Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl0f 37577
Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0f.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl0f.o 0 = (0gβ€˜π·)
lfl0f.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl0f.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lfl0f (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfl0f
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0f.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
21fvexi 6857 . . . 4 0 ∈ V
32fconst 6729 . . 3 (𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ{ 0 }
4 lfl0f.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
64, 5, 1lmod0cl 20363 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π·))
76snssd 4770 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜π·))
8 fss 6686 . . 3 (((𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ{ 0 } ∧ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜π·)) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·))
93, 7, 8sylancr 588 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·))
104lmodring 20344 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
12 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·))
13 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
145, 13, 1ringrz 20017 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 ) = 0 )
1511, 12, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 ) = 0 )
1615oveq1d 7373 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 )(+gβ€˜π·) 0 ) = ( 0 (+gβ€˜π·) 0 ))
17 ringgrp 19974 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
1811, 17syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
195, 1grpidcl 18783 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π·))
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
215, 20, 1grplid 18785 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π·) 0 ) = 0 )
2218, 19, 21syl2anc2 586 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 (+gβ€˜π·) 0 ) = 0 )
2316, 22eqtrd 2773 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 )(+gβ€˜π·) 0 ) = 0 )
24 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
252fvconst2 7154 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
2726oveq2d 7374 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) = (π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 ))
282fvconst2 7154 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦) = 0 )
2928adantl 483 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦) = 0 )
3027, 29oveq12d 7376 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·) 0 )(+gβ€˜π·) 0 ))
31 simpll 766 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
32 lfl0f.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
33 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
3432, 4, 33, 5lmodvscl 20354 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
3531, 12, 24, 34syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
36 simpr 486 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
37 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
3832, 37lmodvacl 20351 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
3931, 35, 36, 38syl3anc 1372 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
402fvconst2 7154 . . . . . 6 (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = 0 )
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = 0 )
4223, 30, 413eqtr4rd 2784 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
4342ralrimiva 3140 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
4443ralrimivva 3194 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
45 lfl0f.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
4632, 37, 4, 33, 5, 20, 13, 45islfl 37568 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 Γ— { 0 }):π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π·)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))))
479, 44, 46mpbir2and 712 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  {csn 4587   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  LFnlclfn 37565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-mgp 19902  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lfl 37566
This theorem is referenced by:  lkr0f  37602  lkrscss  37606  ldualgrplem  37653  ldual0v  37658  ldual0vcl  37659  lclkrlem1  40015  lclkr  40042  lclkrs  40048
  Copyright terms: Public domain W3C validator