Theorem hgmapeq0 42243

Description: The scalar sigma map is zero iff its argument is zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapeq0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapeq0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapeq0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapeq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hgmapeq0.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapeq0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapeq0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapeq0	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem hgmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapeq0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapeq0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmapeq0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		hgmapeq0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		hgmapeq0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hgmapeq0.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmapval0 42231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘ 0 ) = 0 )
8	7	eqeq2d 2748	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘ 0 ) ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))
9		hgmapeq0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		hgmapeq0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 6	dvhlmod 41449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12	3, 9, 4	lmod0cl 20844	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 9, 5, 6, 10, 13	hgmap11 42241	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	8, 14	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  Basecbs 17141  Scalarcsca 17185  0_gc0g 17364  LModclmod 20816  HLchlt 39689  LHypclh 40323  DVecHcdvh 41417  HGMapchg 42222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-riotaBAD 39292

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-undef 8218  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-0g 17366  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-proset 18222  df-poset 18241  df-plt 18256  df-lub 18272  df-glb 18273  df-join 18274  df-meet 18275  df-p0 18351  df-p1 18352  df-lat 18360  df-clat 18427  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-subg 19058  df-cntz 19251  df-oppg 19280  df-lsm 19570  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-nzr 20451  df-rlreg 20632  df-domn 20633  df-drng 20669  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-lsp 20928  df-lvec 21060  df-lsatoms 39315  df-lshyp 39316  df-lcv 39358  df-lfl 39397  df-lkr 39425  df-ldual 39463  df-oposet 39515  df-ol 39517  df-oml 39518  df-covers 39605  df-ats 39606  df-atl 39637  df-cvlat 39661  df-hlat 39690  df-llines 39837  df-lplanes 39838  df-lvols 39839  df-lines 39840  df-psubsp 39842  df-pmap 39843  df-padd 40135  df-lhyp 40327  df-laut 40328  df-ldil 40443  df-ltrn 40444  df-trl 40498  df-tgrp 41082  df-tendo 41094  df-edring 41096  df-dveca 41342  df-disoa 41368  df-dvech 41418  df-dib 41478  df-dic 41512  df-dih 41568  df-doch 41687  df-djh 41734  df-lcdual 41926  df-mapd 41964  df-hvmap 42096  df-hdmap1 42132  df-hdmap 42133  df-hgmap 42223

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  42262  hgmapvvlem2  42263