Theorem hlrelat2 39776

Description: A consequence of relative atomicity. (chrelat2i 32452 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem hlrelat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39736	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		hlrelat2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlrelat2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	latnlemlt 18407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋))
7	1, 6	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋))
8		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
9	2, 5	latmcl 18375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl3an1 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
11		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13		hlrelat2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14	2, 3, 4, 12, 13	hlrelat 39775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
15	14	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)))
16	8, 10, 11, 15	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)))
17		simpl1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
18	17	hllatd 39737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
19	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
20	2, 13	atbase 39662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
22		simpl2 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	2, 3, 12	latjle12 18385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
24	18, 19, 21, 22, 23	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋)
26	24, 25	biimtrrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑋))
27	26	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋))
28		simpl3 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
29	2, 3, 5	latlem12 18401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)))
30	18, 21, 22, 28, 29	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)))
31	30	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)))
32	2, 3, 4, 12	latnle 18408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
33	18, 19, 21, 32	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
34	31, 33	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
35	34, 24	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋)) ↔ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)))
36		pm3.21 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑌 → (𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
37		orcom 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∨ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
38		pm4.55 990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∨ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
39		imor 854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
40	37, 38, 39	3bitr4ri 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) ↔ ¬ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋))
41	36, 40	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑌 → ¬ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋))
42	41	con2i 139	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)
43	42	adantrl 717	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)
44	35, 43	biimtrrdi 254	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
45	27, 44	jcad 512	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
46	45	reximdva 3151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
47	16, 46	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
48	7, 47	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
49	2, 3	lattr 18379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
50	18, 21, 22, 28, 49	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
51	50	exp4b 430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑌))))
52	51	com34 91	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌))))
53	52	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌))))
54	53	ralrimdv 3136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
55		iman 401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
56	55	ralbii 3084	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
57		ralnex 3064	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
58	56, 57	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
59	54, 58	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
60	59	con2d 134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
61	48, 60	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  ltcplt 18243  joincjn 18246  meetcmee 18247  Latclat 18366  Atomscatm 39636  HLchlt 39723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39549  df-ol 39551  df-oml 39552  df-covers 39639  df-ats 39640  df-atl 39671  df-cvlat 39695  df-hlat 39724

This theorem is referenced by:  lhpj1  40395