Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem9N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmaprnlem9N 40666
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, s=S(t). TODO: we seem to be going back and forth with mapd11 40448 and mapdcnv11N 40468. Use better hypotheses and/or theorems? (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmaprnlem1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.t2 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.pt (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem9N (πœ‘ β†’ 𝑠 = (π‘†β€˜π‘‘))
Proof of Theorem hdmaprnlem9N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmaprnlem1.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmaprnlem1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 hdmaprnlem1.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
7 hdmaprnlem1.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmaprnlem1.s . . . . . 6 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 hdmaprnlem1.se . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
11 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
12 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
13 hdmaprnlem1.ue . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
14 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
15 hdmaprnlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
16 hdmaprnlem1.q . . . . . 6 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
17 hdmaprnlem1.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
18 hdmaprnlem1.a . . . . . 6 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
19 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }))
20 hdmaprnlem1.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
21 hdmaprnlem1.pt . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem7N 40664 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem8N 40665 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑑})))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4N 40662 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑑})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
2523, 24eleqtrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{𝑠}))
2622, 25elind 4193 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ ((πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∩ (πΏβ€˜{𝑠})))
271, 5, 9lcdlvec 40400 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LVec)
281, 5, 9lcdlmod 40401 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
291, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 13hdmapcl 40639 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘’) ∈ 𝐷)
3010eldifad 3959 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ 𝐷)
3115, 18lmodvacl 20474 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘’) ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
3228, 29, 30, 31syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
3415, 33, 6lspsncl 20576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
3528, 30, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
361, 7, 5, 33, 9mapdrn2 40460 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝑀 = (LSubSpβ€˜πΆ))
3735, 36eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) ∈ ran 𝑀)
381, 7, 9, 37mapdcnvid2 40466 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠}))) = (πΏβ€˜{𝑠}))
3912, 38eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠}))))
40 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
411, 2, 9dvhlmod 39919 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
423, 40, 4lspsncl 20576 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4341, 11, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
441, 7, 2, 40, 9, 37mapdcnvcl 40461 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
451, 2, 40, 7, 9, 43, 44mapd11 40448 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠}))) ↔ (π‘β€˜{𝑣}) = (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠}))))
4639, 45mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) = (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hdmaprnlem3N 40659 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) β‰  (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))
4846, 47eqnetrrd 3010 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})) β‰  (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))
4915, 33, 6lspsncl 20576 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
5028, 32, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
5150, 36eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
521, 7, 9, 37, 51mapdcnv11N 40468 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})) = (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})) ↔ (πΏβ€˜{𝑠}) = (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))
5352necon3bid 2986 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{𝑠})) β‰  (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})) ↔ (πΏβ€˜{𝑠}) β‰  (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))
5448, 53mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) β‰  (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
5554necomd 2997 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) β‰  (πΏβ€˜{𝑠}))
5615, 16, 6, 27, 32, 30, 55lspdisj2 20728 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∩ (πΏβ€˜{𝑠})) = {𝑄})
5726, 56eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ {𝑄})
58 elsni 4644 . . 3 ((𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ {𝑄} β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) = 𝑄)
5957, 58syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) = 𝑄)
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4tN 40661 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
611, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 60hdmapcl 40639 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‘) ∈ 𝐷)
62 eqid 2733 . . . 4 (-gβ€˜πΆ) = (-gβ€˜πΆ)
6315, 16, 62lmodsubeq0 20519 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐷 ∧ (π‘†β€˜π‘‘) ∈ 𝐷) β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) = 𝑄 ↔ 𝑠 = (π‘†β€˜π‘‘)))
6428, 30, 61, 63syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) = 𝑄 ↔ 𝑠 = (π‘†β€˜π‘‘)))
6559, 64mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑠 = (π‘†β€˜π‘‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946  {csn 4627  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  -gcsg 18817  LModclmod 20459  LSubSpclss 20530  LSpanclspn 20570  HLchlt 38158  LHypclh 38793  DVecHcdvh 39887  LCDualclcd 40395  mapdcmpd 40433  HDMapchdma 40601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19203  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-lsatoms 37784  df-lshyp 37785  df-lcv 37827  df-lfl 37866  df-lkr 37894  df-ldual 37932  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tgrp 39552  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-dveca 39812  df-disoa 39838  df-dvech 39888  df-dib 39948  df-dic 39982  df-dih 40038  df-doch 40157  df-djh 40204  df-lcdual 40396  df-mapd 40434  df-hvmap 40566  df-hdmap1 40602  df-hdmap 40603
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem10N  40668
  Copyright terms: Public domain W3C validator