Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1dim2N 36366
 Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. TODO: delete this if not useful; lfl1dim 36365 may be more compatible with lspsn 19774. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t · = (.r𝐷)
lfl1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim2N (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim2N
StepHypRef Expression
1 lfl1dim.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19878 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lfl1dim.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5 lfl1dim.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝐷)
6 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (0g𝐷) = (0g𝐷)
74, 5, 6lmod0cl 19660 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
83, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
98ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
10 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
11 lfl1dim.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 lfl1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13 lfl1dim.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
143ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
15 lfl1dim.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺𝐹)
1711, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 16lfl0sc 36326 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1810, 17eqtr4d 2862 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
19 sneq 4560 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (0g𝐷) → {𝑘} = {(0g𝐷)})
2019xpeq2d 5572 . . . . . . . 8 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2120oveq2d 7165 . . . . . . 7 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2221rspceeqv 3624 . . . . . 6 (((0g𝐷) ∈ 𝐾𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
239, 18, 22syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
2423a1d 25 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
258ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
26 lfl1dim.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑊)
273ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
28 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
2911, 12, 26, 27, 28lkrssv 36340 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) ⊆ 𝑉)
303adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3115adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝐺𝐹)
324, 6, 11, 12, 26lkr0f 36338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3330, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3433biimpar 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
3534sseq1d 3984 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔)))
3635biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔))
3729, 36eqssd 3970 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) = 𝑉)
384, 6, 11, 12, 26lkr0f 36338 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3927, 28, 38syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4037, 39mpbid 235 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4115ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
4211, 4, 12, 5, 13, 6, 27, 41lfl0sc 36326 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4340, 42eqtr4d 2862 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4425, 43, 22syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
4544ex 416 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
46 eqid 2824 . . . . . 6 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
471ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
4815ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺𝐹)
49 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5011, 4, 6, 46, 12, 26lkrshp 36349 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
52 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔𝐹)
53 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5411, 4, 6, 46, 12, 26lkrshp 36349 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5547, 52, 53, 54syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5646, 47, 51, 55lshpcmp 36232 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)))
571ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
5815ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
59 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
60 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔))
614, 5, 13, 11, 12, 26eqlkr2 36344 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝑔𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
6257, 58, 59, 60, 61syl121anc 1372 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))
6362ex 416 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) = (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
6456, 63sylbid 243 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
6524, 45, 64pm2.61da2ne 3102 . . 3 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
661ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
6715ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
68 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
6911, 4, 5, 13, 12, 26, 66, 67, 68lkrscss 36342 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7069ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
71 fveq2 6661 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝑔) = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7271sseq2d 3985 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘})))))
7372biimprcd 253 . . . . 5 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7470, 73syl6 35 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))))
7574rexlimdv 3275 . . 3 ((𝜑𝑔𝐹) → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7665, 75impbid 215 . 2 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))))
7776rabbidva 3463 1 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺f · (𝑉 × {𝑘}))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134  {crab 3137   ⊆ wss 3919  {csn 4550   × cxp 5540  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∘f cof 7401  Basecbs 16483  .rcmulr 16566  Scalarcsca 16568  0gc0g 16713  LModclmod 19634  LVecclvec 19874  LSHypclsh 36219  LFnlclfn 36301  LKerclk 36329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lshyp 36221  df-lfl 36302  df-lkr 36330 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator