Theorem hgmapval0 42464

Description: Value of the scalar sigma map at zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapval0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapval0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapval0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hgmapval0.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapval0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hgmapval0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem hgmapval0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapval0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapval0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapval0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 42014	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	5	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
12	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11	hdmapeq0 42416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 = (0g‘𝑈)))
13	12	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑥 = (0g‘𝑈)))
14	13	necon3ad 2964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
15	14	3impia 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → ¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
16	1, 2, 5	dvhlmod 41682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		hgmapval0.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18		eqid 2756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		hgmapval0.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20	3, 17, 18, 19, 4	lmod0vs 20935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
21	16, 20	sylan 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥) = (0g‘𝑈))
22	21	fveq2d 6860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)))
23		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
25		hgmapval0.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
26	17, 23, 19	lmod0cl 20928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑅))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28	27	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29	1, 2, 3, 18, 17, 23, 7, 24, 9, 25, 10, 11, 28	hgmapvs 42463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘( 0 ( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
30	1, 2, 4, 7, 8, 9, 5	hdmapval0 42405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
31	30	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(0g‘𝑈)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
32	22, 29, 31	3eqtr3d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
33		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
34		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
35		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
36		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
37	1, 7, 5	lcdlvec 42163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
38	37	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
39	1, 2, 10	dvhlmod 41682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
40	39, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
41	1, 2, 17, 23, 7, 34, 35, 25, 10, 40	hgmapdcl 42462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
42	1, 2, 3, 7, 33, 9, 10, 11	hdmapcl 42402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
43	33, 24, 34, 35, 36, 8, 38, 41, 42	lvecvs0or 21151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (((𝐺‘ 0 )( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
44	32, 43	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∨ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
45	44	orcomd 880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∨ (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
46	45	ord 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
47	46	3adant3 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (¬ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
48	15, 47	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
49	48	rexlimdv3a 3161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)𝑥 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))))
50	6, 49	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
51	1, 2, 17, 19, 7, 34, 36, 5	lcd0 42180	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 0 )
52	50, 51	eqtrd 2791	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∃wrex 3080  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  Scalarcsca 17265   ·_𝑠 cvsca 17266  0_gc0g 17444  LModclmod 20900  LVecclvec 21142  HLchlt 39922  LHypclh 40556  DVecHcdvh 41650  LCDualclcd 42158  HDMapchdma 42364  HGMapchg 42455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-riotaBAD 39525

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-undef 8241  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-0g 17446  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-proset 18302  df-poset 18321  df-plt 18336  df-lub 18352  df-glb 18353  df-join 18354  df-meet 18355  df-p0 18431  df-p1 18432  df-lat 18440  df-clat 18507  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19333  df-oppg 19362  df-lsm 19652  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-nzr 20535  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-drng 20753  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-lsp 21012  df-lvec 21143  df-lsatoms 39548  df-lshyp 39549  df-lcv 39591  df-lfl 39630  df-lkr 39658  df-ldual 39696  df-oposet 39748  df-ol 39750  df-oml 39751  df-covers 39838  df-ats 39839  df-atl 39870  df-cvlat 39894  df-hlat 39923  df-llines 40070  df-lplanes 40071  df-lvols 40072  df-lines 40073  df-psubsp 40075  df-pmap 40076  df-padd 40368  df-lhyp 40560  df-laut 40561  df-ldil 40676  df-ltrn 40677  df-trl 40731  df-tgrp 41315  df-tendo 41327  df-edring 41329  df-dveca 41575  df-disoa 41601  df-dvech 41651  df-dib 41711  df-dic 41745  df-dih 41801  df-doch 41920  df-djh 41967  df-lcdual 42159  df-mapd 42197  df-hvmap 42329  df-hdmap1 42365  df-hdmap 42366  df-hgmap 42456

This theorem is referenced by:  hgmapeq0  42476  hgmapvv  42498