Theorem lfl0f 39945

Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0f	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfl0f

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl0f.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
2	1	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	fconst 6762	. . 3 ⊢ (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 }
4		lfl0f.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	4, 5, 1	lmod0cl 21075	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝐷))
7	6	snssd 4747	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝐷))
8		fss 6720	. . 3 ⊢ (((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 } ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐷)) → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
9	3, 7, 8	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
10	4	lmodring 21055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
12		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐷))
13		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	5, 13, 1	ringrz 20439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
16	15	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = ( 0 (+g‘𝐷) 0 ))
17		ringgrp 20380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
18	11, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
19	5, 1	grpidcl 19092	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐷))
20		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
21	5, 20, 1	grplid 19094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐷)) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
22	18, 19, 21	syl2anc2 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
23	16, 22	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
24		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
25	2	fvconst2 7204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
26	24, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
27	26	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = (𝑟(.r‘𝐷) 0 ))
28	2	fvconst2 7204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
29	28	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
30	27, 29	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ))
31		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
32		lfl0f.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
33		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34	32, 4, 33, 5	lmodvscl 21065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
35	31, 12, 24, 34	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
36		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
37		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
38	32, 37	lmodvacl 21062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
39	31, 35, 36, 38	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
40	2	fvconst2 7204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
41	39, 40	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
42	23, 30, 41	3eqtr4rd 2806	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
44	43	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
45		lfl0f.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
46	32, 37, 4, 33, 5, 20, 13, 45	islfl 39936	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))))
47	9, 44, 46	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  {csn 4584   × cxp 5653  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  ._rcmulr 17346  Scalarcsca 17348   ·_𝑠 cvsca 17349  0_gc0g 17527  Grpcgrp 19060  Ringcrg 20375  LModclmod 21047  LFnlclfn 39933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-lmod 21049  df-lfl 39934

This theorem is used by:  lkr0f  39970  lkrscss  39974  ldualgrplem  40021  ldual0v  40026  ldual0vcl  40027  lclkrlem1  42382  lclkr  42409  lclkrs  42415