Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlrelat2 38904
Description: A consequence of relative atomicity. (chrelat2i 32191 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
hlrelat2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlrelat2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlrelat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Proof of Theorem hlrelat2
StepHypRef Expression
1 hllat 38863 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 hlrelat2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 hlrelat2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 eqid 2725 . . . . 5 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
5 eqid 2725 . . . . 5 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
62, 3, 4, 5latnlemlt 18461 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋))
71, 6syl3an1 1160 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋))
8 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
92, 5latmcl 18429 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
101, 9syl3an1 1160 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
11 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
13 hlrelat2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
142, 3, 4, 12, 13hlrelat 38903 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
1514ex 411 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)))
168, 10, 11, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)))
17 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1817hllatd 38864 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1910adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
202, 13atbase 38789 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
2120adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
22 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
232, 3, 12latjle12 18439 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
2418, 19, 21, 22, 23syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
25 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)
2624, 25syl6bir 253 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ 𝑋))
2726adantld 489 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋))
28 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
292, 3, 5latlem12 18455 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)))
3018, 21, 22, 28, 29syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)))
3130notbid 317 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)))
322, 3, 4, 12latnle 18462 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝)))
3318, 19, 21, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝)))
3431, 33bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝)))
3534, 24anbi12d 630 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) ↔ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)))
36 pm3.21 470 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
37 orcom 868 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∨ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
38 pm4.55 985 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∨ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋))
39 imor 851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
4037, 38, 393bitr4ri 303 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)) ↔ Β¬ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ 𝑋))
4136, 40sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ Β¬ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ 𝑋))
4241con2i 139 . . . . . . . 8 ((Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)
4342adantrl 714 . . . . . . 7 ((Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)
4435, 43syl6bir 253 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
4527, 44jcad 511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
4645reximdva 3158 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
4716, 46syld 47 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
487, 47sylbid 239 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
492, 3lattr 18433 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5018, 21, 22, 28, 49syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5150exp4b 429 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))))
5251com34 91 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))))
5352com23 86 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))))
5453ralrimdv 3142 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
55 iman 400 . . . . . 6 ((𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5655ralbii 3083 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
57 ralnex 3062 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5856, 57bitri 274 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5954, 58imbitrdi 250 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
6059con2d 134 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ))
6148, 60impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  lecple 17237  ltcplt 18297  joincjn 18300  meetcmee 18301  Latclat 18420  Atomscatm 38763  HLchlt 38850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38676  df-ol 38678  df-oml 38679  df-covers 38766  df-ats 38767  df-atl 38798  df-cvlat 38822  df-hlat 38851
This theorem is referenced by:  lhpj1  39523
  Copyright terms: Public domain W3C validator