Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat2 37912
Description: A consequence of relative atomicity. (chrelat2i 31349 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
hlrelat2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlrelat2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlrelat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝

Proof of Theorem hlrelat2
StepHypRef Expression
1 hllat 37871 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 hlrelat2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 hlrelat2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . . . 5 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
5 eqid 2733 . . . . 5 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
62, 3, 4, 5latnlemlt 18366 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋))
71, 6syl3an1 1164 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋))
8 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
92, 5latmcl 18334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
101, 9syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
11 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
13 hlrelat2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
142, 3, 4, 12, 13hlrelat 37911 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
1514ex 414 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)))
168, 10, 11, 15syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)))
17 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1817hllatd 37872 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1910adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
202, 13atbase 37797 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
2120adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
22 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
232, 3, 12latjle12 18344 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
2418, 19, 21, 22, 23syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
25 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)
2624, 25syl6bir 254 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ 𝑋))
2726adantld 492 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋))
28 simpl3 1194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
292, 3, 5latlem12 18360 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)))
3018, 21, 22, 28, 29syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)))
3130notbid 318 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)))
322, 3, 4, 12latnle 18367 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝)))
3318, 19, 21, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝)))
3431, 33bitrd 279 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝)))
3534, 24anbi12d 632 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) ↔ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)))
36 pm3.21 473 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
37 orcom 869 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∨ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
38 pm4.55 987 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∨ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋))
39 imor 852 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∨ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
4037, 38, 393bitr4ri 304 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)) ↔ Β¬ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ 𝑋))
4136, 40sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ Β¬ (Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ 𝑋))
4241con2i 139 . . . . . . . 8 ((Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)
4342adantrl 715 . . . . . . 7 ((Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)
4435, 43syl6bir 254 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
4527, 44jcad 514 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
4645reximdva 3162 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
4716, 46syld 47 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
487, 47sylbid 239 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
492, 3lattr 18338 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5018, 21, 22, 28, 49syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5150exp4b 432 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))))
5251com34 91 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))))
5352com23 86 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ))))
5453ralrimdv 3146 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
55 iman 403 . . . . . 6 ((𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5655ralbii 3093 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
57 ralnex 3072 . . . . 5 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5856, 57bitri 275 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
5954, 58syl6ib 251 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
6059con2d 134 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ))
6148, 60impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  ltcplt 18202  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  lhpj1  38531
  Copyright terms: Public domain W3C validator