Theorem lfl0f 39561

Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0f	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfl0f

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl0f.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
2	1	fvexi 6841	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	fconst 6713	. . 3 ⊢ (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 }
4		lfl0f.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	4, 5, 1	lmod0cl 20878	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝐷))
7	6	snssd 4718	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝐷))
8		fss 6671	. . 3 ⊢ (((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 } ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐷)) → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
9	3, 7, 8	sylancr 593	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
10	4	lmodring 20858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
11	10	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
12		simplrl 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐷))
13		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	5, 13, 1	ringrz 20266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
16	15	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = ( 0 (+g‘𝐷) 0 ))
17		ringgrp 20210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
18	11, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
19	5, 1	grpidcl 18932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐷))
20		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
21	5, 20, 1	grplid 18934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐷)) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
22	18, 19, 21	syl2anc2 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
23	16, 22	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
24		simplrr 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
25	2	fvconst2 7148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
27	26	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = (𝑟(.r‘𝐷) 0 ))
28	2	fvconst2 7148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
29	28	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
30	27, 29	oveq12d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ))
31		simpll 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
32		lfl0f.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
33		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34	32, 4, 33, 5	lmodvscl 20868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
35	31, 12, 24, 34	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
36		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
37		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
38	32, 37	lmodvacl 20865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
39	31, 35, 36, 38	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
40	2	fvconst2 7148	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
42	23, 30, 41	3eqtr4rd 2785	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
44	43	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
45		lfl0f.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
46	32, 37, 4, 33, 5, 20, 13, 45	islfl 39552	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))))
47	9, 44, 46	mpbir2and 719	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883  {csn 4555   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  Ringcrg 20205  LModclmod 20850  LFnlclfn 39549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lfl 39550

This theorem is referenced by:  lkr0f  39586  lkrscss  39590  ldualgrplem  39637  ldual0v  39642  ldual0vcl  39643  lclkrlem1  41998  lclkr  42025  lclkrs  42031