Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1dim 36731
 Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t · = (.r𝐷)
lfl1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim
StepHypRef Expression
1 df-rab 3079 . 2 {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ (𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))}
2 lfl1dim.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19959 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lfl1dim.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
6 lfl1dim.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Base‘𝐷)
7 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐷) = (0g𝐷)
85, 6, 7lmod0cl 19741 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
109ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
11 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
12 lfl1dim.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lfl1dim.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
14 lfl1dim.t . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝐷)
154ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
16 lfl1dim.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝐹)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺𝐹)
1812, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 17lfl0sc 36692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1911, 18eqtr4d 2796 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
20 sneq 4535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0g𝐷) → {𝑘} = {(0g𝐷)})
2120xpeq2d 5558 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2221oveq2d 7172 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2322rspceeqv 3558 . . . . . . . . 9 (((0g𝐷) ∈ 𝐾𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
2410, 19, 23syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
2524a1d 25 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
269ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
27 lfl1dim.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (LKer‘𝑊)
284ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
29 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
3012, 13, 27, 28, 29lkrssv 36706 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) ⊆ 𝑉)
314adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3216adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝐺𝐹)
335, 7, 12, 13, 27lkr0f 36704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3431, 32, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3534biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
3635sseq1d 3925 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔)))
3736biimpa 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔))
3830, 37eqssd 3911 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) = 𝑉)
395, 7, 12, 13, 27lkr0f 36704 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4028, 29, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4138, 40mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4216ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
4312, 5, 13, 6, 14, 7, 28, 42lfl0sc 36692 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4441, 43eqtr4d 2796 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4526, 44, 23syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
4645ex 416 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
47 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
482ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
4916ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺𝐹)
50 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5112, 5, 7, 47, 13, 27lkrshp 36715 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
53 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔𝐹)
54 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5512, 5, 7, 47, 13, 27lkrshp 36715 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5648, 53, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5747, 48, 52, 56lshpcmp 36598 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)))
582ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
5916ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
60 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
61 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔))
625, 6, 14, 12, 13, 27eqlkr2 36710 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝑔𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
6358, 59, 60, 61, 62syl121anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
6463ex 416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) = (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
6557, 64sylbid 243 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
6625, 46, 65pm2.61da2ne 3039 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
672ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
6816ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
69 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
7012, 5, 6, 14, 13, 27, 67, 68, 69lkrscss 36708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7170ex 416 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
72 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝑔) = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7372sseq2d 3926 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
7473biimprcd 253 . . . . . . . 8 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7571, 74syl6 35 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))))
7675rexlimdv 3207 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐹) → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7766, 76impbid 215 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7877pm5.32da 582 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) ↔ (𝑔𝐹 ∧ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
794adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
8016adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
81 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
8212, 5, 6, 14, 13, 79, 80, 81lflvscl 36687 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹)
83 eleq1a 2847 . . . . . . . 8 ((𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹 → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔𝐹))
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔𝐹))
8584pm4.71rd 566 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) ↔ (𝑔𝐹𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
8685rexbidva 3220 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) ↔ ∃𝑘𝐾 (𝑔𝐹𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
87 r19.42v 3268 . . . . 5 (∃𝑘𝐾 (𝑔𝐹𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ (𝑔𝐹 ∧ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
8886, 87bitr2di 291 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐹 ∧ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
8978, 88bitrd 282 . . 3 (𝜑 → ((𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
9089abbidv 2822 . 2 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
911, 90syl5eq 2805 1 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3860  {csn 4525   × cxp 5526  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∘f cof 7409  Basecbs 16554  .rcmulr 16637  Scalarcsca 16639  0gc0g 16784  LModclmod 19715  LVecclvec 19955  LSHypclsh 36585  LFnlclfn 36667  LKerclk 36695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-subg 18356  df-cntz 18527  df-lsm 18841  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-drng 19585  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825  df-lvec 19956  df-lshyp 36587  df-lfl 36668  df-lkr 36696 This theorem is referenced by:  ldual1dim  36776
 Copyright terms: Public domain W3C validator