Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0f Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfl0f 37927
Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0f.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl0f.o 0 = (0gβ€˜π·)
lfl0f.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl0f.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lfl0f (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ 𝐹)
Proof of Theorem lfl0f
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0f.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
21fvexi 6902 . . . 4 0 ∈ V
32fconst 6774 . . 3 (𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ{ 0 }
4 lfl0f.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
64, 5, 1lmod0cl 20490 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π·))
76snssd 4811 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜π·))
8 fss 6731 . . 3 (((𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ{ 0 } ∧ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜π·)) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·))
93, 7, 8sylancr 587 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·))
104lmodring 20471 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
12 simplrl 775 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·))
13 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
145, 13, 1ringrz 20101 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 ) = 0 )
1511, 12, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 ) = 0 )
1615oveq1d 7420 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 )(+gβ€˜π·) 0 ) = ( 0 (+gβ€˜π·) 0 ))
17 ringgrp 20054 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
1811, 17syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
195, 1grpidcl 18846 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π·))
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
215, 20, 1grplid 18848 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π·) 0 ) = 0 )
2218, 19, 21syl2anc2 585 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 (+gβ€˜π·) 0 ) = 0 )
2316, 22eqtrd 2772 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 )(+gβ€˜π·) 0 ) = 0 )
24 simplrr 776 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
252fvconst2 7201 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
2726oveq2d 7421 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) = (π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 ))
282fvconst2 7201 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦) = 0 )
2928adantl 482 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦) = 0 )
3027, 29oveq12d 7423 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 )(+gβ€˜π·) 0 ))
31 simpll 765 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
32 lfl0f.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
33 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
3432, 4, 33, 5lmodvscl 20481 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
3531, 12, 24, 34syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
36 simpr 485 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
37 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
3832, 37lmodvacl 20478 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
3931, 35, 36, 38syl3anc 1371 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
402fvconst2 7201 . . . . . 6 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = 0 )
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = 0 )
4223, 30, 413eqtr4rd 2783 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
4342ralrimiva 3146 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
4443ralrimivva 3200 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
45 lfl0f.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
4632, 37, 4, 33, 5, 20, 13, 45islfl 37918 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))))
479, 44, 46mpbir2and 711 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  {csn 4627   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LFnlclfn 37915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lfl 37916
This theorem is referenced by:  lkr0f  37952  lkrscss  37956  ldualgrplem  38003  ldual0v  38008  ldual0vcl  38009  lclkrlem1  40365  lclkr  40392  lclkrs  40398
  Copyright terms: Public domain W3C validator