Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β πΊ = ( I βΎ π΅)) |
2 | 1 | csbeq1d 3860 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β β¦πΊ / πβ¦π = β¦( I βΎ π΅) / πβ¦π) |
3 | | cdlemk5.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
4 | | cdlemk5.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
5 | | cdlemk5.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
6 | 3, 4, 5 | idltrn 38659 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β ( I βΎ π΅) β π) |
7 | 6 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β ( I βΎ π΅) β π) |
8 | | cdlemk5.y |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
9 | 8 | cdlemk41 39429 |
. . . 4
β’ (( I
βΎ π΅) β π β β¦( I
βΎ π΅) / πβ¦π = ((π β¨ (π
β( I βΎ π΅))) β§ (π β¨ (π
β(( I βΎ π΅) β β‘π))))) |
10 | 7, 9 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β β¦( I βΎ π΅) / πβ¦π = ((π β¨ (π
β( I βΎ π΅))) β§ (π β¨ (π
β(( I βΎ π΅) β β‘π))))) |
11 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
12 | | cdlemk5.r |
. . . . . . . . 9
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
13 | 3, 11, 4, 12 | trlid0 38685 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (π
β( I βΎ π΅)) = (0.βπΎ)) |
14 | 13 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π
β( I βΎ π΅)) = (0.βπΎ)) |
15 | 14 | oveq2d 7374 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β¨ (π
β( I βΎ π΅))) = (π β¨ (0.βπΎ))) |
16 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β πΎ β HL) |
17 | | hlol 37869 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β πΎ β OL) |
19 | | simp31l 1297 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β π β π΄) |
20 | | cdlemk5.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
21 | 3, 20 | atbase 37797 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
22 | 19, 21 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β π β π΅) |
23 | | cdlemk5.j |
. . . . . . . 8
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
24 | 3, 23, 11 | olj01 37733 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π) |
25 | 18, 22, 24 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π) |
26 | 15, 25 | eqtrd 2773 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β¨ (π
β( I βΎ π΅))) = π) |
27 | | simp1 1137 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
28 | | simp33l 1301 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β π β π) |
29 | 4, 5 | ltrncnv 38655 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β β‘π β π) |
30 | 27, 28, 29 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β β‘π β π) |
31 | 3, 4, 5 | ltrn1o 38633 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ β‘π β π) β β‘π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
32 | 27, 30, 31 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β β‘π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
33 | | f1of 6785 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β‘π:π΅β1-1-ontoβπ΅ β β‘π:π΅βΆπ΅) |
34 | | fcoi2 6718 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β‘π:π΅βΆπ΅ β (( I βΎ π΅) β β‘π) = β‘π) |
35 | 32, 33, 34 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (( I βΎ π΅) β β‘π) = β‘π) |
36 | 35 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π
β(( I βΎ π΅) β β‘π)) = (π
ββ‘π)) |
37 | 4, 5, 12 | trlcnv 38674 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β (π
ββ‘π) = (π
βπ)) |
38 | 27, 28, 37 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π
ββ‘π) = (π
βπ)) |
39 | 36, 38 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π
β(( I βΎ π΅) β β‘π)) = (π
βπ)) |
40 | 39 | oveq2d 7374 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β¨ (π
β(( I βΎ π΅) β β‘π))) = (π β¨ (π
βπ))) |
41 | | simp31 1210 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
42 | | simp33 1212 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) |
43 | 41, 42 | jca 513 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) |
44 | | cdlemk5.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
45 | | cdlemk5.m |
. . . . . . . 8
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
46 | | cdlemk5.z |
. . . . . . . 8
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
47 | 3, 44, 23, 45, 20, 4, 5, 12, 46 | cdlemkid1 39431 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β¨ (π
βπ)) = (π β¨ (π
βπ))) |
48 | 43, 47 | syld3an3 1410 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β¨ (π
βπ)) = (π β¨ (π
βπ))) |
49 | 40, 48 | eqtrd 2773 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β¨ (π
β(( I βΎ π΅) β β‘π))) = (π β¨ (π
βπ))) |
50 | 26, 49 | oveq12d 7376 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β ((π β¨ (π
β( I βΎ π΅))) β§ (π β¨ (π
β(( I βΎ π΅) β β‘π)))) = (π β§ (π β¨ (π
βπ)))) |
51 | 16 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β πΎ β Lat) |
52 | 3, 4, 5, 12 | trlcl 38673 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β (π
βπ) β π΅) |
53 | 27, 28, 52 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π
βπ) β π΅) |
54 | 3, 23, 45 | latabs2 18370 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π
βπ) β π΅) β (π β§ (π β¨ (π
βπ))) = π) |
55 | 51, 22, 53, 54 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β (π β§ (π β¨ (π
βπ))) = π) |
56 | 50, 55 | eqtrd 2773 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β ((π β¨ (π
β( I βΎ π΅))) β§ (π β¨ (π
β(( I βΎ π΅) β β‘π)))) = π) |
57 | 10, 56 | eqtrd 2773 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β β¦( I βΎ π΅) / πβ¦π = π) |
58 | 2, 57 | eqtrd 2773 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β β¦πΊ / πβ¦π = π) |