MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmlem12 17684
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (ss2in 4187 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmlem12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))

Proof of Theorem latmlem12
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2l 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simp2r 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑌𝐵)
4 simp3l 1198 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑍𝐵)
5 latmle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latmle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 latmle.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
85, 6, 7latmlem1 17682 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
91, 2, 3, 4, 8syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
10 simp3r 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
115, 6, 7latmlem2 17683 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑌𝐵)) → (𝑍 𝑊 → (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)))
121, 4, 10, 3, 11syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑍 𝑊 → (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)))
135, 7latmcl 17653 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
141, 2, 4, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
155, 7latmcl 17653 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
161, 3, 4, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
175, 7latmcl 17653 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
181, 3, 10, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
195, 6lattr 17657 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
201, 14, 16, 18, 19syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
219, 12, 20syl2and 610 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  meetcmee 17546  Latclat 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-poset 17547  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-lat 17647
This theorem is referenced by:  dalem10  36931  dalem55  36985  dalawlem3  37131  dalawlem7  37135  dalawlem11  37139  dalawlem12  37140  cdlemk51  38211
  Copyright terms: Public domain W3C validator