Theorem lcoss 47117

Description: A set of vectors of a module is a subset of the set of all linear combinations of the set. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lcoss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Proof of Theorem lcoss

Dummy variables 𝑓 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elelpwi 4613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
2	1	expcom 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
3	2	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
4	3	imp 408	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
5		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
6		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
7		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
8		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
9		equequ1 2029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑣 ↔ 𝑦 = 𝑣))
10	9	ifbid 4552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) = if(𝑦 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
11	10	cbvmptv 5262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑦 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
12	5, 6, 7, 8, 11	mptcfsupp 47056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
13	12	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
14		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
15	5, 6, 7, 8, 14	linc1 47106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑣)
16	15	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑣)
17	16	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))
18		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
19	6, 18, 8	lmod1cl 20499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
20	6, 18, 7	lmod0cl 20498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
21	19, 20	ifcld 4575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
22	21	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
23	22	fmpttd 7115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
24		fvex 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
25		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
26		elmapg 8833	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
27	24, 25, 26	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
29		breq1 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))))
30		oveq1 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))
31	30	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ↔ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉)))
32	29, 31	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))))
33	32	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))))
34	28, 33	rspcedv 3606	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉)) → ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))))
35	13, 17, 34	mp2and 698	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))
36	5, 6, 18	lcoval 47093	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
37	36	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
38	4, 35, 37	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
39	38	ex 414	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)))
40	39	ssrdv 3989	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  0_gc0g 17385  1_rcur 20004  LModclmod 20471   linC clinc 47085   LinCo clinco 47086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-linc 47087  df-lco 47088

This theorem is referenced by:  lspsslco  47118