MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvscan 20588
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 30056 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecmulcan.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecmulcan.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecmulcan.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecmulcan.o 0 = (0gβ€˜πΉ)
lvecmulcan.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecmulcan.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lvecmulcan.n (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem lvecvscan
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0 )
2 df-ne 2941 . . . 4 (𝐴 β‰  0 ↔ Β¬ 𝐴 = 0 )
3 biorf 936 . . . 4 (Β¬ 𝐴 = 0 β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))))
42, 3sylbi 216 . . 3 (𝐴 β‰  0 β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))))
51, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))))
6 lvecmulcan.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20582 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lvecmulcan.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lvecmulcan.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
11 lvecmulcan.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
12 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2733 . . . 4 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
1411, 12, 13lmodsubeq0 20396 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
158, 9, 10, 14syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
16 lvecmulcan.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 lvecmulcan.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
18 lvecmulcan.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
19 lvecmulcan.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
2011, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10lmodsubdi 20394 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· π‘Œ)))
2120eqeq1d 2735 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š)))
22 lvecmulcan.o . . . 4 0 = (0gβ€˜πΉ)
2311, 13lmodvsubcl 20382 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
248, 9, 10, 23syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
2511, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24lvecvs0or 20585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))))
2611, 17, 16, 18lmodvscl 20354 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
278, 19, 9, 26syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
2811, 17, 16, 18lmodvscl 20354 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
298, 19, 10, 28syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
3011, 12, 13lmodsubeq0 20396 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ)))
318, 27, 29, 30syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Š) ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ)))
3221, 25, 313bitr3d 309 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š)) ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ)))
335, 15, 323bitr3rd 310 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  -gcsg 18755  LModclmod 20336  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lvec 20579
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator