MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvscan 19321
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 28263 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan.s · = ( ·𝑠𝑊)
lvecmulcan.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan.o 0 = (0g𝐹)
lvecmulcan.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecmulcan.x (𝜑𝑋𝑉)
lvecmulcan.y (𝜑𝑌𝑉)
lvecmulcan.n (𝜑𝐴0 )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lvecvscan
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan.n . . 3 (𝜑𝐴0 )
2 df-ne 2986 . . . 4 (𝐴0 ↔ ¬ 𝐴 = 0 )
3 biorf 951 . . . 4 𝐴 = 0 → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊))))
42, 3sylbi 208 . . 3 (𝐴0 → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊))))
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊))))
6 lvecmulcan.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 19316 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 lvecmulcan.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
10 lvecmulcan.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
11 lvecmulcan.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 eqid 2813 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
13 eqid 2813 . . . 4 (-g𝑊) = (-g𝑊)
1411, 12, 13lmodsubeq0 19129 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
158, 9, 10, 14syl3anc 1483 . 2 (𝜑 → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
16 lvecmulcan.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
17 lvecmulcan.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
18 lvecmulcan.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
19 lvecmulcan.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
2011, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10lmodsubdi 19127 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐴 · 𝑌)))
2120eqeq1d 2815 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g𝑊)𝑌)) = (0g𝑊) ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g𝑊)))
22 lvecmulcan.o . . . 4 0 = (0g𝐹)
2311, 13lmodvsubcl 19115 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
248, 9, 10, 23syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
2511, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24lvecvs0or 19318 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g𝑊)𝑌)) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊))))
2611, 17, 16, 18lmodvscl 19087 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
278, 19, 9, 26syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
2811, 17, 16, 18lmodvscl 19087 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
298, 19, 10, 28syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3011, 12, 13lmodsubeq0 19129 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
318, 27, 29, 30syl3anc 1483 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
3221, 25, 313bitr3d 300 . 2 (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊)) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
335, 15, 323bitr3rd 301 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wo 865   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  cfv 6104  (class class class)co 6877  Basecbs 16071  Scalarcsca 16159   ·𝑠 cvsca 16160  0gc0g 16308  -gcsg 17632  LModclmod 19070  LVecclvec 19312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mgp 18695  df-ur 18707  df-ring 18754  df-oppr 18828  df-dvdsr 18846  df-unit 18847  df-invr 18877  df-drng 18956  df-lmod 19072  df-lvec 19313
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator