MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvscan 20962
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 30834 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecmulcan.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecmulcan.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecmulcan.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecmulcan.o 0 = (0gβ€˜πΉ)
lvecmulcan.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecmulcan.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lvecmulcan.n (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem lvecvscan
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0 )
2 df-ne 2935 . . . 4 (𝐴 β‰  0 ↔ Β¬ 𝐴 = 0 )
3 biorf 933 . . . 4 (Β¬ 𝐴 = 0 β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))))
42, 3sylbi 216 . . 3 (𝐴 β‰  0 β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))))
51, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))))
6 lvecmulcan.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20954 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lvecmulcan.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lvecmulcan.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
11 lvecmulcan.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
12 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2726 . . . 4 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
1411, 12, 13lmodsubeq0 20767 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
158, 9, 10, 14syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
16 lvecmulcan.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 lvecmulcan.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
18 lvecmulcan.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
19 lvecmulcan.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
2011, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10lmodsubdi 20765 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· π‘Œ)))
2120eqeq1d 2728 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š)))
22 lvecmulcan.o . . . 4 0 = (0gβ€˜πΉ)
2311, 13lmodvsubcl 20753 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
248, 9, 10, 23syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
2511, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24lvecvs0or 20959 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))))
2611, 17, 16, 18lmodvscl 20724 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
278, 19, 9, 26syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
2811, 17, 16, 18lmodvscl 20724 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
298, 19, 10, 28syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
3011, 12, 13lmodsubeq0 20767 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ)))
318, 27, 29, 30syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ)))
3221, 25, 313bitr3d 309 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š)) ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ)))
335, 15, 323bitr3rd 310 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  -gcsg 18865  LModclmod 20706  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lvec 20951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator