Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl0f 35144
 Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0f.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0f.o 0 = (0g𝐷)
lfl0f.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfl0f (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfl0f
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0f.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
21fvexi 6447 . . . 4 0 ∈ V
32fconst 6328 . . 3 (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 }
4 lfl0f.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
64, 5, 1lmod0cl 19245 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝐷))
76snssd 4558 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝐷))
8 fss 6291 . . 3 (((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 } ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐷)) → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
93, 7, 8sylancr 583 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
104lmodring 19227 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
1110ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
12 simplrl 797 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐷))
13 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (.r𝐷) = (.r𝐷)
145, 13, 1ringrz 18942 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑟(.r𝐷) 0 ) = 0 )
1511, 12, 14syl2anc 581 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟(.r𝐷) 0 ) = 0 )
1615oveq1d 6920 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟(.r𝐷) 0 )(+g𝐷) 0 ) = ( 0 (+g𝐷) 0 ))
17 ringgrp 18906 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
1811, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
195, 1grpidcl 17804 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐷))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐷))
21 eqid 2825 . . . . . . . 8 (+g𝐷) = (+g𝐷)
225, 21, 1grplid 17806 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐷)) → ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 )
2318, 20, 22syl2anc 581 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 )
2416, 23eqtrd 2861 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟(.r𝐷) 0 )(+g𝐷) 0 ) = 0 )
25 simplrr 798 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
262fvconst2 6725 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2827oveq2d 6921 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = (𝑟(.r𝐷) 0 ))
292fvconst2 6725 . . . . . . 7 (𝑦𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
3029adantl 475 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
3128, 30oveq12d 6923 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷) 0 )(+g𝐷) 0 ))
32 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
33 lfl0f.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
34 eqid 2825 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
3533, 4, 34, 5lmodvscl 19236 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
3632, 12, 25, 35syl3anc 1496 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
37 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
38 eqid 2825 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3933, 38lmodvacl 19233 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
4032, 36, 37, 39syl3anc 1496 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
412fvconst2 6725 . . . . . 6 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = 0 )
4240, 41syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = 0 )
4324, 31, 423eqtr4rd 2872 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
4443ralrimiva 3175 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) → ∀𝑦𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
4544ralrimivva 3180 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥𝑉𝑦𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
46 lfl0f.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4733, 38, 4, 34, 5, 21, 13, 46islfl 35135 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥𝑉𝑦𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))))
489, 45, 47mpbir2and 706 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117   ⊆ wss 3798  {csn 4397   × cxp 5340  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  .rcmulr 16306  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453  Grpcgrp 17776  Ringcrg 18901  LModclmod 19219  LFnlclfn 35132 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-mgp 18844  df-ring 18903  df-lmod 19221  df-lfl 35133 This theorem is referenced by:  lkr0f  35169  lkrscss  35173  ldualgrplem  35220  ldual0v  35225  ldual0vcl  35226  lclkrlem1  37581  lclkr  37608  lclkrs  37614
 Copyright terms: Public domain W3C validator