Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1dim2N 37584
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. TODO: delete this if not useful; lfl1dim 37583 may be more compatible with lspsn 20463. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t · = (.r𝐷)
lfl1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim2N (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim2N
StepHypRef Expression
1 lfl1dim.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 20567 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lfl1dim.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5 lfl1dim.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝐷)
6 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝐷) = (0g𝐷)
74, 5, 6lmod0cl 20348 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
83, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
98ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
10 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
11 lfl1dim.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 lfl1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13 lfl1dim.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
143ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
15 lfl1dim.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺𝐹)
1711, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 16lfl0sc 37544 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1810, 17eqtr4d 2779 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
19 sneq 4596 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (0g𝐷) → {𝑘} = {(0g𝐷)})
2019xpeq2d 5663 . . . . . . . 8 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2120oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2221rspceeqv 3595 . . . . . 6 (((0g𝐷) ∈ 𝐾𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
239, 18, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
2423a1d 25 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
258ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
26 lfl1dim.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑊)
273ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
28 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
2911, 12, 26, 27, 28lkrssv 37558 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) ⊆ 𝑉)
303adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3115adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝐺𝐹)
324, 6, 11, 12, 26lkr0f 37556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3433biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
3534sseq1d 3975 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔)))
3635biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔))
3729, 36eqssd 3961 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) = 𝑉)
384, 6, 11, 12, 26lkr0f 37556 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3927, 28, 38syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4037, 39mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4115ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
4211, 4, 12, 5, 13, 6, 27, 41lfl0sc 37544 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4340, 42eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4425, 43, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
4544ex 413 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
46 eqid 2736 . . . . . 6 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
471ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
4815ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺𝐹)
49 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5011, 4, 6, 46, 12, 26lkrshp 37567 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
52 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔𝐹)
53 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5411, 4, 6, 46, 12, 26lkrshp 37567 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5547, 52, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5646, 47, 51, 55lshpcmp 37450 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)))
571ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
5815ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
59 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
60 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔))
614, 5, 13, 11, 12, 26eqlkr2 37562 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝑔𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
6257, 58, 59, 60, 61syl121anc 1375 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
6362ex 413 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) = (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
6456, 63sylbid 239 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
6524, 45, 64pm2.61da2ne 3033 . . 3 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
661ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
6715ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
68 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
6911, 4, 5, 13, 12, 26, 66, 67, 68lkrscss 37560 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7069ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
71 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝑔) = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7271sseq2d 3976 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
7372biimprcd 249 . . . . 5 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7470, 73syl6 35 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))))
7574rexlimdv 3150 . . 3 ((𝜑𝑔𝐹) → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7665, 75impbid 211 . 2 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7776rabbidva 3414 1 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  {csn 4586   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136  0gc0g 17321  LModclmod 20322  LVecclvec 20563  LSHypclsh 37437  LFnlclfn 37519  LKerclk 37547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lshyp 37439  df-lfl 37520  df-lkr 37548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator