Theorem hlrelat2 40663

Description: A consequence of relative atomicity. (chrelat2i 33000 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem hlrelat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40623	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		hlrelat2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlrelat2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	latnlemlt 18678	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋))
7	1, 6	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋))
8		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
9	2, 5	latmcl 18646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
11		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13		hlrelat2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14	2, 3, 4, 12, 13	hlrelat 40662	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
15	14	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)))
16	8, 10, 11, 15	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)))
17		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
18	17	hllatd 40624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
19	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
20	2, 13	atbase 40549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
22		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	2, 3, 12	latjle12 18656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
24	18, 19, 21, 22, 23	syl13anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
25		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋)
26	24, 25	biimtrrdi 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑋))
27	26	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋))
28		simpl3 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
29	2, 3, 5	latlem12 18672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)))
30	18, 21, 22, 28, 29	syl13anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)))
31	30	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)))
32	2, 3, 4, 12	latnle 18679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
33	18, 19, 21, 32	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
34	31, 33	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
35	34, 24	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋)) ↔ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)))
36		pm3.21 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑌 → (𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
37		orcom 884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∨ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
38		pm4.55 1003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∨ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
39		imor 867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
40	37, 38, 39	3bitr4ri 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) ↔ ¬ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋))
41	36, 40	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑌 → ¬ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋))
42	41	con2i 140	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)
43	42	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)
44	35, 43	biimtrrdi 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
45	27, 44	jcad 522	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
46	45	reximdva 3179	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
47	16, 46	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
48	7, 47	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
49	2, 3	lattr 18650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
50	18, 21, 22, 28, 49	syl13anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
51	50	exp4b 436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑌))))
52	51	com34 92	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌))))
53	52	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌))))
54	53	ralrimdv 3164	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
55		iman 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
56	55	ralbii 3112	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
57		ralnex 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
58	56, 57	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
59	54, 58	imbitrdi 254	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
60	59	con2d 135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
61	48, 60	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  lecple 17467  ltcplt 18514  joincjn 18517  meetcmee 18518  Latclat 18637  Atomscatm 40523  HLchlt 40610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-proset 18500  df-poset 18519  df-plt 18534  df-lub 18550  df-glb 18551  df-join 18552  df-meet 18553  df-p0 18629  df-lat 18638  df-clat 18705  df-oposet 40436  df-ol 40438  df-oml 40439  df-covers 40526  df-ats 40527  df-atl 40558  df-cvlat 40582  df-hlat 40611

This theorem is used by:  lhpj1  41282