MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnlemlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latnlemlt 18427
Description: Negation of "less than or equal to" expressed in terms of meet and less-than. (nssinpss 4256 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latnlemlt.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latnlemlt.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latnlemlt.s < = (ltβ€˜πΎ)
latnlemlt.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latnlemlt ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) < 𝑋))

Proof of Theorem latnlemlt
StepHypRef Expression
1 latnlemlt.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latnlemlt.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latnlemlt.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
41, 2, 3latmle1 18419 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
54biantrurd 533 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋)))
61, 2, 3latleeqm1 18422 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
76necon3bbid 2978 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋))
8 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
91, 3latmcl 18395 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
10 simp2 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 latnlemlt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
122, 11pltval 18287 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) < 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋)))
138, 9, 10, 12syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) < 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋)))
145, 7, 133bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  ltcplt 18263  meetcmee 18267  Latclat 18386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-lat 18387
This theorem is referenced by:  hlrelat2  38360
  Copyright terms: Public domain W3C validator