Theorem lfl1dim 39381

Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl1dim.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl1dim	⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))})

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3400	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔))}
2		lfl1dim.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfl1dim.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
6		lfl1dim.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
8	5, 6, 7	lmod0cl 20839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
12		lfl1dim.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lfl1dim.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
14		lfl1dim.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝐷)
15	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
16		lfl1dim.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 17	lfl0sc 39342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
19	11, 18	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
20		sneq 4590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (0g‘𝐷) → {𝑘} = {(0g‘𝐷)})
21	20	xpeq2d 5654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (0g‘𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
22	21	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (0g‘𝐷) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
23	22	rspceeqv 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝐷) ∈ 𝐾 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
24	10, 19, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
25	24	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
26	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
27		lfl1dim.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
28	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
29		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝐹)
30	12, 13, 27, 28, 29	lkrssv 39356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (𝐿‘𝑔) ⊆ 𝑉)
31	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
32	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐹)
33	5, 7, 12, 13, 27	lkr0f 39354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
35	34	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
36	35	sseq1d 3965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿‘𝑔)))
37	36	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿‘𝑔))
38	30, 37	eqssd 3951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (𝐿‘𝑔) = 𝑉)
39	5, 7, 12, 13, 27	lkr0f 39354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝑔) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
40	28, 29, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → ((𝐿‘𝑔) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
41	38, 40	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
42	16	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
43	12, 5, 13, 6, 14, 7, 28, 42	lfl0sc 39342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
44	41, 43	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
45	26, 44, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
46	45	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
47		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
48	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
49	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
50		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
51	12, 5, 7, 47, 13, 27	lkrshp 39365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐿‘𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → (𝐿‘𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
53		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝑔 ∈ 𝐹)
54		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
55	12, 5, 7, 47, 13, 27	lkrshp 39365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐿‘𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
56	48, 53, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → (𝐿‘𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
57	47, 48, 52, 56	lshpcmp 39248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)))
58	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
59	16	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
60		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝐹)
61		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔))
62	5, 6, 14, 12, 13, 27	eqlkr2 39360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
63	58, 59, 60, 61, 62	syl121anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
64	63	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ((𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
65	57, 64	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
66	25, 46, 65	pm2.61da2ne 3020	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
67	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
68	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ 𝐹)
69		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ 𝐾)
70	12, 5, 6, 14, 13, 27, 67, 68, 69	lkrscss 39358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
71	70	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑘 ∈ 𝐾 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
72		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝑔) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
73	72	sseq2d 3966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
74	73	biimprcd 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)))
75	71, 74	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑘 ∈ 𝐾 → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔))))
76	75	rexlimdv 3135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)))
77	66, 76	impbid 212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
78	77	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
79	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
80	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ 𝐹)
81		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ 𝐾)
82	12, 5, 6, 14, 13, 79, 80, 81	lflvscl 39337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹)
83		eleq1a 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹 → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔 ∈ 𝐹))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔 ∈ 𝐹))
85	84	pm4.71rd 562	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
86	85	rexbidva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
87		r19.42v 3168	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
88	86, 87	bitr2di 288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
89	78, 88	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
90	89	abbidv 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔))} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))})
91	1, 90	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {crab 3399   ⊆ wss 3901  {csn 4580   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180  0_gc0g 17359  LModclmod 20811  LVecclvec 21054  LSHypclsh 39235  LFnlclfn 39317  LKerclk 39345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-nzr 20446  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lshyp 39237  df-lfl 39318  df-lkr 39346

This theorem is referenced by:  ldual1dim  39426