Theorem latmlem12 17469

Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (ss2in 4061 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmlem12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊)))

Proof of Theorem latmlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simp2l 1213	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp2r 1214	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simp3l 1215	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		latmle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		latmle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		latmle.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8	5, 6, 7	latmlem1 17467	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl13anc 1440	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))
10		simp3r 1216	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11	5, 6, 7	latmlem2 17468	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑊 → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊)))
12	1, 4, 10, 3, 11	syl13anc 1440	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑊 → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊)))
13	5, 7	latmcl 17438	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 4, 13	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
15	5, 7	latmcl 17438	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
16	1, 3, 4, 15	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
17	5, 7	latmcl 17438	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18	1, 3, 10, 17	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
19	5, 6	lattr 17442	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊)))
20	1, 14, 16, 18, 19	syl13anc 1440	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊)))
21	9, 12, 20	syl2and 601	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑍) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  meetcmee 17331  Latclat 17431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-poset 17332  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-lat 17432

This theorem is referenced by:  dalem10  35827  dalem55  35881  dalawlem3  36027  dalawlem7  36031  dalawlem11  36035  dalawlem12  36036  cdlemk51  37107