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Theorem cdlemkid1 39431
Description: Lemma for cdlemkid 39445. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))

Proof of Theorem cdlemkid1
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . . 3 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
21oveq1i 7368 . 2 (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) ∨ (π‘…β€˜π‘))
3 simp1l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simp1 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5 simp3rl 1247 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
6 simp3rr 1248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
7 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
127, 8, 9, 10, 11trlnidat 38682 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐴)
134, 5, 6, 12syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐴)
14 simp3ll 1245 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
15 cdlemk5.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
167, 15, 8hlatjcl 37875 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
173, 14, 13, 16syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
183hllatd 37872 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 simp22 1208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
207, 8atbase 37797 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2114, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
227, 9, 10ltrncl 38634 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
234, 19, 21, 22syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
24 simp21 1207 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
259, 10ltrncnv 38655 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
264, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
279, 10ltrnco 39228 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝑏 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
284, 5, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑏 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
297, 9, 10, 11trlcl 38673 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
304, 28, 29syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
317, 15latjcl 18333 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
3218, 23, 30, 31syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
33 cdlemk5.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3433, 15, 8hlatlej2 37884 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜π‘) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
353, 14, 13, 34syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
36 cdlemk5.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
377, 33, 15, 36, 8atmod2i1 38370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
383, 13, 17, 32, 35, 37syl131anc 1384 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
397, 8atbase 37797 . . . . . . . 8 ((π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
4013, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
417, 9, 10, 11trlcl 38673 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
424, 19, 41syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
437, 15latj32 18379 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
4418, 21, 40, 42, 43syl13anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
45 simp3l 1202 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4633, 15, 8, 9, 10, 11trljat3 38677 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
474, 19, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
4847oveq1d 7373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
497, 15latjass 18377 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
5018, 23, 42, 40, 49syl13anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
5144, 48, 503eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
527, 15latjass 18377 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ ((π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
5318, 23, 30, 40, 52syl13anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ ((π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
547, 15latjcom 18341 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
5518, 42, 40, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
569, 10, 11trlcnv 38674 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
574, 24, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
58 simp23 1209 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
5957, 58eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
6059oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜β—‘πΉ)) = ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
6155, 60eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜β—‘πΉ)))
6215, 9, 10, 11trljco 39249 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) = ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜β—‘πΉ)))
634, 5, 26, 62syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) = ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜β—‘πΉ)))
647, 15latjcom 18341 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) = ((π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
6518, 40, 30, 64syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) = ((π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
6661, 63, 653eqtr2d 2779 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
6766oveq2d 7374 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘))) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ ((π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
6853, 67eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ ((π‘…β€˜π‘) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
6951, 68eqtr4d 2776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∨ (π‘…β€˜π‘)))
7069oveq2d 7374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘))) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ (((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) ∨ (π‘…β€˜π‘))))
717, 15, 36latabs2 18370 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘))) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
7218, 17, 42, 71syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∨ (π‘…β€˜π‘))) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
7338, 70, 723eqtr2d 2779 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
742, 73eqtrid 2785 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  trLctrl 38667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8770  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668
This theorem is referenced by:  cdlemkid2  39433
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