Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem9N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmaprnlem9N 41218
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, s=S(t). TODO: we seem to be going back and forth with mapd11 41000 and mapdcnv11N 41020. Use better hypotheses and/or theorems? (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmaprnlem1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.t2 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.pt (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem9N (πœ‘ β†’ 𝑠 = (π‘†β€˜π‘‘))
Proof of Theorem hdmaprnlem9N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmaprnlem1.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmaprnlem1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 hdmaprnlem1.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
7 hdmaprnlem1.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmaprnlem1.s . . . . . 6 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 hdmaprnlem1.se . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
11 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
12 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
13 hdmaprnlem1.ue . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
14 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
15 hdmaprnlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
16 hdmaprnlem1.q . . . . . 6 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
17 hdmaprnlem1.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
18 hdmaprnlem1.a . . . . . 6 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
19 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }))
20 hdmaprnlem1.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
21 hdmaprnlem1.pt . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem7N 41216 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem8N 41217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑑})))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4N 41214 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑑})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
2523, 24eleqtrd 2827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{𝑠}))
2622, 25elind 4186 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ ((πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∩ (πΏβ€˜{𝑠})))
271, 5, 9lcdlvec 40952 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LVec)
281, 5, 9lcdlmod 40953 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
291, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 13hdmapcl 41191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘’) ∈ 𝐷)
3010eldifad 3952 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ 𝐷)
3115, 18lmodvacl 20711 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘’) ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
3228, 29, 30, 31syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
33 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
3415, 33, 6lspsncl 20814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
3528, 30, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
361, 7, 5, 33, 9mapdrn2 41012 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝑀 = (LSubSpβ€˜πΆ))
3735, 36eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) ∈ ran 𝑀)
381, 7, 9, 37mapdcnvid2 41018 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠}))) = (πΏβ€˜{𝑠}))
3912, 38eqtr4d 2767 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠}))))
40 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
411, 2, 9dvhlmod 40471 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
423, 40, 4lspsncl 20814 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4341, 11, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
441, 7, 2, 40, 9, 37mapdcnvcl 41013 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
451, 2, 40, 7, 9, 43, 44mapd11 41000 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠}))) ↔ (π‘β€˜{𝑣}) = (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠}))))
4639, 45mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) = (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hdmaprnlem3N 41211 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) β‰  (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))
4846, 47eqnetrrd 3001 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})) β‰  (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))
4915, 33, 6lspsncl 20814 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
5028, 32, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
5150, 36eleqtrrd 2828 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
521, 7, 9, 37, 51mapdcnv11N 41020 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})) = (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})) ↔ (πΏβ€˜{𝑠}) = (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))
5352necon3bid 2977 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})) β‰  (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})) ↔ (πΏβ€˜{𝑠}) β‰  (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))
5448, 53mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) β‰  (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
5554necomd 2988 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) β‰  (πΏβ€˜{𝑠}))
5615, 16, 6, 27, 32, 30, 55lspdisj2 20968 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∩ (πΏβ€˜{𝑠})) = {𝑄})
5726, 56eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ {𝑄})
58 elsni 4637 . . 3 ((𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ {𝑄} β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) = 𝑄)
5957, 58syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) = 𝑄)
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4tN 41213 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
611, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 60hdmapcl 41191 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‘) ∈ 𝐷)
62 eqid 2724 . . . 4 (-gβ€˜πΆ) = (-gβ€˜πΆ)
6315, 16, 62lmodsubeq0 20757 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐷 ∧ (π‘†β€˜π‘‘) ∈ 𝐷) β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) = 𝑄 ↔ 𝑠 = (π‘†β€˜π‘‘)))
6428, 30, 61, 63syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) = 𝑄 ↔ 𝑠 = (π‘†β€˜π‘‘)))
6559, 64mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑠 = (π‘†β€˜π‘‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939  {csn 4620  β—‘ccnv 5665  ran crn 5667  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  0gc0g 17384  -gcsg 18855  LModclmod 20696  LSubSpclss 20768  LSpanclspn 20808  HLchlt 38710  LHypclh 39345  DVecHcdvh 40439  LCDualclcd 40947  mapdcmpd 40985  HDMapchdma 41153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941  df-lsatoms 38336  df-lshyp 38337  df-lcv 38379  df-lfl 38418  df-lkr 38446  df-ldual 38484  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tgrp 40104  df-tendo 40116  df-edring 40118  df-dveca 40364  df-disoa 40390  df-dvech 40440  df-dib 40500  df-dic 40534  df-dih 40590  df-doch 40709  df-djh 40756  df-lcdual 40948  df-mapd 40986  df-hvmap 41118  df-hdmap1 41154  df-hdmap 41155
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem10N  41220
  Copyright terms: Public domain W3C validator