Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmapval0 39561
Description: Value of the scalar sigma map at zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapval0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapval0.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapval0.o 0 = (0g𝑅)
hgmapval0.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hgmapval0 (𝜑 → (𝐺0 ) = 0 )

Proof of Theorem hgmapval0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmapval0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmapval0.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2739 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4 eqid 2739 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hgmapval0.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 39111 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g𝑈))
7 eqid 2739 . . . . . . . . 9 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9 eqid 2739 . . . . . . . . 9 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
105adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
121, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11hdmapeq0 39513 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 = (0g𝑈)))
1312biimpd 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥 = (0g𝑈)))
1413necon3ad 2948 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ≠ (0g𝑈) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
15143impia 1118 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
161, 2, 5dvhlmod 38779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
17 hgmapval0.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
19 hgmapval0.o . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑅)
203, 17, 18, 19, 4lmod0vs 19798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠𝑈)𝑥) = (0g𝑈))
2116, 20sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠𝑈)𝑥) = (0g𝑈))
2221fveq2d 6690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠𝑈)𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g𝑈)))
23 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
25 hgmapval0.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
2617, 23, 19lmod0cl 19791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑅))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
2827adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
291, 2, 3, 18, 17, 23, 7, 24, 9, 25, 10, 11, 28hgmapvs 39560 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠𝑈)𝑥)) = ((𝐺0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
301, 2, 4, 7, 8, 9, 5hdmapval0 39502 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
3130adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
3222, 29, 313eqtr3d 2782 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
33 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
34 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
35 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
36 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
371, 7, 5lcdlvec 39260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
3837adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
391, 2, 10dvhlmod 38779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
4039, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
411, 2, 17, 23, 7, 34, 35, 25, 10, 40hgmapdcl 39559 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐺0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
421, 2, 3, 7, 33, 9, 10, 11hdmapcl 39499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
4333, 24, 34, 35, 36, 8, 38, 41, 42lvecvs0or 20011 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((𝐺0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝐺0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
4432, 43mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
4544orcomd 870 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∨ (𝐺0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
4645ord 863 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
47463adant3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
4815, 47mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
4948rexlimdv3a 3197 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g𝑈) → (𝐺0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
506, 49mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝐺0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
511, 2, 17, 19, 7, 34, 36, 5lcd0 39277 . 2 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 0 )
5250, 51eqtrd 2774 1 (𝜑 → (𝐺0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wrex 3055  cfv 6349  (class class class)co 7182  Basecbs 16598  Scalarcsca 16683   ·𝑠 cvsca 16684  0gc0g 16828  LModclmod 19765  LVecclvec 20005  HLchlt 37019  LHypclh 37653  DVecHcdvh 38747  LCDualclcd 39255  HDMapchdma 39461  HGMapchg 39552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-riotaBAD 36622
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-tpos 7933  df-undef 7980  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-0g 16830  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-proset 17666  df-poset 17684  df-plt 17696  df-lub 17712  df-glb 17713  df-join 17714  df-meet 17715  df-p0 17777  df-p1 17778  df-lat 17784  df-clat 17846  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-subg 18406  df-cntz 18577  df-oppg 18604  df-lsm 18891  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-oppr 19507  df-dvdsr 19525  df-unit 19526  df-invr 19556  df-dvr 19567  df-drng 19635  df-lmod 19767  df-lss 19835  df-lsp 19875  df-lvec 20006  df-lsatoms 36645  df-lshyp 36646  df-lcv 36688  df-lfl 36727  df-lkr 36755  df-ldual 36793  df-oposet 36845  df-ol 36847  df-oml 36848  df-covers 36935  df-ats 36936  df-atl 36967  df-cvlat 36991  df-hlat 37020  df-llines 37167  df-lplanes 37168  df-lvols 37169  df-lines 37170  df-psubsp 37172  df-pmap 37173  df-padd 37465  df-lhyp 37657  df-laut 37658  df-ldil 37773  df-ltrn 37774  df-trl 37828  df-tgrp 38412  df-tendo 38424  df-edring 38426  df-dveca 38672  df-disoa 38698  df-dvech 38748  df-dib 38808  df-dic 38842  df-dih 38898  df-doch 39017  df-djh 39064  df-lcdual 39256  df-mapd 39294  df-hvmap 39426  df-hdmap1 39462  df-hdmap 39463  df-hgmap 39553
This theorem is referenced by:  hgmapeq0  39573  hgmapvv  39595
  Copyright terms: Public domain W3C validator