Theorem latnlemlt 18539

Description: Negation of "less than or equal to" expressed in terms of meet and less-than. (nssinpss 4276 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latnlemlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnlemlt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latnlemlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
latnlemlt.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnlemlt	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋))

Proof of Theorem latnlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latnlemlt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latnlemlt.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latnlemlt.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 18531	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
5	4	biantrurd 532	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)))
6	1, 2, 3	latleeqm1 18534	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
7	6	necon3bbid 2978	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋))
8		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
9	1, 3	latmcl 18507	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		latnlemlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
12	2, 11	pltval 18399	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)))
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)))
14	5, 7, 13	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  lecple 17314  ltcplt 18375  meetcmee 18379  Latclat 18498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-proset 18361  df-poset 18380  df-plt 18397  df-lub 18413  df-glb 18414  df-join 18415  df-meet 18416  df-lat 18499

This theorem is referenced by:  hlrelat2  39400