Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrss2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrss2N 37631
Description: Two functionals with kernels in a subset relationship. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrss2.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkrss2.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkrss2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrss2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrss2.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrss2.t · = ( ·𝑠𝐷)
lkrss2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrss2.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrss2.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrss2N (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟   · ,𝑟
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑟)

Proof of Theorem lkrss2N
StepHypRef Expression
1 sspss 4059 . . 3 ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ∨ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)))
2 lkrss2.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lkrss2.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4 lkrss2.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
6 lkrss2.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lkrss2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
8 lkrss2.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝐹)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lkrpssN 37625 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ↔ (𝐺 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐻 = (0g𝐷))))
10 lveclmod 20567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
12 lkrss2.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
13 lkrss2.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Base‘𝑆)
14 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
1512, 13, 14lmod0cl 20348 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → 𝐻 = (0g𝐷))
19 lkrss2.t . . . . . . . . . . . 12 · = ( ·𝑠𝐷)
202, 12, 14, 4, 19, 5, 11, 7ldual0vs 37622 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0g𝑆) · 𝐺) = (0g𝐷))
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → ((0g𝑆) · 𝐺) = (0g𝐷))
2218, 21eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → 𝐻 = ((0g𝑆) · 𝐺))
23 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (0g𝑆) → (𝑟 · 𝐺) = ((0g𝑆) · 𝐺))
2423rspceeqv 3595 . . . . . . . . 9 (((0g𝑆) ∈ 𝑅𝐻 = ((0g𝑆) · 𝐺)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
2517, 22, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
2625ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 = (0g𝐷) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
2726adantld 491 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐻 = (0g𝐷)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
289, 27sylbid 239 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
2928imp 407 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
306adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
317adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → 𝐺𝐹)
328adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → 𝐻𝐹)
33 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
3412, 13, 2, 3, 4, 19, 30, 31, 32, 33eqlkr4 37627 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
3529, 34jaodan 956 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ∨ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
361, 35sylan2b 594 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
376adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
387adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝐺𝐹)
39 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑟𝑅)
4012, 13, 2, 3, 4, 19, 37, 38, 39lkrss 37630 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝑅) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
4140ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑟𝑅 → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
42 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐻) = (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
4342sseq2d 3976 . . . . . 6 (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
4443biimprcd 249 . . . . 5 ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)))
4541, 44syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑟𝑅 → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻))))
4645rexlimdv 3150 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)))
4746imp 407 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻))
4836, 47impbida 799 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  wss 3910  wpss 3911  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  LModclmod 20322  LVecclvec 20563  LFnlclfn 37519  LKerclk 37547  LDualcld 37585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lshyp 37439  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586
This theorem is referenced by:  lcfrvalsnN  40004
  Copyright terms: Public domain W3C validator