Theorem latnle 18431

Description: Equivalent expressions for "not less than" in a lattice. (chnle 31604 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latnle.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
latnle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnle	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem latnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latnle.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlej1 18406	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
5	4	biantrurd 537	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
6	1, 2, 3	latleeqj1 18409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
7	6	3com23 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋))
8		eqcom 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋))
9	7, 8	bitrdi 288	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
10	1, 3	latjcom 18405	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
11	10	eqeq2d 2750	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑌 ∨ 𝑋)))
12	9, 11	bitr4d 283	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑋 ∨ 𝑌)))
13	12	necon3bbid 2971	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌)))
14	1, 3	latjcl 18397	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15		latnle.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
16	2, 15	pltval 18288	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
17	14, 16	syld3an3 1417	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑌))))
18	5, 13, 17	3bitr4d 312	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  lecple 17219  ltcplt 18266  joincjn 18269  Latclat 18389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18252  df-poset 18271  df-plt 18286  df-lub 18302  df-glb 18303  df-join 18304  df-meet 18305  df-lat 18390

This theorem is referenced by:  cvlcvr1  39840  hlrelat  39903  hlrelat2  39904  cvr2N  39912  cvrexchlem  39920