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Theorem cdlemkid2 39433
Description: Lemma for cdlemkid 39445. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = 𝑃)
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝑃(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐹(𝑔,𝑏)   𝐺(𝑔,𝑏)   𝐻(𝑔,𝑏)   ∨ (𝑏)   𝐾(𝑔,𝑏)   ≀ (𝑔,𝑏)   ∧ (𝑏)   𝑁(𝑔,𝑏)   π‘Š(𝑔,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑏)

Proof of Theorem cdlemkid2
StepHypRef Expression
1 simp32 1211 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡))
21csbeq1d 3860 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ)
3 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
63, 4, 5idltrn 38659 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
763ad2ant1 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
8 cdlemk5.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
98cdlemk41 39429 . . . 4 (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 β†’ ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))))
107, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))))
11 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
12 cdlemk5.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
133, 11, 4, 12trlid0 38685 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
14133ad2ant1 1134 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1514oveq2d 7374 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (𝑃 ∨ (0.β€˜πΎ)))
16 simp1l 1198 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
17 hlol 37869 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
19 simp31l 1297 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
20 cdlemk5.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
213, 20atbase 37797 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
23 cdlemk5.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
243, 23, 11olj01 37733 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑃)
2518, 22, 24syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑃)
2615, 25eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = 𝑃)
27 simp1 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
28 simp33l 1301 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
294, 5ltrncnv 38655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝑏 ∈ 𝑇)
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ◑𝑏 ∈ 𝑇)
313, 4, 5ltrn1o 38633 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝑏 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝑏:𝐡–1-1-onto→𝐡)
3227, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ◑𝑏:𝐡–1-1-onto→𝐡)
33 f1of 6785 . . . . . . . . . 10 (◑𝑏:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ◑𝑏:𝐡⟢𝐡)
34 fcoi2 6718 . . . . . . . . . 10 (◑𝑏:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏) = ◑𝑏)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏) = ◑𝑏)
3635fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)) = (π‘…β€˜β—‘π‘))
374, 5, 12trlcnv 38674 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘π‘) = (π‘…β€˜π‘))
3827, 28, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜β—‘π‘) = (π‘…β€˜π‘))
3936, 38eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)) = (π‘…β€˜π‘))
4039oveq2d 7374 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏))) = (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
41 simp31 1210 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
42 simp33 1212 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
4341, 42jca 513 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))))
44 cdlemk5.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
45 cdlemk5.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
46 cdlemk5.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
473, 44, 23, 45, 20, 4, 5, 12, 46cdlemkid1 39431 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
4843, 47syld3an3 1410 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
4940, 48eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏))) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
5026, 49oveq12d 7376 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))) = (𝑃 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))))
5116hllatd 37872 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
523, 4, 5, 12trlcl 38673 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
5327, 28, 52syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
543, 23, 45latabs2 18370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))) = 𝑃)
5551, 22, 53, 54syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))) = 𝑃)
5650, 55eqtrd 2773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))) = 𝑃)
5710, 56eqtrd 2773 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ = 𝑃)
582, 57eqtrd 2773 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β¦‹csb 3856   class class class wbr 5106   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  0.cp0 18317  Latclat 18325  OLcol 37682  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  trLctrl 38667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8770  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668
This theorem is referenced by:  cdlemkid3N  39442  cdlemkid4  39443
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