Theorem lkrss2N 37183

Description: Two functionals with kernels in a subset relationship. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrss2.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkrss2.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkrss2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrss2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrss2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrss2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkrss2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrss2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrss2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrss2N	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟   · ,𝑟

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑟)

Proof of Theorem lkrss2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 4034	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ∨ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)))
2		lkrss2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lkrss2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4		lkrss2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
6		lkrss2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lkrss2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		lkrss2.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lkrpssN 37177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ↔ (𝐺 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷))))
10		lveclmod 20368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12		lkrss2.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
13		lkrss2.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
14		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
15	12, 13, 14	lmod0cl 20149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
18		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷))
19		lkrss2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
20	2, 12, 14, 4, 19, 5, 11, 7	ldual0vs 37174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆) · 𝐺) = (0g‘𝐷))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ((0g‘𝑆) · 𝐺) = (0g‘𝐷))
22	18, 21	eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = ((0g‘𝑆) · 𝐺))
23		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (0g‘𝑆) → (𝑟 · 𝐺) = ((0g‘𝑆) · 𝐺))
24	23	rspceeqv 3575	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝐻 = ((0g‘𝑆) · 𝐺)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
25	17, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
26	25	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = (0g‘𝐷) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
27	26	adantld 491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
28	9, 27	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
29	28	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
30	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
31	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝐻 ∈ 𝐹)
33		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
34	12, 13, 2, 3, 4, 19, 30, 31, 32, 33	eqlkr4 37179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
35	29, 34	jaodan 955	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ∨ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
36	1, 35	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
37	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
38	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐹)
39		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
40	12, 13, 2, 3, 4, 19, 37, 38, 39	lkrss 37182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
41	40	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅 → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
42		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐻) = (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
43	42	sseq2d 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
44	43	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)))
45	41, 44	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅 → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻))))
46	45	rexlimdv 3212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)))
47	46	imp 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻))
48	36, 47	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LVecclvec 20364  LFnlclfn 37071  LKerclk 37099  LDualcld 37137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lshyp 36991  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138

This theorem is referenced by:  lcfrvalsnN  39555