 8	hlatjcl 39333	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∈ 𝐵)
17	3, 14, 13, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∈ 𝐵)
18	3	hllatd 39330	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ Lat)
19		simp22 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
20	7, 8	atbase 39255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
21	14, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
22	7, 9, 10	ltrncl 40092	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐵)
23	4, 19, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐵)
24		simp21 1207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
25	9, 10	ltrncnv 40113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ^◡𝐹 ∈ 𝑇)
26	4, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ^◡𝐹 ∈ 𝑇)
27	9, 10	ltrnco 40686	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ^◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∘ ^◡𝐹) ∈ 𝑇)
28	4, 5, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑏 ∘ ^◡𝐹) ∈ 𝑇)
29	7, 9, 10, 11	trlcl 40131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∘ ^◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∈ 𝐵)
30	4, 28, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∈ 𝐵)
31	7, 15	latjcl 18374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∈ 𝐵)
32	18, 23, 30, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∈ 𝐵)
33		cdlemk5.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
34	33, 15, 8	hlatlej2 39342	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑅‘𝑏) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)))
35	3, 14, 13, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑏) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)))
36		cdlemk5.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
37	7, 33, 15, 36, 8	atmod2i1 39828	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏))) → (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)))) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∨ (𝑅‘𝑏))))
38	3, 13, 17, 32, 35, 37	syl131anc 1385	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)))) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∨ (𝑅‘𝑏))))
39	7, 8	atbase 39255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅‘𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐵)
40	13, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐵)
41	7, 9, 10, 11	trlcl 40131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑁) ∈ 𝐵)
42	4, 19, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝑁) ∈ 𝐵)
43	7, 15	latj32 18420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑁) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∨ (𝑅‘𝑁)) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑁)) ∨ (𝑅‘𝑏)))
44	18, 21, 40, 42, 43	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∨ (𝑅‘𝑁)) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑁)) ∨ (𝑅‘𝑏)))
45		simp3l 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
46	33, 15, 8, 9, 10, 11	trljat3 40135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑁)) = ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝑁)))
47	4, 19, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑁)) = ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝑁)))
48	47	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑁)) ∨ (𝑅‘𝑏)) = (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝑁)) ∨ (𝑅‘𝑏)))
49	7, 15	latjass 18418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝑁)) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑁‘𝑃) ∨ ((𝑅‘𝑁) ∨ (𝑅‘𝑏))))
50	18, 23, 42, 40, 49	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝑁)) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑁‘𝑃) ∨ ((𝑅‘𝑁) ∨ (𝑅‘𝑏))))
51	44, 48, 50	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∨ (𝑅‘𝑁)) = ((𝑁‘𝑃) ∨ ((𝑅‘𝑁) ∨ (𝑅‘𝑏))))
52	7, 15	latjass 18418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑁‘𝑃) ∨ ((𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∨ (𝑅‘𝑏))))
53	18, 23, 30, 40, 52	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑁‘𝑃) ∨ ((𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∨ (𝑅‘𝑏))))
54	7, 15	latjcom 18382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑅‘𝑁) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘𝑁)))
55	18, 42, 40, 54	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅‘𝑁) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘𝑁)))
56	9, 10, 11	trlcnv 40132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘^◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
57	4, 24, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘^◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
58		simp23 1209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
59	57, 58	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘^◡𝐹) = (𝑅‘𝑁))
60	59	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘^◡𝐹)) = ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘𝑁)))
61	55, 60	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅‘𝑁) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘^◡𝐹)))
62	15, 9, 10, 11	trljco 40707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ^◡𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) = ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘^◡𝐹)))
63	4, 5, 26, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) = ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘^◡𝐹)))
64	7, 15	latjcom 18382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∨ (𝑅‘𝑏)))
65	18, 40, 30, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅‘𝑏) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∨ (𝑅‘𝑏)))
66	61, 63, 65	3eqtr2d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅‘𝑁) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∨ (𝑅‘𝑏)))
67	66	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁‘𝑃) ∨ ((𝑅‘𝑁) ∨ (𝑅‘𝑏))) = ((𝑁‘𝑃) ∨ ((𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)) ∨ (𝑅‘𝑏))))
68	53, 67	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∨ (𝑅‘𝑏)) = ((𝑁‘𝑃) ∨ ((𝑅‘𝑁) ∨ (𝑅‘𝑏))))
69	51, 68	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∨ (𝑅‘𝑁)) = (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∨ (𝑅‘𝑏)))
70	69	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∨ (𝑅‘𝑁))) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ (((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹))) ∨ (𝑅‘𝑏))))
71	7, 15, 36	latabs2 18411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝑁) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∨ (𝑅‘𝑁))) = (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)))
72	18, 17, 42, 71	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∨ (𝑅‘𝑁))) = (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)))
73	38, 70, 72	3eqtr2d 2770	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ^◡𝐹)))) ∨ (𝑅‘𝑏)) = (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)))
74	2, 73	eqtrid 2776	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 ∨ (𝑅‘𝑏)) = (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 class class class wbr 5102 I cid 5525 ^◡ccnv 5630 ↾ cres 5633 ∘ ccom 5635 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 Basecbs 17155 lecple 17203 joincjn 18248 meetcmee 18249 Latclat 18366 Atomscatm 39229 HLchlt 39316 LHypclh 39951 LTrncltrn 40068 trLctrl 40125

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-riotaBAD 38919

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-id 5526 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-undef 8229 df-map 8778 df-proset 18231 df-poset 18250 df-plt 18265 df-lub 18281 df-glb 18282 df-join 18283 df-meet 18284 df-p0 18360 df-p1 18361 df-lat 18367 df-clat 18434 df-oposet 39142 df-ol 39144 df-oml 39145 df-covers 39232 df-ats 39233 df-atl 39264 df-cvlat 39288 df-hlat 39317 df-llines 39465 df-lplanes 39466 df-lvols 39467 df-lines 39468 df-psubsp 39470 df-pmap 39471 df-padd 39763 df-lhyp 39955 df-laut 39956 df-ldil 40071 df-ltrn 40072 df-trl 40126

This theorem is referenced by: cdlemkid2 40891

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