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Theorem cdlemkid2 39790
Description: Lemma for cdlemkid 39802. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = 𝑃)
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝑃(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐹(𝑔,𝑏)   𝐺(𝑔,𝑏)   𝐻(𝑔,𝑏)   ∨ (𝑏)   𝐾(𝑔,𝑏)   ≀ (𝑔,𝑏)   ∧ (𝑏)   𝑁(𝑔,𝑏)   π‘Š(𝑔,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑏)
Proof of Theorem cdlemkid2
StepHypRef Expression
1 simp32 1210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡))
21csbeq1d 3897 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ)
3 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
63, 4, 5idltrn 39016 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
763ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
8 cdlemk5.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
98cdlemk41 39786 . . . 4 (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 β†’ ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))))
107, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))))
11 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
12 cdlemk5.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
133, 11, 4, 12trlid0 39042 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
14133ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1514oveq2d 7424 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (𝑃 ∨ (0.β€˜πΎ)))
16 simp1l 1197 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
17 hlol 38226 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
19 simp31l 1296 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
20 cdlemk5.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
213, 20atbase 38154 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
23 cdlemk5.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
243, 23, 11olj01 38090 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑃)
2518, 22, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑃)
2615, 25eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = 𝑃)
27 simp1 1136 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
28 simp33l 1300 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
294, 5ltrncnv 39012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝑏 ∈ 𝑇)
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ◑𝑏 ∈ 𝑇)
313, 4, 5ltrn1o 38990 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝑏 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝑏:𝐡–1-1-onto→𝐡)
3227, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ◑𝑏:𝐡–1-1-onto→𝐡)
33 f1of 6833 . . . . . . . . . 10 (◑𝑏:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ◑𝑏:𝐡⟢𝐡)
34 fcoi2 6766 . . . . . . . . . 10 (◑𝑏:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏) = ◑𝑏)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏) = ◑𝑏)
3635fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)) = (π‘…β€˜β—‘π‘))
374, 5, 12trlcnv 39031 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘π‘) = (π‘…β€˜π‘))
3827, 28, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜β—‘π‘) = (π‘…β€˜π‘))
3936, 38eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)) = (π‘…β€˜π‘))
4039oveq2d 7424 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏))) = (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
41 simp31 1209 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
42 simp33 1211 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
4341, 42jca 512 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))))
44 cdlemk5.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
45 cdlemk5.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
46 cdlemk5.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
473, 44, 23, 45, 20, 4, 5, 12, 46cdlemkid1 39788 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
4843, 47syld3an3 1409 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
4940, 48eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏))) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
5026, 49oveq12d 7426 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))) = (𝑃 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))))
5116hllatd 38229 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
523, 4, 5, 12trlcl 39030 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
5327, 28, 52syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡)
543, 23, 45latabs2 18428 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))) = 𝑃)
5551, 22, 53, 54syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ (𝑃 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘))) = 𝑃)
5650, 55eqtrd 2772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝑏)))) = 𝑃)
5710, 56eqtrd 2772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋( I β†Ύ 𝐡) / π‘”β¦Œπ‘Œ = 𝑃)
582, 57eqtrd 2772 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β¦‹csb 3893   class class class wbr 5148   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  0.cp0 18375  Latclat 18383  OLcol 38039  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025
This theorem is referenced by:  cdlemkid3N  39799  cdlemkid4  39800
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