Theorem lkrss2N 40226

Description: Two functionals with kernels in a subset relationship. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrss2.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkrss2.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkrss2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrss2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrss2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrss2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkrss2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrss2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrss2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrss2N	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟   · ,𝑟

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑟)

Proof of Theorem lkrss2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 4050	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ∨ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)))
2		lkrss2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lkrss2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4		lkrss2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
6		lkrss2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lkrss2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		lkrss2.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lkrpssN 40220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ↔ (𝐺 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷))))
10		lveclmod 21381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
11	6, 10	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12		lkrss2.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
13		lkrss2.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
14		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
15	12, 13, 14	lmod0cl 21163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
16	11, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
18		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷))
19		lkrss2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
20	2, 12, 14, 4, 19, 5, 11, 7	ldual0vs 40217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆) · 𝐺) = (0g‘𝐷))
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ((0g‘𝑆) · 𝐺) = (0g‘𝐷))
22	18, 21	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = ((0g‘𝑆) · 𝐺))
23		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (0g‘𝑆) → (𝑟 · 𝐺) = ((0g‘𝑆) · 𝐺))
24	23	rspceeqv 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝐻 = ((0g‘𝑆) · 𝐺)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
25	17, 22, 24	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
26	25	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = (0g‘𝐷) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
27	26	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
28	9, 27	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
29	28	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
30	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
31	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝐻 ∈ 𝐹)
33		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
34	12, 13, 2, 3, 4, 19, 30, 31, 32, 33	eqlkr4 40222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
35	29, 34	jaodan 972	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ∨ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
36	1, 35	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
37	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
38	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐹)
39		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
40	12, 13, 2, 3, 4, 19, 37, 38, 39	lkrss 40225	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
41	40	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅 → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
42		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐻) = (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
43	42	sseq2d 3963	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
44	43	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)))
45	41, 44	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅 → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻))))
46	45	rexlimdv 3162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)))
47	46	imp 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻))
48	36, 47	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  LModclmod 21135  LVecclvec 21377  LFnlclfn 40114  LKerclk 40142  LDualcld 40180

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-nzr 20763  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lshyp 40034  df-lfl 40115  df-lkr 40143  df-ldual 40181

This theorem is used by:  lcfrvalsnN  42598