Theorem lcoss 48800

Description: A set of vectors of a module is a subset of the set of all linear combinations of the set. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lcoss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Proof of Theorem lcoss

Dummy variables 𝑓 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elelpwi 4566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
2	1	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
4	3	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
9		equequ1 2027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑣 ↔ 𝑦 = 𝑣))
10	9	ifbid 4505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) = if(𝑦 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
11	10	cbvmptv 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑦 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
12	5, 6, 7, 8, 11	mptcfsupp 48741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
13	12	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))
15	5, 6, 7, 8, 14	linc1 48789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑣)
16	15	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑣)
17	16	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))
18		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
19	6, 18, 8	lmod1cl 20855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
20	6, 18, 7	lmod0cl 20854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
21	19, 20	ifcld 4528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
22	21	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
23	22	fmpttd 7069	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
24		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
25		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
26		elmapg 8788	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
27	24, 25, 26	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))):𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
29		breq1 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))))
30		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))
31	30	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ↔ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉)))
32	29, 31	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉))))
34	28, 33	rspcedv 3571	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀)))) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑣, (1r‘(Scalar‘𝑀)), (0g‘(Scalar‘𝑀))))( linC ‘𝑀)𝑉)) → ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))))
35	13, 17, 34	mp2and 700	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))
36	5, 6, 18	lcoval 48776	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑣 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
38	4, 35, 37	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
39	38	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)))
40	39	ssrdv 3941	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775   finSupp cfsupp 9276  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192  0_gc0g 17371  1_rcur 20131  LModclmod 20826   linC clinc 48768   LinCo clinco 48769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-mulg 19013  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-mgp 20091  df-ur 20132  df-ring 20185  df-lmod 20828  df-linc 48770  df-lco 48771

This theorem is referenced by:  lspsslco  48801