Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalsc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalsc0 43849
Description: The linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0 0 = (0g𝑆)
lincvalsc0.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincvalsc0.f 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
Assertion
Ref Expression
lincvalsc0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lincvalsc0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincvalsc0.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
32eqcomi 2787 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = 𝑆
43fveq2i 6502 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
5 lincvalsc0.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
62, 4, 5lmod0cl 19382 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
76adantr 473 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87adantr 473 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9 lincvalsc0.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
108, 9fmptd 6701 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
11 fvexd 6514 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
12 elmapg 8219 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
1311, 12sylan 572 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
1410, 13mpbird 249 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
15 lincvalsc0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
1615pweqi 4426 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
1716eleq2i 2857 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1817biimpi 208 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1918adantl 474 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
20 lincval 43837 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
211, 14, 19, 20syl3anc 1351 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
22 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
235fvexi 6513 . . . . . . 7 0 ∈ V
24 eqidd 2779 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑣0 = 0 )
2524, 9fvmptg 6593 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉0 ∈ V) → (𝐹𝑣) = 0 )
2622, 23, 25sylancl 577 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) = 0 )
2726oveq1d 6991 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣))
281adantr 473 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
29 elelpwi 4435 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑣𝐵)
3029expcom 406 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3130adantl 474 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3231imp 398 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
33 eqid 2778 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
34 lincvalsc0.z . . . . . . 7 𝑍 = (0g𝑀)
3515, 2, 33, 5, 34lmod0vs 19389 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝐵) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
3628, 32, 35syl2anc 576 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
3727, 36eqtrd 2814 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
3837mpteq2dva 5022 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉𝑍))
3938oveq2d 6992 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)))
40 lmodgrp 19363 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
41 grpmnd 17898 . . . 4 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
4240, 41syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
4334gsumz 17842 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
4442, 43sylan 572 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
4521, 39, 443eqtrd 2818 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3415  𝒫 cpw 4422  cmpt 5008  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑚 cmap 8206  Basecbs 16339  Scalarcsca 16424   ·𝑠 cvsca 16425  0gc0g 16569   Σg cgsu 16570  Mndcmnd 17762  Grpcgrp 17891  LModclmod 19356   linC clinc 43832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-map 8208  df-seq 13185  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-ring 19022  df-lmod 19358  df-linc 43834
This theorem is referenced by:  lcoc0  43850
  Copyright terms: Public domain W3C validator