Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfl1dim 38294
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
lfl1dim.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lfl1dim.t Β· = (.rβ€˜π·)
lfl1dim.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lfl1dim.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))})
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Š   𝑔,π‘˜,πœ‘   Β· ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   Β· (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   π‘Š(𝑔)
Proof of Theorem lfl1dim
StepHypRef Expression
1 df-rab 3431 . 2 {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”))}
2 lfl1dim.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20861 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lfl1dim.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 lfl1dim.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
7 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
85, 6, 7lmod0cl 20642 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
109ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
11 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
12 lfl1dim.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
13 lfl1dim.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
14 lfl1dim.t . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜π·)
154ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 lfl1dim.g . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1716ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1812, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 17lfl0sc 38255 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
1911, 18eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
20 sneq 4637 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (0gβ€˜π·) β†’ {π‘˜} = {(0gβ€˜π·)})
2120xpeq2d 5705 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (0gβ€˜π·) β†’ (𝑉 Γ— {π‘˜}) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
2221oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (0gβ€˜π·) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
2322rspceeqv 3632 . . . . . . . . 9 (((0gβ€˜π·) ∈ 𝐾 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
2410, 19, 23syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
2524a1d 25 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
269ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
27 lfl1dim.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
284ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
29 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
3012, 13, 27, 28, 29lkrssv 38269 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (πΏβ€˜π‘”) βŠ† 𝑉)
314adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3216adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
335, 7, 12, 13, 27lkr0f 38267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
3431, 32, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
3534biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
3635sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜π‘”)))
3736biimpa 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜π‘”))
3830, 37eqssd 3998 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (πΏβ€˜π‘”) = 𝑉)
395, 7, 12, 13, 27lkr0f 38267 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜π‘”) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
4028, 29, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ ((πΏβ€˜π‘”) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
4216ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
4312, 5, 13, 6, 14, 7, 28, 42lfl0sc 38255 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
4441, 43eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
4526, 44, 23syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
4645ex 411 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
47 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (LSHypβ€˜π‘Š) = (LSHypβ€˜π‘Š)
482ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4916ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
50 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
5112, 5, 7, 47, 13, 27lkrshp 38278 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
53 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
54 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
5512, 5, 7, 47, 13, 27lkrshp 38278 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (πΏβ€˜π‘”) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
5648, 53, 54, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ (πΏβ€˜π‘”) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
5747, 48, 52, 56lshpcmp 38161 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)))
582ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5916ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
60 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
61 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”))
625, 6, 14, 12, 13, 27eqlkr2 38273 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
6358, 59, 60, 61, 62syl121anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
6463ex 411 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
6557, 64sylbid 239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
6625, 46, 65pm2.61da2ne 3028 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
672ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6816ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
69 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
7012, 5, 6, 14, 13, 27, 67, 68, 69lkrscss 38271 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
7170ex 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
72 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜π‘”) = (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
7372sseq2d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
7473biimprcd 249 . . . . . . . 8 ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))) β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)))
7571, 74syl6 35 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”))))
7675rexlimdv 3151 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)))
7766, 76impbid 211 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
7877pm5.32da 577 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
794adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8016adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
81 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
8212, 5, 6, 14, 13, 79, 80, 81lflvscl 38250 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐹)
83 eleq1a 2826 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐹 β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹))
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹))
8584pm4.71rd 561 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
8685rexbidva 3174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
87 r19.42v 3188 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))) ↔ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
8886, 87bitr2di 287 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
8978, 88bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
9089abbidv 2799 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”))} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))})
911, 90eqtrid 2782 1 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βŠ† wss 3947  {csn 4627   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LVecclvec 20857  LSHypclsh 38148  LFnlclfn 38230  LKerclk 38258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lshyp 38150  df-lfl 38231  df-lkr 38259
This theorem is referenced by:  ldual1dim  38339
  Copyright terms: Public domain W3C validator