MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnlemlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latnlemlt 18421
Description: Negation of "less than or equal to" expressed in terms of meet and less-than. (nssinpss 4255 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latnlemlt.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnlemlt.l = (le‘𝐾)
latnlemlt.s < = (lt‘𝐾)
latnlemlt.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latnlemlt ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) < 𝑋))

Proof of Theorem latnlemlt
StepHypRef Expression
1 latnlemlt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latnlemlt.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 latnlemlt.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
41, 2, 3latmle1 18413 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
54biantrurd 533 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑋 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋)))
61, 2, 3latleeqm1 18416 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
76necon3bbid 2978 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋))
8 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
91, 3latmcl 18389 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
10 simp2 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
11 latnlemlt.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
122, 11pltval 18281 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 𝑌) < 𝑋 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑋 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋)))
138, 9, 10, 12syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) < 𝑋 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑋 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋)))
145, 7, 133bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  ltcplt 18257  meetcmee 18261  Latclat 18380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381
This theorem is referenced by:  hlrelat2  38262
  Copyright terms: Public domain W3C validator