Theorem lvecvscan 21265

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 31471 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmulcan.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmulcan.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lvecmulcan.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lvecvscan	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lvecvscan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmulcan.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
2		df-ne 2961	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0 )
3		biorf 950	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
4	2, 3	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
6		lvecmulcan.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21257	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lvecmulcan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lvecmulcan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		lvecmulcan.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	11, 12, 13	lmodsubeq0 21072	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
15	8, 9, 10, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
16		lvecmulcan.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lvecmulcan.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
18		lvecmulcan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
19		lvecmulcan.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
20	11, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10	lmodsubdi 21070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)))
21	20	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊)))
22		lvecmulcan.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
23	11, 13	lmodvsubcl 21058	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
24	8, 9, 10, 23	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
25	11, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24	lvecvs0or 21262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
26	11, 17, 16, 18	lmodvscl 21029	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
27	8, 19, 9, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
28	11, 17, 16, 18	lmodvscl 21029	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
29	8, 19, 10, 28	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30	11, 12, 13	lmodsubeq0 21072	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
31	8, 27, 29, 30	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
32	21, 25, 31	3bitr3d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊)) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
33	5, 15, 32	3bitr3rd 313	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  Scalarcsca 17331   ·_𝑠 cvsca 17332  0_gc0g 17510  -_gcsg 19026  LModclmod 21011  LVecclvec 21253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-drng 20859  df-lmod 21013  df-lvec 21254

This theorem is used by: (None)