Theorem lfl0f 39058

Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0f	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfl0f

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl0f.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
2	1	fvexi 6836	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
3	2	fconst 6710	. . 3 ⊢ (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 }
4		lfl0f.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	4, 5, 1	lmod0cl 20791	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝐷))
7	6	snssd 4760	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝐷))
8		fss 6668	. . 3 ⊢ (((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 } ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐷)) → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
9	3, 7, 8	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
10	4	lmodring 20771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
12		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐷))
13		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	5, 13, 1	ringrz 20179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷) 0 ) = 0 )
16	15	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = ( 0 (+g‘𝐷) 0 ))
17		ringgrp 20123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
18	11, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
19	5, 1	grpidcl 18844	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐷))
20		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
21	5, 20, 1	grplid 18846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐷)) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
22	18, 19, 21	syl2anc2 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
23	16, 22	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
24		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
25	2	fvconst2 7140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
27	26	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = (𝑟(.r‘𝐷) 0 ))
28	2	fvconst2 7140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
30	27, 29	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷) 0 )(+g‘𝐷) 0 ))
31		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
32		lfl0f.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
33		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34	32, 4, 33, 5	lmodvscl 20781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
35	31, 12, 24, 34	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
36		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
37		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
38	32, 37	lmodvacl 20778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
39	31, 35, 36, 38	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
40	2	fvconst2 7140	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = 0 )
42	23, 30, 41	3eqtr4rd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
44	43	ralrimivva 3172	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
45		lfl0f.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
46	32, 37, 4, 33, 5, 20, 13, 45	islfl 39049	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))))
47	9, 44, 46	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  {csn 4577   × cxp 5617  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  Ringcrg 20118  LModclmod 20763  LFnlclfn 39046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-lfl 39047

This theorem is referenced by:  lkr0f  39083  lkrscss  39087  ldualgrplem  39134  ldual0v  39139  ldual0vcl  39140  lclkrlem1  41495  lclkr  41522  lclkrs  41528