Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0f Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfl0f 37939
Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0f.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl0f.o 0 = (0gβ€˜π·)
lfl0f.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl0f.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lfl0f (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ 𝐹)
Proof of Theorem lfl0f
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0f.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
21fvexi 6906 . . . 4 0 ∈ V
32fconst 6778 . . 3 (𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ{ 0 }
4 lfl0f.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
64, 5, 1lmod0cl 20498 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π·))
76snssd 4813 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜π·))
8 fss 6735 . . 3 (((𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ{ 0 } ∧ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜π·)) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·))
93, 7, 8sylancr 588 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·))
104lmodring 20479 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
12 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·))
13 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
145, 13, 1ringrz 20108 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 ) = 0 )
1511, 12, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 ) = 0 )
1615oveq1d 7424 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 )(+gβ€˜π·) 0 ) = ( 0 (+gβ€˜π·) 0 ))
17 ringgrp 20061 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
1811, 17syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
195, 1grpidcl 18850 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π·))
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
215, 20, 1grplid 18852 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π·) 0 ) = 0 )
2218, 19, 21syl2anc2 586 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 (+gβ€˜π·) 0 ) = 0 )
2316, 22eqtrd 2773 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 )(+gβ€˜π·) 0 ) = 0 )
24 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
252fvconst2 7205 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
2726oveq2d 7425 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) = (π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 ))
282fvconst2 7205 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦) = 0 )
2928adantl 483 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦) = 0 )
3027, 29oveq12d 7427 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 )(+gβ€˜π·) 0 ))
31 simpll 766 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
32 lfl0f.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
33 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
3432, 4, 33, 5lmodvscl 20489 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
3531, 12, 24, 34syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
36 simpr 486 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
37 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
3832, 37lmodvacl 20486 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
3931, 35, 36, 38syl3anc 1372 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
402fvconst2 7205 . . . . . 6 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = 0 )
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = 0 )
4223, 30, 413eqtr4rd 2784 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
4342ralrimiva 3147 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
4443ralrimivva 3201 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
45 lfl0f.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
4632, 37, 4, 33, 5, 20, 13, 45islfl 37930 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))))
479, 44, 46mpbir2and 712 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  {csn 4629   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  LFnlclfn 37927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lfl 37928
This theorem is referenced by:  lkr0f  37964  lkrscss  37968  ldualgrplem  38015  ldual0v  38020  ldual0vcl  38021  lclkrlem1  40377  lclkr  40404  lclkrs  40410
  Copyright terms: Public domain W3C validator