Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrss2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrss2N 37634
Description: Two functionals with kernels in a subset relationship. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrss2.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lkrss2.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lkrss2.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrss2.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
lkrss2.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
lkrss2.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
lkrss2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lkrss2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrss2.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrss2N (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐹,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   𝐻,π‘Ÿ   𝐾,π‘Ÿ   𝑅,π‘Ÿ   𝑆,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   Β· ,π‘Ÿ
Allowed substitution hint:   𝐷(π‘Ÿ)

Proof of Theorem lkrss2N
StepHypRef Expression
1 sspss 4060 . . 3 ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ∨ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)))
2 lkrss2.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
3 lkrss2.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
4 lkrss2.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
6 lkrss2.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lkrss2.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
8 lkrss2.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lkrpssN 37628 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ↔ (𝐺 β‰  (0gβ€˜π·) ∧ 𝐻 = (0gβ€˜π·))))
10 lveclmod 20570 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 lkrss2.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
13 lkrss2.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
1512, 13, 14lmod0cl 20351 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
1716adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐻 = (0gβ€˜π·)) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅)
18 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐻 = (0gβ€˜π·)) β†’ 𝐻 = (0gβ€˜π·))
19 lkrss2.t . . . . . . . . . . . 12 Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
202, 12, 14, 4, 19, 5, 11, 7ldual0vs 37625 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· 𝐺) = (0gβ€˜π·))
2120adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐻 = (0gβ€˜π·)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· 𝐺) = (0gβ€˜π·))
2218, 21eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐻 = (0gβ€˜π·)) β†’ 𝐻 = ((0gβ€˜π‘†) Β· 𝐺))
23 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (0gβ€˜π‘†) β†’ (π‘Ÿ Β· 𝐺) = ((0gβ€˜π‘†) Β· 𝐺))
2423rspceeqv 3596 . . . . . . . . 9 (((0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑅 ∧ 𝐻 = ((0gβ€˜π‘†) Β· 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺))
2517, 22, 24syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐻 = (0gβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺))
2625ex 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 = (0gβ€˜π·) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺)))
2726adantld 492 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β‰  (0gβ€˜π·) ∧ 𝐻 = (0gβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺)))
289, 27sylbid 239 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺)))
2928imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺))
306adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
317adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
328adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
33 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
3412, 13, 2, 3, 4, 19, 30, 31, 32, 33eqlkr4 37630 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺))
3529, 34jaodan 957 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((πΎβ€˜πΊ) ⊊ (πΎβ€˜π») ∨ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺))
361, 35sylan2b 595 . 2 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺))
376adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Š ∈ LVec)
387adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
39 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
4012, 13, 2, 3, 4, 19, 37, 38, 39lkrss 37633 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐺)))
4140ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐺))))
42 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺) β†’ (πΎβ€˜π») = (πΎβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐺)))
4342sseq2d 3977 . . . . . 6 (𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ↔ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐺))))
4443biimprcd 250 . . . . 5 ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐺)) β†’ (𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)))
4541, 44syl6 35 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 β†’ (𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))))
4645rexlimdv 3151 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»)))
4746imp 408 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π»))
4836, 47impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ† (πΎβ€˜π») ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3911   ⊊ wpss 3912  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  0gc0g 17322  LModclmod 20325  LVecclvec 20566  LFnlclfn 37522  LKerclk 37550  LDualcld 37588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-cntz 19098  df-lsm 19419  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567  df-lshyp 37442  df-lfl 37523  df-lkr 37551  df-ldual 37589
This theorem is referenced by:  lcfrvalsnN  40007
  Copyright terms: Public domain W3C validator