Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfl1dim2N 37987
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. TODO: delete this if not useful; lfl1dim 37986 may be more compatible with lspsn 20612. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
lfl1dim.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lfl1dim.t Β· = (.rβ€˜π·)
lfl1dim.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lfl1dim.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim2N (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))})
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Š   𝑔,π‘˜,πœ‘   Β· ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   Β· (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   π‘Š(𝑔)
Proof of Theorem lfl1dim2N
StepHypRef Expression
1 lfl1dim.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20716 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lfl1dim.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 lfl1dim.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
6 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
74, 5, 6lmod0cl 20497 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
83, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
98ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
10 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
11 lfl1dim.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
12 lfl1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
13 lfl1dim.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π·)
143ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
15 lfl1dim.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1711, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 16lfl0sc 37947 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
1810, 17eqtr4d 2775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
19 sneq 4638 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (0gβ€˜π·) β†’ {π‘˜} = {(0gβ€˜π·)})
2019xpeq2d 5706 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (0gβ€˜π·) β†’ (𝑉 Γ— {π‘˜}) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
2120oveq2d 7424 . . . . . . 7 (π‘˜ = (0gβ€˜π·) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
2221rspceeqv 3633 . . . . . 6 (((0gβ€˜π·) ∈ 𝐾 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
239, 18, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
2423a1d 25 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
258ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (0gβ€˜π·) ∈ 𝐾)
26 lfl1dim.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
273ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
28 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
2911, 12, 26, 27, 28lkrssv 37961 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (πΏβ€˜π‘”) βŠ† 𝑉)
303adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3115adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
324, 6, 11, 12, 26lkr0f 37959 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
3433biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
3534sseq1d 4013 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜π‘”)))
3635biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜π‘”))
3729, 36eqssd 3999 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (πΏβ€˜π‘”) = 𝑉)
384, 6, 11, 12, 26lkr0f 37959 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜π‘”) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
3927, 28, 38syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ ((πΏβ€˜π‘”) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
4037, 39mpbid 231 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
4115ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
4211, 4, 12, 5, 13, 6, 27, 41lfl0sc 37947 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
4340, 42eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
4425, 43, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
4544ex 413 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
46 eqid 2732 . . . . . 6 (LSHypβ€˜π‘Š) = (LSHypβ€˜π‘Š)
471ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4815ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
49 simprr 771 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
5011, 4, 6, 46, 12, 26lkrshp 37970 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
52 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
53 simprl 769 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
5411, 4, 6, 46, 12, 26lkrshp 37970 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (πΏβ€˜π‘”) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
5547, 52, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ (πΏβ€˜π‘”) ∈ (LSHypβ€˜π‘Š))
5646, 47, 51, 55lshpcmp 37853 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)))
571ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5815ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
59 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
60 simpr 485 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”))
614, 5, 13, 11, 12, 26eqlkr2 37965 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
6257, 58, 59, 60, 61syl121anc 1375 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))
6362ex 413 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
6456, 63sylbid 239 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
6524, 45, 64pm2.61da2ne 3030 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
661ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6715ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
68 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
6911, 4, 5, 13, 12, 26, 66, 67, 68lkrscss 37963 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
7069ex 413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
71 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜π‘”) = (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
7271sseq2d 4014 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})))))
7372biimprcd 249 . . . . 5 ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))) β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)))
7470, 73syl6 35 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”))))
7574rexlimdv 3153 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜})) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)))
7665, 75impbid 211 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))))
7776rabbidva 3439 1 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘˜}))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948  {csn 4628   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  0gc0g 17384  LModclmod 20470  LVecclvec 20712  LSHypclsh 37840  LFnlclfn 37922  LKerclk 37950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lshyp 37842  df-lfl 37923  df-lkr 37951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator