Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrss2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrss2N 37395
Description: Two functionals with kernels in a subset relationship. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrss2.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkrss2.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkrss2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrss2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrss2.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrss2.t · = ( ·𝑠𝐷)
lkrss2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrss2.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrss2.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrss2N (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟   · ,𝑟
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑟)

Proof of Theorem lkrss2N
StepHypRef Expression
1 sspss 4044 . . 3 ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ∨ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)))
2 lkrss2.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lkrss2.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4 lkrss2.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
6 lkrss2.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lkrss2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
8 lkrss2.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝐹)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lkrpssN 37389 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ↔ (𝐺 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐻 = (0g𝐷))))
10 lveclmod 20439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
12 lkrss2.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
13 lkrss2.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Base‘𝑆)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
1512, 13, 14lmod0cl 20220 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → 𝐻 = (0g𝐷))
19 lkrss2.t . . . . . . . . . . . 12 · = ( ·𝑠𝐷)
202, 12, 14, 4, 19, 5, 11, 7ldual0vs 37386 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0g𝑆) · 𝐺) = (0g𝐷))
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → ((0g𝑆) · 𝐺) = (0g𝐷))
2218, 21eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → 𝐻 = ((0g𝑆) · 𝐺))
23 oveq1 7320 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (0g𝑆) → (𝑟 · 𝐺) = ((0g𝑆) · 𝐺))
2423rspceeqv 3584 . . . . . . . . 9 (((0g𝑆) ∈ 𝑅𝐻 = ((0g𝑆) · 𝐺)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
2517, 22, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
2625ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 = (0g𝐷) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
2726adantld 491 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐻 = (0g𝐷)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
289, 27sylbid 239 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
2928imp 407 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
306adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
317adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → 𝐺𝐹)
328adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → 𝐻𝐹)
33 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
3412, 13, 2, 3, 4, 19, 30, 31, 32, 33eqlkr4 37391 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
3529, 34jaodan 955 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ∨ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
361, 35sylan2b 594 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
376adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
387adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝐺𝐹)
39 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑟𝑅)
4012, 13, 2, 3, 4, 19, 37, 38, 39lkrss 37394 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝑅) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
4140ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑟𝑅 → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
42 fveq2 6809 . . . . . . 7 (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐻) = (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
4342sseq2d 3962 . . . . . 6 (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
4443biimprcd 249 . . . . 5 ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)))
4541, 44syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑟𝑅 → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻))))
4645rexlimdv 3147 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)))
4746imp 407 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻))
4836, 47impbida 798 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wrex 3071  wss 3896  wpss 3897  cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  Scalarcsca 17032   ·𝑠 cvsca 17033  0gc0g 17217  LModclmod 20194  LVecclvec 20435  LFnlclfn 37283  LKerclk 37311  LDualcld 37349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-tpos 8087  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-submnd 18498  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-subg 18819  df-cntz 18990  df-lsm 19308  df-cmn 19455  df-abl 19456  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-oppr 19929  df-dvdsr 19950  df-unit 19951  df-invr 19981  df-drng 20064  df-lmod 20196  df-lss 20265  df-lsp 20305  df-lvec 20436  df-lshyp 37203  df-lfl 37284  df-lkr 37312  df-ldual 37350
This theorem is referenced by:  lcfrvalsnN  39767
  Copyright terms: Public domain W3C validator