Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalsc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalsc0 46113
Description: The linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0 0 = (0g𝑆)
lincvalsc0.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincvalsc0.f 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
Assertion
Ref Expression
lincvalsc0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lincvalsc0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincvalsc0.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
32eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = 𝑆
43fveq2i 6828 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
5 lincvalsc0.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
62, 4, 5lmod0cl 20255 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9 lincvalsc0.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
108, 9fmptd 7044 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
11 fvexd 6840 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
12 elmapg 8699 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
1311, 12sylan 580 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
1410, 13mpbird 256 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
15 lincvalsc0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
1615pweqi 4563 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
1716eleq2i 2828 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1817biimpi 215 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1918adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
20 lincval 46101 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
211, 14, 19, 20syl3anc 1370 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
22 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
235fvexi 6839 . . . . . . 7 0 ∈ V
24 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑣0 = 0 )
2524, 9fvmptg 6929 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉0 ∈ V) → (𝐹𝑣) = 0 )
2622, 23, 25sylancl 586 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) = 0 )
2726oveq1d 7352 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣))
281adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
29 elelpwi 4557 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑣𝐵)
3029expcom 414 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3130adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3231imp 407 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
33 eqid 2736 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
34 lincvalsc0.z . . . . . . 7 𝑍 = (0g𝑀)
3515, 2, 33, 5, 34lmod0vs 20262 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝐵) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
3628, 32, 35syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
3727, 36eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
3837mpteq2dva 5192 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉𝑍))
3938oveq2d 7353 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)))
40 lmodgrp 20236 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
4140grpmndd 18685 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
4234gsumz 18571 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
4341, 42sylan 580 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
4421, 39, 433eqtrd 2780 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  𝒫 cpw 4547  cmpt 5175  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  m cmap 8686  Basecbs 17009  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247   Σg cgsu 17248  Mndcmnd 18482  LModclmod 20229   linC clinc 46096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-map 8688  df-seq 13823  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-ring 19880  df-lmod 20231  df-linc 46098
This theorem is referenced by:  lcoc0  46114
  Copyright terms: Public domain W3C validator