Theorem lfl1dim 39620

Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl1dim.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl1dim	⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))})

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3393	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔))}
2		lfl1dim.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl1dim.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
6		lfl1dim.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
7		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
8	5, 6, 7	lmod0cl 20885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
10	9	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
11		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
12		lfl1dim.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lfl1dim.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
14		lfl1dim.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝐷)
15	4	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
16		lfl1dim.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	16	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 17	lfl0sc 39581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
19	11, 18	eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
20		sneq 4572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (0g‘𝐷) → {𝑘} = {(0g‘𝐷)})
21	20	xpeq2d 5655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (0g‘𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
22	21	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (0g‘𝐷) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
23	22	rspceeqv 3590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝐷) ∈ 𝐾 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
24	10, 19, 23	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
25	24	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
26	9	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
27		lfl1dim.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
28	4	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
29		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝐹)
30	12, 13, 27, 28, 29	lkrssv 39595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (𝐿‘𝑔) ⊆ 𝑉)
31	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
32	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐹)
33	5, 7, 12, 13, 27	lkr0f 39593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
34	31, 32, 33	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
35	34	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
36	35	sseq1d 3953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿‘𝑔)))
37	36	biimpa 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿‘𝑔))
38	30, 37	eqssd 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (𝐿‘𝑔) = 𝑉)
39	5, 7, 12, 13, 27	lkr0f 39593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝑔) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
40	28, 29, 39	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → ((𝐿‘𝑔) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
41	38, 40	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
42	16	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
43	12, 5, 13, 6, 14, 7, 28, 42	lfl0sc 39581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
44	41, 43	eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
45	26, 44, 23	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
46	45	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
47		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
48	2	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
49	16	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
50		simprr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
51	12, 5, 7, 47, 13, 27	lkrshp 39604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐿‘𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → (𝐿‘𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
53		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝑔 ∈ 𝐹)
54		simprl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
55	12, 5, 7, 47, 13, 27	lkrshp 39604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐿‘𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
56	48, 53, 54, 55	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → (𝐿‘𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
57	47, 48, 52, 56	lshpcmp 39487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)))
58	2	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
59	16	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
60		simpllr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝐹)
61		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔))
62	5, 6, 14, 12, 13, 27	eqlkr2 39599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
63	58, 59, 60, 61, 62	syl121anc 1383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
64	63	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ((𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
65	57, 64	sylbid 241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
66	25, 46, 65	pm2.61da2ne 3023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
67	2	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
68	16	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ 𝐹)
69		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ 𝐾)
70	12, 5, 6, 14, 13, 27, 67, 68, 69	lkrscss 39597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
71	70	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑘 ∈ 𝐾 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
72		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝑔) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
73	72	sseq2d 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
74	73	biimprcd 251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)))
75	71, 74	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑘 ∈ 𝐾 → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔))))
76	75	rexlimdv 3139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)))
77	66, 76	impbid 213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
78	77	pm5.32da 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
79	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
80	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ 𝐹)
81		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ 𝐾)
82	12, 5, 6, 14, 13, 79, 80, 81	lflvscl 39576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹)
83		eleq1a 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹 → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔 ∈ 𝐹))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔 ∈ 𝐹))
85	84	pm4.71rd 567	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
86	85	rexbidva 3162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
87		r19.42v 3172	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
88	86, 87	bitr2di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
89	78, 88	bitrd 280	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
90	89	abbidv 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔))} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))})
91	1, 90	eqtrid 2787	1 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2718   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064  {crab 3392   ⊆ wss 3890  {csn 4562   × cxp 5623  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221  0_gc0g 17400  LModclmod 20857  LVecclvec 21099  LSHypclsh 39474  LFnlclfn 39556  LKerclk 39584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cntz 19290  df-lsm 19609  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-nzr 20492  df-rlreg 20673  df-domn 20674  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21100  df-lshyp 39476  df-lfl 39557  df-lkr 39585

This theorem is referenced by:  ldual1dim  39665