Theorem lfl0f 37387

Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0f	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfl0f

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl0f.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
2	1	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	fconst 6720	. . 3 ⊢ (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 }
4		lfl0f.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	4, 5, 1	lmod0cl 20259	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝐷))
7	6	snssd 4764	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝐷))
8		fss 6677	. . 3 ⊢ (((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 } ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐷)) → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
9	3, 7, 8	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
10	4	lmodring 20241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
11	10	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
12		simplrl 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐷))
13		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	5, 13, 1	ringrz 19926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
16	15	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = ( 0 (+g‘𝐷) 0 ))
17		ringgrp 19887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
18	11, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
19	5, 1	grpidcl 18708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐷))
20		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
21	5, 20, 1	grplid 18710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐷)) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
22	18, 19, 21	syl2anc2 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
23	16, 22	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
24		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
25	2	fvconst2 7144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
27	26	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = (𝑟(.r‘𝐷) 0 ))
28	2	fvconst2 7144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
29	28	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
30	27, 29	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ))
31		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
32		lfl0f.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
33		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34	32, 4, 33, 5	lmodvscl 20250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
35	31, 12, 24, 34	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
36		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
37		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
38	32, 37	lmodvacl 20247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
39	31, 35, 36, 38	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
40	2	fvconst2 7144	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
42	23, 30, 41	3eqtr4rd 2788	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3141	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
44	43	ralrimivva 3195	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
45		lfl0f.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
46	32, 37, 4, 33, 5, 20, 13, 45	islfl 37378	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))))
47	9, 44, 46	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3062   ⊆ wss 3905  {csn 4581   × cxp 5625  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7346  Basecbs 17014  +_gcplusg 17064  ._rcmulr 17065  Scalarcsca 17067   ·_𝑠 cvsca 17068  0_gc0g 17252  Grpcgrp 18678  Ringcrg 19882  LModclmod 20233  LFnlclfn 37375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-plusg 17077  df-0g 17254  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-grp 18681  df-mgp 19820  df-ring 19884  df-lmod 20235  df-lfl 37376

This theorem is referenced by:  lkr0f  37412  lkrscss  37416  ldualgrplem  37463  ldual0v  37468  ldual0vcl  37469  lclkrlem1  39825  lclkr  39852  lclkrs  39858