Theorem hgmapval0 39833

Description: Value of the scalar sigma map at zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapval0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapval0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapval0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hgmapval0.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hgmapval0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem hgmapval0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapval0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapval0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapval0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 39383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
12	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11	hdmapeq0 39785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 = (0g‘𝑈)))
13	12	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥 = (0g‘𝑈)))
14	13	necon3ad 2955	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
15	14	3impia 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
16	1, 2, 5	dvhlmod 39051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		hgmapval0.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		hgmapval0.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20	3, 17, 18, 19, 4	lmod0vs 20071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
21	16, 20	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
22	21	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)))
23		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
25		hgmapval0.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
26	17, 23, 19	lmod0cl 20064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑅))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29	1, 2, 3, 18, 17, 23, 7, 24, 9, 25, 10, 11, 28	hgmapvs 39832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
30	1, 2, 4, 7, 8, 9, 5	hdmapval0 39774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
32	22, 29, 31	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
33		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
34		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
35		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
36		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
37	1, 7, 5	lcdlvec 39532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
39	1, 2, 10	dvhlmod 39051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
40	39, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
41	1, 2, 17, 23, 7, 34, 35, 25, 10, 40	hgmapdcl 39831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
42	1, 2, 3, 7, 33, 9, 10, 11	hdmapcl 39771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
43	33, 24, 34, 35, 36, 8, 38, 41, 42	lvecvs0or 20285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
44	32, 43	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
45	44	orcomd 867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∨ (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
46	45	ord 860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
47	46	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
48	15, 47	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
49	48	rexlimdv3a 3214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
50	6, 49	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
51	1, 2, 17, 19, 7, 34, 36, 5	lcd0 39549	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 0 )
52	50, 51	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LVecclvec 20279  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527  HDMapchdma 39733  HGMapchg 39824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566  df-hvmap 39698  df-hdmap1 39734  df-hdmap 39735  df-hgmap 39825

This theorem is referenced by:  hgmapeq0  39845  hgmapvv  39867