Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincval1 44826
Description: The linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincval1.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincval1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincval1.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincval1.f 𝐹 = {⟨𝑉, (0g𝑆)⟩}
Assertion
Ref Expression
lincval1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g𝑀))

Proof of Theorem lincval1
StepHypRef Expression
1 lincval1.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2 lincval1.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2798 . . . . 5 (0g𝑆) = (0g𝑆)
41, 2, 3lmod0cl 19653 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
54adantr 484 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
6 lincval1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
7 eqid 2798 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
8 lincval1.f . . . 4 𝐹 = {⟨𝑉, (0g𝑆)⟩}
96, 1, 2, 7, 8lincvalsn 44824 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵 ∧ (0g𝑆) ∈ 𝑅) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = ((0g𝑆)( ·𝑠𝑀)𝑉))
105, 9mpd3an3 1459 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = ((0g𝑆)( ·𝑠𝑀)𝑉))
11 eqid 2798 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
126, 1, 7, 3, 11lmod0vs 19660 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → ((0g𝑆)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (0g𝑀))
1310, 12eqtrd 2833 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  {csn 4525  cop 4531  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  LModclmod 19627   linC clinc 44811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-linc 44813
This theorem is referenced by:  lcosn0  44827
  Copyright terms: Public domain W3C validator