Theorem lvecvscan 20723

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 30320 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmulcan.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmulcan.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lvecmulcan.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lvecvscan	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lvecvscan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmulcan.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
2		df-ne 2941	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0 )
3		biorf 935	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
4	2, 3	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
6		lvecmulcan.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 20716	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lvecmulcan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lvecmulcan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		lvecmulcan.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
13		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	11, 12, 13	lmodsubeq0 20530	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
15	8, 9, 10, 14	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
16		lvecmulcan.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lvecmulcan.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
18		lvecmulcan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
19		lvecmulcan.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
20	11, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10	lmodsubdi 20528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)))
21	20	eqeq1d 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊)))
22		lvecmulcan.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
23	11, 13	lmodvsubcl 20516	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
24	8, 9, 10, 23	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
25	11, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24	lvecvs0or 20720	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
26	11, 17, 16, 18	lmodvscl 20488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
27	8, 19, 9, 26	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
28	11, 17, 16, 18	lmodvscl 20488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
29	8, 19, 10, 28	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30	11, 12, 13	lmodsubeq0 20530	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
31	8, 27, 29, 30	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
32	21, 25, 31	3bitr3d 308	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊)) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
33	5, 15, 32	3bitr3rd 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17384  -_gcsg 18820  LModclmod 20470  LVecclvec 20712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lvec 20713

This theorem is referenced by: (None)