Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1dim 36124
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t · = (.r𝐷)
lfl1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim
StepHypRef Expression
1 df-rab 3151 . 2 {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ (𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))}
2 lfl1dim.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lfl1dim.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
6 lfl1dim.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Base‘𝐷)
7 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐷) = (0g𝐷)
85, 6, 7lmod0cl 19582 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
109ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
11 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
12 lfl1dim.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lfl1dim.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
14 lfl1dim.t . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝐷)
154ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
16 lfl1dim.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝐹)
1716ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺𝐹)
1812, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 17lfl0sc 36085 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1911, 18eqtr4d 2863 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
20 sneq 4573 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0g𝐷) → {𝑘} = {(0g𝐷)})
2120xpeq2d 5583 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2221oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2322rspceeqv 3641 . . . . . . . . 9 (((0g𝐷) ∈ 𝐾𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
2410, 19, 23syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
2524a1d 25 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
269ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
27 lfl1dim.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (LKer‘𝑊)
284ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
29 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
3012, 13, 27, 28, 29lkrssv 36099 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) ⊆ 𝑉)
314adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3216adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝐺𝐹)
335, 7, 12, 13, 27lkr0f 36097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3534biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
3635sseq1d 4001 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔)))
3736biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔))
3830, 37eqssd 3987 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) = 𝑉)
395, 7, 12, 13, 27lkr0f 36097 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4028, 29, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4138, 40mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4216ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
4312, 5, 13, 6, 14, 7, 28, 42lfl0sc 36085 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4441, 43eqtr4d 2863 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4526, 44, 23syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
4645ex 413 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
47 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
482ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
4916ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺𝐹)
50 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5112, 5, 7, 47, 13, 27lkrshp 36108 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
53 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔𝐹)
54 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5512, 5, 7, 47, 13, 27lkrshp 36108 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5648, 53, 54, 55syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5747, 48, 52, 56lshpcmp 35991 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)))
582ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
5916ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
60 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
61 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔))
625, 6, 14, 12, 13, 27eqlkr2 36103 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝑔𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
6358, 59, 60, 61, 62syl121anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
6463ex 413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) = (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
6557, 64sylbid 241 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
6625, 46, 65pm2.61da2ne 3109 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
672ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
6816ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
69 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
7012, 5, 6, 14, 13, 27, 67, 68, 69lkrscss 36101 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7170ex 413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
72 fveq2 6666 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝑔) = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7372sseq2d 4002 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
7473biimprcd 251 . . . . . . . 8 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7571, 74syl6 35 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))))
7675rexlimdv 3287 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐹) → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7766, 76impbid 213 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7877pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) ↔ (𝑔𝐹 ∧ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
794adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
8016adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
81 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
8212, 5, 6, 14, 13, 79, 80, 81lflvscl 36080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹)
83 eleq1a 2912 . . . . . . . 8 ((𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹 → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔𝐹))
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔𝐹))
8584pm4.71rd 563 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) ↔ (𝑔𝐹𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
8685rexbidva 3300 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) ↔ ∃𝑘𝐾 (𝑔𝐹𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
87 r19.42v 3354 . . . . 5 (∃𝑘𝐾 (𝑔𝐹𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ (𝑔𝐹 ∧ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
8886, 87syl6rbb 289 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐹 ∧ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
8978, 88bitrd 280 . . 3 (𝜑 → ((𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
9089abbidv 2889 . 2 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
911, 90syl5eq 2872 1 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2803  wne 3020  wrex 3143  {crab 3146  wss 3939  {csn 4563   × cxp 5551  cfv 6351  (class class class)co 7151  f cof 7400  Basecbs 16475  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560  0gc0g 16705  LModclmod 19556  LVecclvec 19796  LSHypclsh 35978  LFnlclfn 36060  LKerclk 36088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-subg 18208  df-cntz 18379  df-lsm 18683  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-drng 19426  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-lsp 19666  df-lvec 19797  df-lshyp 35980  df-lfl 36061  df-lkr 36089
This theorem is referenced by:  ldual1dim  36169
  Copyright terms: Public domain W3C validator