Theorem latnle 18529

Description: Equivalent expressions for "not less than" in a lattice. (chnle 31807 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latnle.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
latnle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnle	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem latnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latnle.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlej1 18504	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
5	4	biantrurd 541	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
6	1, 2, 3	latleeqj1 18507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
7	6	3com23 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
8		eqcom 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋))
9	7, 8	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
10	1, 3	latjcom 18503	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
11	10	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
12	9, 11	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌)))
13	12	necon3bbid 3001	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌)))
14	1, 3	latjcl 18495	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15		latnle.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
16	2, 15	pltval 18386	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
17	14, 16	syld3an3 1434	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
18	5, 13, 17	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  lecple 17317  ltcplt 18364  joincjn 18367  Latclat 18487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-lat 18488

This theorem is referenced by:  cvlcvr1  40037  hlrelat  40100  hlrelat2  40101  cvr2N  40109  cvrexchlem  40117