Theorem lvecvscan 21043

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 31044 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmulcan.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmulcan.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lvecmulcan.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lvecvscan	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lvecvscan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmulcan.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
2		df-ne 2929	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0 )
3		biorf 936	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
4	2, 3	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
6		lvecmulcan.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21035	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lvecmulcan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lvecmulcan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		lvecmulcan.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	11, 12, 13	lmodsubeq0 20849	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
15	8, 9, 10, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
16		lvecmulcan.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lvecmulcan.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
18		lvecmulcan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
19		lvecmulcan.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
20	11, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10	lmodsubdi 20847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)))
21	20	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊)))
22		lvecmulcan.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
23	11, 13	lmodvsubcl 20835	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
24	8, 9, 10, 23	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
25	11, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24	lvecvs0or 21040	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
26	11, 17, 16, 18	lmodvscl 20806	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
27	8, 19, 9, 26	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
28	11, 17, 16, 18	lmodvscl 20806	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
29	8, 19, 10, 28	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30	11, 12, 13	lmodsubeq0 20849	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
31	8, 27, 29, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
32	21, 25, 31	3bitr3d 309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊)) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
33	5, 15, 32	3bitr3rd 310	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  0_gc0g 17338  -_gcsg 18843  LModclmod 20788  LVecclvec 21031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-drng 20641  df-lmod 20790  df-lvec 21032

This theorem is referenced by: (None)