Theorem latnle 18106

Description: Equivalent expressions for "not less than" in a lattice. (chnle 29777 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latnle.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
latnle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnle	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem latnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latnle.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlej1 18081	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
5	4	biantrurd 532	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
6	1, 2, 3	latleeqj1 18084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
7	6	3com23 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
8		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋))
9	7, 8	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
10	1, 3	latjcom 18080	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
11	10	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
12	9, 11	bitr4d 281	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌)))
13	12	necon3bbid 2980	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌)))
14	1, 3	latjcl 18072	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15		latnle.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
16	2, 15	pltval 17965	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
17	14, 16	syld3an3 1407	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
18	5, 13, 17	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  ltcplt 17941  joincjn 17944  Latclat 18064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-lat 18065

This theorem is referenced by:  cvlcvr1  37280  hlrelat  37343  hlrelat2  37344  cvr2N  37352  cvrexchlem  37360