Theorem grpsubeq0 19083

Description: If the difference between two group elements is zero, they are equal. (subeq0 11472 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubeq0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubid.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 19042	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6	5	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
7	6	eqeq1d 2767	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
8		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 3	grpinvcl 19044	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	9	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		grpsubid.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	1, 2, 12, 3	grpinvid2 19049	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
14	8, 10, 11, 13	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
15	1, 3	grpinvinv 19062	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
16	15	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 𝑋))
18		eqcom 2772	. . 3 ⊢ (𝑌 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝑌)
19	17, 18	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝑌))
20	7, 14, 19	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482  Grpcgrp 18990  inv_gcminusg 18991  -_gcsg 18992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995

This theorem is referenced by:  ghmeqker  19304  ghmf1  19307  kerf1ghm  19308  odcong  19610  subgdisj1  19752  dprdf11  20086  isdomn4  20791  lmodsubeq0  21011  lvecvscan2  21205  fermltlchr  21639  ip2eq  21763  mdetuni0  22739  tgphaus  24235  nrmmetd  24692  ply1divmo  26254  dvdsq1p  26281  dvdsr1p  26282  ply1remlem  26283  idomrootle  26291  ig1peu  26293  dchr2sum  27395  erld2  33499  rlocf1  33507  fracerl  33542  znfermltl  33596  linds2eq  33610  vietadeg1  33885  assalactf1o  33942  eqlkr  39735  hdmap11  42484  hdmapinvlem4  42557  aks6d1c6lem2  42800  aks6d1c6lem3  42801  lidldomn1  48851