Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrss2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrss2N 35244
Description: Two functionals with kernels in a subset relationship. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrss2.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkrss2.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkrss2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrss2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrss2.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrss2.t · = ( ·𝑠𝐷)
lkrss2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrss2.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrss2.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrss2N (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟   · ,𝑟
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑟)

Proof of Theorem lkrss2N
StepHypRef Expression
1 sspss 3932 . . 3 ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ∨ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)))
2 lkrss2.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lkrss2.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4 lkrss2.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5 eqid 2825 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
6 lkrss2.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lkrss2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
8 lkrss2.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝐹)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lkrpssN 35238 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ↔ (𝐺 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐻 = (0g𝐷))))
10 lveclmod 19465 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
12 lkrss2.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
13 lkrss2.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Base‘𝑆)
14 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
1512, 13, 14lmod0cl 19245 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
1716adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → (0g𝑆) ∈ 𝑅)
18 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → 𝐻 = (0g𝐷))
19 lkrss2.t . . . . . . . . . . . 12 · = ( ·𝑠𝐷)
202, 12, 14, 4, 19, 5, 11, 7ldual0vs 35235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0g𝑆) · 𝐺) = (0g𝐷))
2120adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → ((0g𝑆) · 𝐺) = (0g𝐷))
2218, 21eqtr4d 2864 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → 𝐻 = ((0g𝑆) · 𝐺))
23 oveq1 6912 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (0g𝑆) → (𝑟 · 𝐺) = ((0g𝑆) · 𝐺))
2423rspceeqv 3544 . . . . . . . . 9 (((0g𝑆) ∈ 𝑅𝐻 = ((0g𝑆) · 𝐺)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
2517, 22, 24syl2anc 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻 = (0g𝐷)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
2625ex 403 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 = (0g𝐷) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
2726adantld 486 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐻 = (0g𝐷)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
289, 27sylbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
2928imp 397 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
306adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
317adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → 𝐺𝐹)
328adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → 𝐻𝐹)
33 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
3412, 13, 2, 3, 4, 19, 30, 31, 32, 33eqlkr4 35240 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
3529, 34jaodan 987 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐾𝐺) ⊊ (𝐾𝐻) ∨ (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
361, 35sylan2b 589 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)) → ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
376adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
387adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝐺𝐹)
39 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟𝑅) → 𝑟𝑅)
4012, 13, 2, 3, 4, 19, 37, 38, 39lkrss 35243 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝑅) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
4140ex 403 . . . . 5 (𝜑 → (𝑟𝑅 → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
42 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐻) = (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
4342sseq2d 3858 . . . . . 6 (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
4443biimprcd 242 . . . . 5 ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)))
4541, 44syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑟𝑅 → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻))))
4645rexlimdv 3239 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻)))
4746imp 397 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)) → (𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻))
4836, 47impbida 837 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ⊆ (𝐾𝐻) ↔ ∃𝑟𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wrex 3118  wss 3798  wpss 3799  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453  LModclmod 19219  LVecclvec 19461  LFnlclfn 35132  LKerclk 35160  LDualcld 35198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lshyp 35052  df-lfl 35133  df-lkr 35161  df-ldual 35199
This theorem is referenced by:  lcfrvalsnN  37616
  Copyright terms: Public domain W3C validator