Theorem lmod0cl 21046

Description: The ring zero in a left module belongs to the set of scalars. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0cl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0cl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmod0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmod0cl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmod0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod0cl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 21026	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		lmod0cl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmod0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
5	3, 4	ring0cl 20382	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  Scalarcsca 17338  0_gc0g 17517  Ringcrg 20346  LModclmod 21018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-ring 20348  df-lmod 21020

This theorem is used by:  lmodfopnelem2  21057  lmodfopne  21058  lss1d  21121  lspsolvlem  21303  iporthcom  21822  lfl0f  39884  lfl1dim  39936  lfl1dim2N  39937  lkrss2N  39984  baerlem5blem1  42524  hdmap14lem2a  42682  hdmap14lem4a  42686  hdmap14lem6  42688  hgmapval0  42707  hgmapeq0  42719  lincval1  49240  lcosn0  49241  lincvalsc0  49242  lcoc0  49243  linc1  49246  lcoss  49257  el0ldep  49287