Theorem lfl0f 39055

Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0f	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfl0f

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl0f.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
2	1	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	fconst 6728	. . 3 ⊢ (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 }
4		lfl0f.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	4, 5, 1	lmod0cl 20826	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝐷))
7	6	snssd 4769	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝐷))
8		fss 6686	. . 3 ⊢ (((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 } ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐷)) → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
9	3, 7, 8	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
10	4	lmodring 20806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
12		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐷))
13		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	5, 13, 1	ringrz 20214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
16	15	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = ( 0 (+g‘𝐷) 0 ))
17		ringgrp 20158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
18	11, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
19	5, 1	grpidcl 18879	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐷))
20		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
21	5, 20, 1	grplid 18881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐷)) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
22	18, 19, 21	syl2anc2 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
23	16, 22	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
24		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
25	2	fvconst2 7160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
27	26	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = (𝑟(.r‘𝐷) 0 ))
28	2	fvconst2 7160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
30	27, 29	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ))
31		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
32		lfl0f.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
33		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34	32, 4, 33, 5	lmodvscl 20816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
35	31, 12, 24, 34	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
36		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
37		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
38	32, 37	lmodvacl 20813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
39	31, 35, 36, 38	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
40	2	fvconst2 7160	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
42	23, 30, 41	3eqtr4rd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
44	43	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
45		lfl0f.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
46	32, 37, 4, 33, 5, 20, 13, 45	islfl 39046	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))))
47	9, 44, 46	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  {csn 4585   × cxp 5629  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  Grpcgrp 18847  Ringcrg 20153  LModclmod 20798  LFnlclfn 39043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-lmod 20800  df-lfl 39044

This theorem is referenced by:  lkr0f  39080  lkrscss  39084  ldualgrplem  39131  ldual0v  39136  ldual0vcl  39137  lclkrlem1  41493  lclkr  41520  lclkrs  41526