MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0cl 20392
Description: The ring zero in a left module belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod0cl.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmod0cl.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmod0cl.z 0 = (0gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmod0cl (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmod0cl
StepHypRef Expression
1 lmod0cl.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21lmodring 20373 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3 lmod0cl.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
4 lmod0cl.z . . 3 0 = (0gβ€˜πΉ)
53, 4ring0cl 19998 . 2 (𝐹 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐾)
62, 5syl 17 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144  0gc0g 17329  Ringcrg 19972  LModclmod 20365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-ring 19974  df-lmod 20367
This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  20403  lmodfopne  20404  lss1d  20468  lspsolvlem  20648  iporthcom  21062  lfl0f  37581  lfl1dim  37633  lfl1dim2N  37634  lkrss2N  37681  baerlem5blem1  40222  hdmap14lem2a  40380  hdmap14lem4a  40384  hdmap14lem6  40386  hgmapval0  40405  hgmapeq0  40417  lincval1  46590  lcosn0  46591  lincvalsc0  46592  lcoc0  46593  linc1  46596  lcoss  46607  el0ldep  46637
  Copyright terms: Public domain W3C validator