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Theorem cdlemkid2 40453
Description: Lemma for cdlemkid 40465. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = 𝑃)
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝑃(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐹(𝑔,𝑏)   𝐺(𝑔,𝑏)   𝐻(𝑔,𝑏)   ∨ (𝑏)   𝐾(𝑔,𝑏)   ≀ (𝑔,𝑏)   ∧ (𝑏)   𝑁(𝑔,𝑏)   π‘Š(𝑔,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑏)
Proof of Theorem cdlemkid2
StepHypRef Expression
1 simp32 1207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡))
21csbeq1d 3888 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ)
3 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
63, 4, 5idltrn 39679 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
763ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
8 cdlemk5.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
98cdlemk41 40449 . . . 4 (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 β†’ ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))))
107, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))))
11 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
12 cdlemk5.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
133, 11, 4, 12trlid0 39705 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
14133ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1514oveq2d 7432 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (𝑃 ∨ (0.β€˜πΎ)))
16 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
17 hlol 38889 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
19 simp31l 1293 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
20 cdlemk5.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
213, 20atbase 38817 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
23 cdlemk5.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
243, 23, 11olj01 38753 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑃)
2518, 22, 24syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑃)
2615, 25eqtrd 2765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = 𝑃)
27 simp1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
28 simp33l 1297 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
294, 5ltrncnv 39675 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝑏 ∈ 𝑇)
3027, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ◑𝑏 ∈ 𝑇)
313, 4, 5ltrn1o 39653 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝑏 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝑏:𝐡–1-1-onto→𝐡)
3227, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ◑𝑏:𝐡–1-1-onto→𝐡)
33 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 (◑𝑏:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ◑𝑏:𝐡⟢𝐡)
34 fcoi2 6767 . . . . . . . . . 10 (◑𝑏:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏) = ◑𝑏)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏) = ◑𝑏)
3635fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)) = (π‘…β€˜β—‘π‘))
374, 5, 12trlcnv 39694 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘π‘) = (π‘…β€˜π‘))
3827, 28, 37syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜β—‘π‘) = (π‘…β€˜π‘))
3936, 38eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)) = (π‘…β€˜π‘))
4039oveq2d 7432 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏))) = (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
41 simp31 1206 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
42 simp33 1208 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
4341, 42jca 510 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))))
44 cdlemk5.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
45 cdlemk5.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
46 cdlemk5.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
473, 44, 23, 45, 20, 4, 5, 12, 46cdlemkid1 40451 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
4843, 47syld3an3 1406 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
4940, 48eqtrd 2765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏))) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
5026, 49oveq12d 7434 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))) = (𝑃 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))))
5116hllatd 38892 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
523, 4, 5, 12trlcl 39693 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
5327, 28, 52syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
543, 23, 45latabs2 18467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))) = 𝑃)
5551, 22, 53, 54syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))) = 𝑃)
5650, 55eqtrd 2765 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))) = 𝑃)
5710, 56eqtrd 2765 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ = 𝑃)
582, 57eqtrd 2765 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  β¦‹csb 3884   class class class wbr 5143   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  0.cp0 18414  Latclat 18422  OLcol 38702  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-map 8845  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688
This theorem is referenced by:  cdlemkid3N  40462  cdlemkid4  40463
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