Theorem lmod0cl 20823

Description: The ring zero in a left module belongs to the set of scalars. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0cl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0cl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmod0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmod0cl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmod0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod0cl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 20803	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		lmod0cl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmod0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
5	3, 4	ring0cl 20187	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  Basecbs 17122  Scalarcsca 17166  0_gc0g 17345  Ringcrg 20153  LModclmod 20795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-ring 20155  df-lmod 20797

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  20834  lmodfopne  20835  lss1d  20898  lspsolvlem  21081  iporthcom  21574  lfl0f  39189  lfl1dim  39241  lfl1dim2N  39242  lkrss2N  39289  baerlem5blem1  41829  hdmap14lem2a  41987  hdmap14lem4a  41991  hdmap14lem6  41993  hgmapval0  42012  hgmapeq0  42024  lincval1  48545  lcosn0  48546  lincvalsc0  48547  lcoc0  48548  linc1  48551  lcoss  48562  el0ldep  48592