Theorem lfl1dim2N 39954

Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. TODO: delete this if not useful; lfl1dim 39953 may be more compatible with lspsn 21173. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lfl1dim.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfl1dim2N	⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))})

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfl1dim.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lfl1dim.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5		lfl1dim.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
6		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
7	4, 5, 6	lmod0cl 21059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
8	3, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
10		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
11		lfl1dim.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		lfl1dim.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13		lfl1dim.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝐷)
14	3	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
15		lfl1dim.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 16	lfl0sc 39914	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
18	10, 17	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
19		sneq 4601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (0g‘𝐷) → {𝑘} = {(0g‘𝐷)})
20	19	xpeq2d 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (0g‘𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
21	20	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (0g‘𝐷) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
22	21	rspceeqv 3606	. . . . . 6 ⊢ (((0g‘𝐷) ∈ 𝐾 ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
23	9, 18, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
24	23	a1d 26	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
25	8	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (0g‘𝐷) ∈ 𝐾)
26		lfl1dim.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
27	3	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
28		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝐹)
29	11, 12, 26, 27, 28	lkrssv 39928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (𝐿‘𝑔) ⊆ 𝑉)
30	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
31	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32	4, 6, 11, 12, 26	lkr0f 39926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
33	30, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
34	33	biimpar 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
35	34	sseq1d 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿‘𝑔)))
36	35	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿‘𝑔))
37	29, 36	eqssd 3955	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (𝐿‘𝑔) = 𝑉)
38	4, 6, 11, 12, 26	lkr0f 39926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝑔) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
39	27, 28, 38	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → ((𝐿‘𝑔) = 𝑉 ↔ 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
40	37, 39	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
41	15	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
42	11, 4, 12, 5, 13, 6, 27, 41	lfl0sc 39914	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
43	40, 42	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
44	25, 43, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
45	44	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
46		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
47	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
48	15	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
49		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
50	11, 4, 6, 46, 12, 26	lkrshp 39937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐿‘𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → (𝐿‘𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
52		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝑔 ∈ 𝐹)
53		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
54	11, 4, 6, 46, 12, 26	lkrshp 39937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) → (𝐿‘𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
55	47, 52, 53, 54	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → (𝐿‘𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
56	46, 47, 51, 55	lshpcmp 39820	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)))
57	1	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
58	15	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
59		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝐹)
60		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔))
61	4, 5, 13, 11, 12, 26	eqlkr2 39932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
62	57, 58, 59, 60, 61	syl121anc 1402	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) ∧ (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))
63	62	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ((𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
64	56, 63	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
65	24, 45, 64	pm2.61da2ne 3048	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
66	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
67	15	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ 𝐹)
68		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ 𝐾)
69	11, 4, 5, 13, 12, 26, 66, 67, 68	lkrscss 39930	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
70	69	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑘 ∈ 𝐾 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
71		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝑔) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
72	71	sseq2d 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})))))
73	72	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)))
74	70, 73	syl6 36	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑘 ∈ 𝐾 → (𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔))))
75	74	rexlimdv 3166	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)))
76	65, 75	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))))
77	76	rabbidva 3424	1 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑔 = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑘}))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906  {csn 4591   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333  Scalarcsca 17335  0_gc0g 17514  LModclmod 21031  LVecclvec 21273  LSHypclsh 39807  LFnlclfn 39889  LKerclk 39917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-lsm 19750  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-nzr 20660  df-rlreg 20843  df-domn 20844  df-drng 20879  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lvec 21274  df-lshyp 39809  df-lfl 39890  df-lkr 39918

This theorem is used by: (None)