Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem9N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem9N 40320
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, s=S(t). TODO: we seem to be going back and forth with mapd11 40102 and mapdcnv11N 40122. Use better hypotheses and/or theorems? (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+g𝑈)
hdmaprnlem1.pt (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem9N (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))

Proof of Theorem hdmaprnlem9N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmaprnlem1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 hdmaprnlem1.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
7 hdmaprnlem1.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprnlem1.s . . . . . 6 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 hdmaprnlem1.se . . . . . 6 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
11 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
12 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
13 hdmaprnlem1.ue . . . . . 6 (𝜑𝑢𝑉)
14 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
15 hdmaprnlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 hdmaprnlem1.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝐶)
17 hdmaprnlem1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
18 hdmaprnlem1.a . . . . . 6 = (+g𝐶)
19 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
20 hdmaprnlem1.p . . . . . 6 + = (+g𝑈)
21 hdmaprnlem1.pt . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem7N 40318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem8N 40319 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4N 40316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))
2523, 24eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{𝑠}))
2622, 25elind 4154 . . . 4 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})))
271, 5, 9lcdlvec 40054 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
281, 5, 9lcdlmod 40055 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
291, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 13hdmapcl 40293 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
3010eldifad 3922 . . . . . 6 (𝜑𝑠𝐷)
3115, 18lmodvacl 20336 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
3228, 29, 30, 31syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
33 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3415, 33, 6lspsncl 20438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3528, 30, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
361, 7, 5, 33, 9mapdrn2 40114 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
3735, 36eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ ran 𝑀)
381, 7, 9, 37mapdcnvid2 40120 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) = (𝐿‘{𝑠}))
3912, 38eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
40 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
411, 2, 9dvhlmod 39573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
423, 40, 4lspsncl 20438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4341, 11, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
441, 7, 2, 40, 9, 37mapdcnvcl 40115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
451, 2, 40, 7, 9, 43, 44mapd11 40102 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) ↔ (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
4639, 45mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hdmaprnlem3N 40313 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4846, 47eqnetrrd 3012 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4915, 33, 6lspsncl 20438 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5028, 32, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5150, 36eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
521, 7, 9, 37, 51mapdcnv11N 40122 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5352necon3bid 2988 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5448, 53mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
5554necomd 2999 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
5615, 16, 6, 27, 32, 30, 55lspdisj2 20588 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})) = {𝑄})
5726, 56eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄})
58 elsni 4603 . . 3 ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄} → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4tN 40315 . . . 4 (𝜑𝑡𝑉)
611, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 60hdmapcl 40293 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
62 eqid 2736 . . . 4 (-g𝐶) = (-g𝐶)
6315, 16, 62lmodsubeq0 20381 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷 ∧ (𝑆𝑡) ∈ 𝐷) → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6428, 30, 61, 63syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6559, 64mpbid 231 1 (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  cin 3909  {csn 4586  ccnv 5632  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  -gcsg 18750  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  LCDualclcd 40049  mapdcmpd 40087  HDMapchdma 40255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lcv 37481  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858  df-lcdual 40050  df-mapd 40088  df-hvmap 40220  df-hdmap1 40256  df-hdmap 40257
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem10N  40322
  Copyright terms: Public domain W3C validator