Theorem lkrss2N 39151

Description: Two functionals with kernels in a subset relationship. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrss2.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkrss2.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkrss2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrss2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrss2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrss2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkrss2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrss2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrss2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrss2N	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟   · ,𝑟

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑟)

Proof of Theorem lkrss2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 4112	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ∨ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)))
2		lkrss2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lkrss2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4		lkrss2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
6		lkrss2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lkrss2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		lkrss2.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lkrpssN 39145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ↔ (𝐺 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷))))
10		lveclmod 21123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12		lkrss2.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
13		lkrss2.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
14		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
15	12, 13, 14	lmod0cl 20903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷))
19		lkrss2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
20	2, 12, 14, 4, 19, 5, 11, 7	ldual0vs 39142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆) · 𝐺) = (0g‘𝐷))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ((0g‘𝑆) · 𝐺) = (0g‘𝐷))
22	18, 21	eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = ((0g‘𝑆) · 𝐺))
23		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (0g‘𝑆) → (𝑟 · 𝐺) = ((0g‘𝑆) · 𝐺))
24	23	rspceeqv 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝐻 = ((0g‘𝑆) · 𝐺)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
25	17, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = (0g‘𝐷) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
27	26	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
28	9, 27	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
29	28	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
30	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
31	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝐻 ∈ 𝐹)
33		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
34	12, 13, 2, 3, 4, 19, 30, 31, 32, 33	eqlkr4 39147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
35	29, 34	jaodan 959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ∨ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
36	1, 35	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
37	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
38	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐹)
39		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
40	12, 13, 2, 3, 4, 19, 37, 38, 39	lkrss 39150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
41	40	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅 → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
42		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐻) = (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
43	42	sseq2d 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
44	43	biimprcd 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)))
45	41, 44	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅 → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻))))
46	45	rexlimdv 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)))
47	46	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻))
48	36, 47	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  LModclmod 20875  LVecclvec 21119  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067  LDualcld 39105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lshyp 38959  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106

This theorem is referenced by:  lcfrvalsnN  41524