Theorem latnle 18414

Description: Equivalent expressions for "not less than" in a lattice. (chnle 31493 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latnle.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
latnle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnle	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem latnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latnle.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlej1 18389	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
5	4	biantrurd 532	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
6	1, 2, 3	latleeqj1 18392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
7	6	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
8		eqcom 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋))
9	7, 8	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
10	1, 3	latjcom 18388	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
11	10	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
12	9, 11	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌)))
13	12	necon3bbid 2962	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌)))
14	1, 3	latjcl 18380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15		latnle.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
16	2, 15	pltval 18271	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
17	14, 16	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
18	5, 13, 17	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  ltcplt 18249  joincjn 18252  Latclat 18372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-lat 18373

This theorem is referenced by:  cvlcvr1  39325  hlrelat  39389  hlrelat2  39390  cvr2N  39398  cvrexchlem  39406