Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcoss 45311
Description: A set of vectors of a module is a subset of the set of all linear combinations of the set. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
lcoss ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Proof of Theorem lcoss
Dummy variables 𝑓 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elelpwi 4500 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
21expcom 417 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
32adantl 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
43imp 410 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
5 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
6 eqid 2738 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
7 eqid 2738 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
8 eqid 2738 . . . . . . 7 (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
9 equequ1 2037 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑣))
109ifbid 4437 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) = if(𝑦 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
1110cbvmptv 5133 . . . . . . 7 (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) = (𝑦𝑉 ↦ if(𝑦 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
125, 6, 7, 8, 11mptcfsupp 45250 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
13123expa 1119 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
14 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
155, 6, 7, 8, 14linc1 45300 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑣)
16153expa 1119 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑣)
1716eqcomd 2744 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 = ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))
18 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
196, 18, 8lmod1cl 19780 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
206, 18, 7lmod0cl 19779 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
2119, 20ifcld 4460 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
2221ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
2322fmpttd 6889 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
24 fvex 6687 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
25 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
26 elmapg 8450 . . . . . . . 8 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2724, 25, 26sylancr 590 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2823, 27mpbird 260 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
29 breq1 5033 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))))
30 oveq1 7177 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))
3130eqeq2d 2749 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ↔ 𝑣 = ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉)))
3229, 31anbi12d 634 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) ↔ ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))))
3332adantl 485 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑓 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) ↔ ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))))
3428, 33rspcedv 3519 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉)) → ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))))
3513, 17, 34mp2and 699 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))
365, 6, 18lcoval 45287 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
3736adantr 484 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
384, 35, 37mpbir2and 713 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
3938ex 416 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)))
4039ssrdv 3883 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3054  Vcvv 3398  wss 3843  ifcif 4414  𝒫 cpw 4488   class class class wbr 5030  cmpt 5110  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437   finSupp cfsupp 8906  Basecbs 16586  Scalarcsca 16671  0gc0g 16816  1rcur 19370  LModclmod 19753   linC clinc 45279   LinCo clinco 45280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-lmod 19755  df-linc 45281  df-lco 45282
This theorem is referenced by:  lspsslco  45312
  Copyright terms: Public domain W3C validator