Theorem lcoss 47616

Description: A set of vectors of a module is a subset of the set of all linear combinations of the set. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lcoss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Proof of Theorem lcoss

Dummy variables 𝑓 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elelpwi 4613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
2	1	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
3	2	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
4	3	imp 405	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
5		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
6		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
7		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
8		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
9		equequ1 2020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑣 ↔ 𝑦 = 𝑣))
10	9	ifbid 4552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) = if(𝑦 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
11	10	cbvmptv 5261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑦 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
12	5, 6, 7, 8, 11	mptcfsupp 47556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
13	12	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
14		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
15	5, 6, 7, 8, 14	linc1 47605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑣)
16	15	3expa 1115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑣)
17	16	eqcomd 2731	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))
18		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
19	6, 18, 8	lmod1cl 20776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
20	6, 18, 7	lmod0cl 20775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
21	19, 20	ifcld 4575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
22	21	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
23	22	fmpttd 7122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
24		fvex 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
25		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
26		elmapg 8856	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
27	24, 25, 26	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
28	23, 27	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
29		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))))
30		oveq1 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))
31	30	eqeq2d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ↔ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉)))
32	29, 31	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))))
33	32	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))))
34	28, 33	rspcedv 3600	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉)) → ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))))
35	13, 17, 34	mp2and 697	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))
36	5, 6, 18	lcoval 47592	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
37	36	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
38	4, 35, 37	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
39	38	ex 411	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)))
40	39	ssrdv 3983	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060  Vcvv 3463   ⊆ wss 3945  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8843   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235  0_gc0g 17420  1_rcur 20125  LModclmod 20747   linC clinc 47584   LinCo clinco 47585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-linc 47586  df-lco 47587

This theorem is referenced by:  lspsslco  47617