Theorem lkrss2N 39148

Description: Two functionals with kernels in a subset relationship. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrss2.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkrss2.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkrss2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrss2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrss2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrss2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkrss2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrss2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrss2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrss2N	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟   · ,𝑟

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑟)

Proof of Theorem lkrss2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 4053	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ∨ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)))
2		lkrss2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lkrss2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4		lkrss2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
6		lkrss2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lkrss2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		lkrss2.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lkrpssN 39142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ↔ (𝐺 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷))))
10		lveclmod 21010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12		lkrss2.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
13		lkrss2.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
14		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
15	12, 13, 14	lmod0cl 20791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷))
19		lkrss2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
20	2, 12, 14, 4, 19, 5, 11, 7	ldual0vs 39139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆) · 𝐺) = (0g‘𝐷))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ((0g‘𝑆) · 𝐺) = (0g‘𝐷))
22	18, 21	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = ((0g‘𝑆) · 𝐺))
23		oveq1 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (0g‘𝑆) → (𝑟 · 𝐺) = ((0g‘𝑆) · 𝐺))
24	23	rspceeqv 3600	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝐻 = ((0g‘𝑆) · 𝐺)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
25	17, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = (0g‘𝐷) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
27	26	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
28	9, 27	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))
29	28	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
30	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
31	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → 𝐻 ∈ 𝐹)
33		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
34	12, 13, 2, 3, 4, 19, 30, 31, 32, 33	eqlkr4 39144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
35	29, 34	jaodan 959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐾‘𝐺) ⊊ (𝐾‘𝐻) ∨ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
36	1, 35	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))
37	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
38	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐹)
39		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
40	12, 13, 2, 3, 4, 19, 37, 38, 39	lkrss 39147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
41	40	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅 → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
42		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐻) = (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)))
43	42	sseq2d 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺))))
44	43	biimprcd 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘(𝑟 · 𝐺)) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)))
45	41, 44	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅 → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻))))
46	45	rexlimdv 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻)))
47	46	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)) → (𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻))
48	36, 47	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ⊆ (𝐾‘𝐻) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  LModclmod 20763  LVecclvec 21006  LFnlclfn 39036  LKerclk 39064  LDualcld 39102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-nzr 20398  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007  df-lshyp 38956  df-lfl 39037  df-lkr 39065  df-ldual 39103

This theorem is referenced by:  lcfrvalsnN  41520