MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0cl 20903
Description: The ring zero in a left module belongs to the set of scalars. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod0cl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0cl.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmod0cl.z 0 = (0g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmod0cl (𝑊 ∈ LMod → 0𝐾)

Proof of Theorem lmod0cl
StepHypRef Expression
1 lmod0cl.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21lmodring 20883 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3 lmod0cl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
4 lmod0cl.z . . 3 0 = (0g𝐹)
53, 4ring0cl 20281 . 2 (𝐹 ∈ Ring → 0𝐾)
62, 5syl 17 1 (𝑊 ∈ LMod → 0𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486  Ringcrg 20251  LModclmod 20875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ring 20253  df-lmod 20877
This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  20914  lmodfopne  20915  lss1d  20979  lspsolvlem  21162  iporthcom  21671  lfl0f  39051  lfl1dim  39103  lfl1dim2N  39104  lkrss2N  39151  baerlem5blem1  41692  hdmap14lem2a  41850  hdmap14lem4a  41854  hdmap14lem6  41856  hgmapval0  41875  hgmapeq0  41887  lincval1  48265  lcosn0  48266  lincvalsc0  48267  lcoc0  48268  linc1  48271  lcoss  48282  el0ldep  48312
  Copyright terms: Public domain W3C validator