Theorem hgmapval0 41894

Description: Value of the scalar sigma map at zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapval0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapval0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapval0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hgmapval0.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hgmapval0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem hgmapval0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapval0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapval0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapval0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 41444	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
12	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11	hdmapeq0 41846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 = (0g‘𝑈)))
13	12	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥 = (0g‘𝑈)))
14	13	necon3ad 2953	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
15	14	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
16	1, 2, 5	dvhlmod 41112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		hgmapval0.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		hgmapval0.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20	3, 17, 18, 19, 4	lmod0vs 20893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
21	16, 20	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
22	21	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
25		hgmapval0.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
26	17, 23, 19	lmod0cl 20886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑅))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29	1, 2, 3, 18, 17, 23, 7, 24, 9, 25, 10, 11, 28	hgmapvs 41893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
30	1, 2, 4, 7, 8, 9, 5	hdmapval0 41835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
32	22, 29, 31	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
34		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
36		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
37	1, 7, 5	lcdlvec 41593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
39	1, 2, 10	dvhlmod 41112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
40	39, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
41	1, 2, 17, 23, 7, 34, 35, 25, 10, 40	hgmapdcl 41892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
42	1, 2, 3, 7, 33, 9, 10, 11	hdmapcl 41832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
43	33, 24, 34, 35, 36, 8, 38, 41, 42	lvecvs0or 21110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
44	32, 43	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
45	44	orcomd 872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∨ (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
46	45	ord 865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
47	46	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
48	15, 47	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
49	48	rexlimdv3a 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
50	6, 49	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
51	1, 2, 17, 19, 7, 34, 36, 5	lcd0 41610	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 0 )
52	50, 51	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  LModclmod 20858  LVecclvec 21101  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  LCDualclcd 41588  HDMapchdma 41794  HGMapchg 41885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589  df-mapd 41627  df-hvmap 41759  df-hdmap1 41795  df-hdmap 41796  df-hgmap 41886

This theorem is referenced by:  hgmapeq0  41906  hgmapvv  41928