Theorem latnle 18518

Description: Equivalent expressions for "not less than" in a lattice. (chnle 31533 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latnle.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
latnle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnle	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem latnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latnle.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlej1 18493	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
5	4	biantrurd 532	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
6	1, 2, 3	latleeqj1 18496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
7	6	3com23 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
8		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋))
9	7, 8	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
10	1, 3	latjcom 18492	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
11	10	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
12	9, 11	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌)))
13	12	necon3bbid 2978	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌)))
14	1, 3	latjcl 18484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15		latnle.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
16	2, 15	pltval 18377	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
17	14, 16	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
18	5, 13, 17	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  ltcplt 18354  joincjn 18357  Latclat 18476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477

This theorem is referenced by:  cvlcvr1  39340  hlrelat  39404  hlrelat2  39405  cvr2N  39413  cvrexchlem  39421