MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latnle 18531
Description: Equivalent expressions for "not less than" in a lattice. (chnle 31543 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latnle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnle.l = (le‘𝐾)
latnle.s < = (lt‘𝐾)
latnle.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latnle ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑌)))

Proof of Theorem latnle
StepHypRef Expression
1 latnle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latnle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 latnle.j . . . 4 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 18506 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
54biantrurd 532 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
61, 2, 3latleeqj1 18509 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑋))
763com23 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑋))
8 eqcom 2742 . . . . 5 ((𝑌 𝑋) = 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑋))
97, 8bitrdi 287 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑋)))
101, 3latjcom 18505 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1110eqeq2d 2746 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = (𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑌 𝑋)))
129, 11bitr4d 282 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋𝑋 = (𝑋 𝑌)))
1312necon3bbid 2976 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 ≠ (𝑋 𝑌)))
141, 3latjcl 18497 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
15 latnle.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
162, 15pltval 18390 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
1714, 16syld3an3 1408 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
185, 13, 173bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  ltcplt 18366  joincjn 18369  Latclat 18489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490
This theorem is referenced by:  cvlcvr1  39321  hlrelat  39385  hlrelat2  39386  cvr2N  39394  cvrexchlem  39402
  Copyright terms: Public domain W3C validator