Theorem hgmapeq0 39032

Description: The scalar sigma map is zero iff its argument is zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapeq0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapeq0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapeq0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapeq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hgmapeq0.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapeq0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapeq0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapeq0	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem hgmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapeq0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapeq0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmapeq0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		hgmapeq0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		hgmapeq0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hgmapeq0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmapval0 39020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )
8	7	eqeq2d 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘ 0 ) ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))
9		hgmapeq0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		hgmapeq0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 6	dvhlmod 38238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12	3, 9, 4	lmod0cl 19652	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 9, 5, 6, 10, 13	hgmap11 39030	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	8, 14	bitr3d 283	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6348  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560  0_gc0g 16705  LModclmod 19626  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  HGMapchg 39011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36104  df-lshyp 36105  df-lcv 36147  df-lfl 36186  df-lkr 36214  df-ldual 36252  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tgrp 37871  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-dveca 38131  df-disoa 38157  df-dvech 38207  df-dib 38267  df-dic 38301  df-dih 38357  df-doch 38476  df-djh 38523  df-lcdual 38715  df-mapd 38753  df-hvmap 38885  df-hdmap1 38921  df-hdmap 38922  df-hgmap 39012

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  39051  hgmapvvlem2  39052