Theorem latnlemlt 18427

Description: Negation of "less than or equal to" expressed in terms of meet and less-than. (nssinpss 4197 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latnlemlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnlemlt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latnlemlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
latnlemlt.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnlemlt	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋))

Proof of Theorem latnlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latnlemlt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latnlemlt.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latnlemlt.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 18419	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
5	4	biantrurd 532	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)))
6	1, 2, 3	latleeqm1 18422	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
7	6	necon3bbid 2967	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋))
8		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
9	1, 3	latmcl 18395	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		latnlemlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
12	2, 11	pltval 18285	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)))
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)))
14	5, 7, 13	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  lecple 17216  ltcplt 18263  meetcmee 18267  Latclat 18386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18387

This theorem is referenced by:  hlrelat2  39837