Theorem lincval1 49673

Description: The linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincval1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincval1.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincval1.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}

Assertion

Ref	Expression
lincval1	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem lincval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincval1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2		lincval1.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4	1, 2, 3	lmod0cl 21178	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
6		lincval1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
8		lincval1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, (0g‘𝑆)⟩}
9	6, 1, 2, 7, 8	lincvalsn 49671	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = ((0g‘𝑆)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
10	5, 9	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = ((0g‘𝑆)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
12	6, 1, 7, 3, 11	lmod0vs 21185	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑆)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (0g‘𝑀))
13	10, 12	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {csn 4588  ⟨cop 4838  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  Scalarcsca 17446   ·_𝑠 cvsca 17447  0_gc0g 17625  LModclmod 21150   linC clinc 49658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-hash 14488  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-mulg 19293  df-cntz 19546  df-ring 20476  df-lmod 21152  df-linc 49660

This theorem is used by:  lcosn0  49674