Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl0f 35207
Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0f.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0f.o 0 = (0g𝐷)
lfl0f.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfl0f (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfl0f
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0f.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
21fvexi 6460 . . . 4 0 ∈ V
32fconst 6341 . . 3 (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 }
4 lfl0f.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
64, 5, 1lmod0cl 19281 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝐷))
76snssd 4571 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝐷))
8 fss 6304 . . 3 (((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 } ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐷)) → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
93, 7, 8sylancr 581 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
104lmodring 19263 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
1110ad2antrr 716 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
12 simplrl 767 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐷))
13 eqid 2777 . . . . . . . . 9 (.r𝐷) = (.r𝐷)
145, 13, 1ringrz 18975 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑟(.r𝐷) 0 ) = 0 )
1511, 12, 14syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟(.r𝐷) 0 ) = 0 )
1615oveq1d 6937 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟(.r𝐷) 0 )(+g𝐷) 0 ) = ( 0 (+g𝐷) 0 ))
17 ringgrp 18939 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
1811, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
195, 1grpidcl 17837 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐷))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐷))
21 eqid 2777 . . . . . . . 8 (+g𝐷) = (+g𝐷)
225, 21, 1grplid 17839 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐷)) → ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 )
2318, 20, 22syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 )
2416, 23eqtrd 2813 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟(.r𝐷) 0 )(+g𝐷) 0 ) = 0 )
25 simplrr 768 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
262fvconst2 6741 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2827oveq2d 6938 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = (𝑟(.r𝐷) 0 ))
292fvconst2 6741 . . . . . . 7 (𝑦𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
3029adantl 475 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
3128, 30oveq12d 6940 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷) 0 )(+g𝐷) 0 ))
32 simpll 757 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
33 lfl0f.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
34 eqid 2777 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
3533, 4, 34, 5lmodvscl 19272 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
3632, 12, 25, 35syl3anc 1439 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
37 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
38 eqid 2777 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3933, 38lmodvacl 19269 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
4032, 36, 37, 39syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
412fvconst2 6741 . . . . . 6 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = 0 )
4240, 41syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = 0 )
4324, 31, 423eqtr4rd 2824 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
4443ralrimiva 3147 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) → ∀𝑦𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
4544ralrimivva 3152 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥𝑉𝑦𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
46 lfl0f.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4733, 38, 4, 34, 5, 21, 13, 46islfl 35198 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥𝑉𝑦𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))))
489, 45, 47mpbir2and 703 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  wss 3791  {csn 4397   × cxp 5353  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  .rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  LFnlclfn 35195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-mgp 18877  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lfl 35196
This theorem is referenced by:  lkr0f  35232  lkrscss  35236  ldualgrplem  35283  ldual0v  35288  ldual0vcl  35289  lclkrlem1  37644  lclkr  37671  lclkrs  37677
  Copyright terms: Public domain W3C validator