Theorem hlrelat2 37417

Description: A consequence of relative atomicity. (chrelat2i 30727 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem hlrelat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37377	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		hlrelat2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlrelat2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	latnlemlt 18190	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋))
7	1, 6	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋))
8		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
9	2, 5	latmcl 18158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl3an1 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
11		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13		hlrelat2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14	2, 3, 4, 12, 13	hlrelat 37416	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
15	14	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)))
16	8, 10, 11, 15	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)))
17		simpl1 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
18	17	hllatd 37378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
19	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
20	2, 13	atbase 37303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
22		simpl2 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	2, 3, 12	latjle12 18168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
24	18, 19, 21, 22, 23	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
25		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋)
26	24, 25	syl6bir 253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑋))
27	26	adantld 491	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋))
28		simpl3 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
29	2, 3, 5	latlem12 18184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)))
30	18, 21, 22, 28, 29	syl13anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)))
31	30	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)))
32	2, 3, 4, 12	latnle 18191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
33	18, 19, 21, 32	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
34	31, 33	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
35	34, 24	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋)) ↔ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)))
36		pm3.21 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑌 → (𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
37		orcom 867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∨ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
38		pm4.55 985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) ↔ ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∨ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
39		imor 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∨ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
40	37, 38, 39	3bitr4ri 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)) ↔ ¬ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋))
41	36, 40	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑌 → ¬ (¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋))
42	41	con2i 139	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)
43	42	adantrl 713	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)
44	35, 43	syl6bir 253	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
45	27, 44	jcad 513	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
46	45	reximdva 3203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
47	16, 46	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑋 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
48	7, 47	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
49	2, 3	lattr 18162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
50	18, 21, 22, 28, 49	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑝 ≤ 𝑌))
51	50	exp4b 431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑌))))
52	51	com34 91	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌))))
53	52	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌))))
54	53	ralrimdv 3105	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
55		iman 402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
56	55	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
57		ralnex 3167	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
58	56, 57	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
59	54, 58	syl6ib 250	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ¬ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
60	59	con2d 134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
61	48, 60	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  ltcplt 18026  joincjn 18029  meetcmee 18030  Latclat 18149  Atomscatm 37277  HLchlt 37364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365

This theorem is referenced by:  lhpj1  38036