Theorem hgmapval0 42349

Description: Value of the scalar sigma map at zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapval0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapval0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapval0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hgmapval0.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hgmapval0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem hgmapval0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapval0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapval0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapval0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 41899	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
12	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11	hdmapeq0 42301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 = (0g‘𝑈)))
13	12	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥 = (0g‘𝑈)))
14	13	necon3ad 2946	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
15	14	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
16	1, 2, 5	dvhlmod 41567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		hgmapval0.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		hgmapval0.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20	3, 17, 18, 19, 4	lmod0vs 20879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
21	16, 20	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
22	21	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
25		hgmapval0.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
26	17, 23, 19	lmod0cl 20872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑅))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29	1, 2, 3, 18, 17, 23, 7, 24, 9, 25, 10, 11, 28	hgmapvs 42348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
30	1, 2, 4, 7, 8, 9, 5	hdmapval0 42290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
32	22, 29, 31	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
34		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
36		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
37	1, 7, 5	lcdlvec 42048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
39	1, 2, 10	dvhlmod 41567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
40	39, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
41	1, 2, 17, 23, 7, 34, 35, 25, 10, 40	hgmapdcl 42347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
42	1, 2, 3, 7, 33, 9, 10, 11	hdmapcl 42287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
43	33, 24, 34, 35, 36, 8, 38, 41, 42	lvecvs0or 21096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
44	32, 43	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
45	44	orcomd 872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∨ (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
46	45	ord 865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
47	46	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
48	15, 47	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
49	48	rexlimdv3a 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
50	6, 49	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
51	1, 2, 17, 19, 7, 34, 36, 5	lcd0 42065	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 0 )
52	50, 51	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  0_gc0g 17391  LModclmod 20844  LVecclvec 21087  HLchlt 39807  LHypclh 40441  DVecHcdvh 41535  LCDualclcd 42043  HDMapchdma 42249  HGMapchg 42340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-riotaBAD 39410

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-undef 8214  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-nzr 20479  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lvec 21088  df-lsatoms 39433  df-lshyp 39434  df-lcv 39476  df-lfl 39515  df-lkr 39543  df-ldual 39581  df-oposet 39633  df-ol 39635  df-oml 39636  df-covers 39723  df-ats 39724  df-atl 39755  df-cvlat 39779  df-hlat 39808  df-llines 39955  df-lplanes 39956  df-lvols 39957  df-lines 39958  df-psubsp 39960  df-pmap 39961  df-padd 40253  df-lhyp 40445  df-laut 40446  df-ldil 40561  df-ltrn 40562  df-trl 40616  df-tgrp 41200  df-tendo 41212  df-edring 41214  df-dveca 41460  df-disoa 41486  df-dvech 41536  df-dib 41596  df-dic 41630  df-dih 41686  df-doch 41805  df-djh 41852  df-lcdual 42044  df-mapd 42082  df-hvmap 42214  df-hdmap1 42250  df-hdmap 42251  df-hgmap 42341

This theorem is referenced by:  hgmapeq0  42361  hgmapvv  42383