Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincval1 44402
Description: The linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincval1.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincval1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincval1.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincval1.f 𝐹 = {⟨𝑉, (0g𝑆)⟩}
Assertion
Ref Expression
lincval1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g𝑀))

Proof of Theorem lincval1
StepHypRef Expression
1 lincval1.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2 lincval1.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2818 . . . . 5 (0g𝑆) = (0g𝑆)
41, 2, 3lmod0cl 19589 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
54adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
6 lincval1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
7 eqid 2818 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
8 lincval1.f . . . 4 𝐹 = {⟨𝑉, (0g𝑆)⟩}
96, 1, 2, 7, 8lincvalsn 44400 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵 ∧ (0g𝑆) ∈ 𝑅) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = ((0g𝑆)( ·𝑠𝑀)𝑉))
105, 9mpd3an3 1453 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = ((0g𝑆)( ·𝑠𝑀)𝑉))
11 eqid 2818 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
126, 1, 7, 3, 11lmod0vs 19596 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → ((0g𝑆)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (0g𝑀))
1310, 12eqtrd 2853 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉}) = (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557  cop 4563  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  LModclmod 19563   linC clinc 44387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-linc 44389
This theorem is referenced by:  lcosn0  44403
  Copyright terms: Public domain W3C validator