Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfl1dim 37991
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
lfl1dim.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lfl1dim.t Β· = (.rβ€˜π·)
lfl1dim.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lfl1dim.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))})
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Š   𝑔,π‘˜,πœ‘   Β· ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   Β· (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   π‘Š(𝑔)
Proof of Theorem lfl1dim
StepHypRef Expression
1 df-rab 3434 . 2 {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”))}
2 lfl1dim.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20717 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lfl1dim.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 lfl1dim.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
85, 6, 7lmod0cl 20498 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
109ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
11 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
12 lfl1dim.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
13 lfl1dim.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
14 lfl1dim.t . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜π·)
154ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 lfl1dim.g . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1812, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 17lfl0sc 37952 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
1911, 18eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
20 sneq 4639 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (0gβ€˜π·) β†’ {π‘˜} = {(0gβ€˜π·)})
2120xpeq2d 5707 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (0gβ€˜π·) β†’ (𝑉 Γ— {π‘˜}) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
2221oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (0gβ€˜π·) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
2322rspceeqv 3634 . . . . . . . . 9 (((0gβ€˜π·) ∈ 𝐾 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
2410, 19, 23syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
2524a1d 25 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
269ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
27 lfl1dim.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
284ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
29 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
3012, 13, 27, 28, 29lkrssv 37966 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (πΏβ€˜π‘”) βŠ† 𝑉)
314adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3216adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
335, 7, 12, 13, 27lkr0f 37964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
3431, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
3534biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
3635sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜π‘”)))
3736biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜π‘”))
3830, 37eqssd 4000 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (πΏβ€˜π‘”) = 𝑉)
395, 7, 12, 13, 27lkr0f 37964 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜π‘”) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
4028, 29, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ ((πΏβ€˜π‘”) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
4216ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
4312, 5, 13, 6, 14, 7, 28, 42lfl0sc 37952 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
4441, 43eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
4526, 44, 23syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
4645ex 414 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
47 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSHypβ€˜π‘Š) = (LSHypβ€˜π‘Š)
482ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4916ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
50 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
5112, 5, 7, 47, 13, 27lkrshp 37975 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
53 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
54 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
5512, 5, 7, 47, 13, 27lkrshp 37975 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (πΏβ€˜π‘”) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
5648, 53, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ (πΏβ€˜π‘”) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
5747, 48, 52, 56lshpcmp 37858 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)))
582ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5916ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
60 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
61 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”))
625, 6, 14, 12, 13, 27eqlkr2 37970 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
6358, 59, 60, 61, 62syl121anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
6463ex 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
6557, 64sylbid 239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
6625, 46, 65pm2.61da2ne 3031 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
672ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6816ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
69 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
7012, 5, 6, 14, 13, 27, 67, 68, 69lkrscss 37968 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
7170ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜π‘”) = (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
7372sseq2d 4015 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
7473biimprcd 249 . . . . . . . 8 ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))) β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)))
7571, 74syl6 35 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”))))
7675rexlimdv 3154 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)))
7766, 76impbid 211 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
7877pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
794adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8016adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
81 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
8212, 5, 6, 14, 13, 79, 80, 81lflvscl 37947 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐹)
83 eleq1a 2829 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐹 β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹))
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹))
8584pm4.71rd 564 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
8685rexbidva 3177 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
87 r19.42v 3191 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
8886, 87bitr2di 288 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
8978, 88bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
9089abbidv 2802 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”))} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))})
911, 90eqtrid 2785 1 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  {csn 4629   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385  LModclmod 20471  LVecclvec 20713  LSHypclsh 37845  LFnlclfn 37927  LKerclk 37955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lshyp 37847  df-lfl 37928  df-lkr 37956
This theorem is referenced by:  ldual1dim  38036
  Copyright terms: Public domain W3C validator