Theorem hgmapval0 42385

Description: Value of the scalar sigma map at zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapval0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapval0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapval0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hgmapval0.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hgmapval0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem hgmapval0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapval0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapval0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapval0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 41935	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
12	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11	hdmapeq0 42337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 = (0g‘𝑈)))
13	12	biimpd 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥 = (0g‘𝑈)))
14	13	necon3ad 2948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
15	14	3impia 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
16	1, 2, 5	dvhlmod 41603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		hgmapval0.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		hgmapval0.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20	3, 17, 18, 19, 4	lmod0vs 20892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
21	16, 20	sylan 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
22	21	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)))
23		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
25		hgmapval0.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
26	17, 23, 19	lmod0cl 20885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑅))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29	1, 2, 3, 18, 17, 23, 7, 24, 9, 25, 10, 11, 28	hgmapvs 42384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
30	1, 2, 4, 7, 8, 9, 5	hdmapval0 42326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
32	22, 29, 31	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
33		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
34		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
35		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
36		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
37	1, 7, 5	lcdlvec 42084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
39	1, 2, 10	dvhlmod 41603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
40	39, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
41	1, 2, 17, 23, 7, 34, 35, 25, 10, 40	hgmapdcl 42383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
42	1, 2, 3, 7, 33, 9, 10, 11	hdmapcl 42323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
43	33, 24, 34, 35, 36, 8, 38, 41, 42	lvecvs0or 21108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
44	32, 43	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
45	44	orcomd 877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∨ (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
46	45	ord 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
47	46	3adant3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
48	15, 47	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
49	48	rexlimdv3a 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
50	6, 49	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
51	1, 2, 17, 19, 7, 34, 36, 5	lcd0 42101	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 0 )
52	50, 51	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  LModclmod 20857  LVecclvec 21099  HLchlt 39843  LHypclh 40477  DVecHcdvh 41571  LCDualclcd 42079  HDMapchdma 42285  HGMapchg 42376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-riotaBAD 39446

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-undef 8220  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17402  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18396  df-clat 18463  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cntz 19290  df-oppg 19319  df-lsm 19609  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-nzr 20492  df-rlreg 20673  df-domn 20674  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21100  df-lsatoms 39469  df-lshyp 39470  df-lcv 39512  df-lfl 39551  df-lkr 39579  df-ldual 39617  df-oposet 39669  df-ol 39671  df-oml 39672  df-covers 39759  df-ats 39760  df-atl 39791  df-cvlat 39815  df-hlat 39844  df-llines 39991  df-lplanes 39992  df-lvols 39993  df-lines 39994  df-psubsp 39996  df-pmap 39997  df-padd 40289  df-lhyp 40481  df-laut 40482  df-ldil 40597  df-ltrn 40598  df-trl 40652  df-tgrp 41236  df-tendo 41248  df-edring 41250  df-dveca 41496  df-disoa 41522  df-dvech 41572  df-dib 41632  df-dic 41666  df-dih 41722  df-doch 41841  df-djh 41888  df-lcdual 42080  df-mapd 42118  df-hvmap 42250  df-hdmap1 42286  df-hdmap 42287  df-hgmap 42377

This theorem is referenced by:  hgmapeq0  42397  hgmapvv  42419