MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0cl 19653
Description: The ring zero in a left module belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod0cl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0cl.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmod0cl.z 0 = (0g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmod0cl (𝑊 ∈ LMod → 0𝐾)

Proof of Theorem lmod0cl
StepHypRef Expression
1 lmod0cl.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21lmodring 19635 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3 lmod0cl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
4 lmod0cl.z . . 3 0 = (0g𝐹)
53, 4ring0cl 19315 . 2 (𝐹 ∈ Ring → 0𝐾)
62, 5syl 17 1 (𝑊 ∈ LMod → 0𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  cfv 6324  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560  0gc0g 16705  Ringcrg 19290  LModclmod 19627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-ring 19292  df-lmod 19629
This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  19664  lmodfopne  19665  lss1d  19728  lspsolvlem  19907  iporthcom  20324  lfl0f  36362  lfl1dim  36414  lfl1dim2N  36415  lkrss2N  36462  baerlem5blem1  39002  hdmap14lem2a  39160  hdmap14lem4a  39164  hdmap14lem6  39166  hgmapval0  39185  hgmapeq0  39197  lincval1  44823  lcosn0  44824  lincvalsc0  44825  lcoc0  44826  linc1  44829  lcoss  44840  el0ldep  44870
  Copyright terms: Public domain W3C validator