Theorem lmod0cl 19879

Description: The ring zero in a left module belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0cl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0cl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmod0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmod0cl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmod0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod0cl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 19861	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		lmod0cl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmod0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
5	3, 4	ring0cl 19541	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  Basecbs 16666  Scalarcsca 16752  0_gc0g 16898  Ringcrg 19516  LModclmod 19853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-grp 18322  df-ring 19518  df-lmod 19855

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  19890  lmodfopne  19891  lss1d  19954  lspsolvlem  20133  iporthcom  20551  lfl0f  36769  lfl1dim  36821  lfl1dim2N  36822  lkrss2N  36869  baerlem5blem1  39409  hdmap14lem2a  39567  hdmap14lem4a  39571  hdmap14lem6  39573  hgmapval0  39592  hgmapeq0  39604  lincval1  45376  lcosn0  45377  lincvalsc0  45378  lcoc0  45379  linc1  45382  lcoss  45393  el0ldep  45423