MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmlem12 18517
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (ss2in 4244 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmlem12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))

Proof of Theorem latmlem12
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2l 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simp2r 1200 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑌𝐵)
4 simp3l 1201 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑍𝐵)
5 latmle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latmle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 latmle.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
85, 6, 7latmlem1 18515 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
91, 2, 3, 4, 8syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
10 simp3r 1202 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
115, 6, 7latmlem2 18516 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑌𝐵)) → (𝑍 𝑊 → (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)))
121, 4, 10, 3, 11syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑍 𝑊 → (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)))
135, 7latmcl 18486 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
141, 2, 4, 13syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
155, 7latmcl 18486 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
161, 3, 4, 15syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
175, 7latmcl 18486 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
181, 3, 10, 17syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
195, 6lattr 18490 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
201, 14, 16, 18, 19syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
219, 12, 20syl2and 608 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  meetcmee 18359  Latclat 18477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-poset 18360  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-lat 18478
This theorem is referenced by:  dalem10  39676  dalem55  39730  dalawlem3  39876  dalawlem7  39880  dalawlem11  39884  dalawlem12  39885  cdlemk51  40956
  Copyright terms: Public domain W3C validator