Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem9N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem9N 39098
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, s=S(t). TODO: we seem to be going back and forth with mapd11 38880 and mapdcnv11N 38900. Use better hypotheses and/or theorems? (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+g𝑈)
hdmaprnlem1.pt (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem9N (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))

Proof of Theorem hdmaprnlem9N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmaprnlem1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 hdmaprnlem1.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
7 hdmaprnlem1.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprnlem1.s . . . . . 6 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 hdmaprnlem1.se . . . . . 6 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
11 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
12 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
13 hdmaprnlem1.ue . . . . . 6 (𝜑𝑢𝑉)
14 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
15 hdmaprnlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 hdmaprnlem1.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝐶)
17 hdmaprnlem1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
18 hdmaprnlem1.a . . . . . 6 = (+g𝐶)
19 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
20 hdmaprnlem1.p . . . . . 6 + = (+g𝑈)
21 hdmaprnlem1.pt . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem7N 39096 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem8N 39097 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4N 39094 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))
2523, 24eleqtrd 2918 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{𝑠}))
2622, 25elind 4156 . . . 4 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})))
271, 5, 9lcdlvec 38832 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
281, 5, 9lcdlmod 38833 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
291, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 13hdmapcl 39071 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
3010eldifad 3931 . . . . . 6 (𝜑𝑠𝐷)
3115, 18lmodvacl 19648 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
3228, 29, 30, 31syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
33 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3415, 33, 6lspsncl 19749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3528, 30, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
361, 7, 5, 33, 9mapdrn2 38892 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
3735, 36eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ ran 𝑀)
381, 7, 9, 37mapdcnvid2 38898 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) = (𝐿‘{𝑠}))
3912, 38eqtr4d 2862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
40 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
411, 2, 9dvhlmod 38351 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
423, 40, 4lspsncl 19749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4341, 11, 42syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
441, 7, 2, 40, 9, 37mapdcnvcl 38893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
451, 2, 40, 7, 9, 43, 44mapd11 38880 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) ↔ (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
4639, 45mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hdmaprnlem3N 39091 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4846, 47eqnetrrd 3082 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4915, 33, 6lspsncl 19749 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5028, 32, 49syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5150, 36eleqtrrd 2919 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
521, 7, 9, 37, 51mapdcnv11N 38900 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5352necon3bid 3058 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5448, 53mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
5554necomd 3069 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
5615, 16, 6, 27, 32, 30, 55lspdisj2 19899 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})) = {𝑄})
5726, 56eleqtrd 2918 . . 3 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄})
58 elsni 4567 . . 3 ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄} → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4tN 39093 . . . 4 (𝜑𝑡𝑉)
611, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 60hdmapcl 39071 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
62 eqid 2824 . . . 4 (-g𝐶) = (-g𝐶)
6315, 16, 62lmodsubeq0 19693 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷 ∧ (𝑆𝑡) ∈ 𝐷) → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6428, 30, 61, 63syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6559, 64mpbid 235 1 (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cdif 3916  cin 3918  {csn 4550  ccnv 5541  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  0gc0g 16713  -gcsg 18105  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  HLchlt 36591  LHypclh 37225  DVecHcdvh 38319  LCDualclcd 38827  mapdcmpd 38865  HDMapchdma 39033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36194
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36217  df-lshyp 36218  df-lcv 36260  df-lfl 36299  df-lkr 36327  df-ldual 36365  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740  df-lvols 36741  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229  df-laut 37230  df-ldil 37345  df-ltrn 37346  df-trl 37400  df-tgrp 37984  df-tendo 37996  df-edring 37998  df-dveca 38244  df-disoa 38270  df-dvech 38320  df-dib 38380  df-dic 38414  df-dih 38470  df-doch 38589  df-djh 38636  df-lcdual 38828  df-mapd 38866  df-hvmap 38998  df-hdmap1 39034  df-hdmap 39035
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem10N  39100
  Copyright terms: Public domain W3C validator