MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubeq0 19044
Description: If the difference between two group elements is zero, they are equal. (subeq0 11535 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o 0 = (0g𝐺)
grpsubid.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubeq0 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 0𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpsubeq0
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2737 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4 grpsubid.m . . . . 5 = (-g𝐺)
51, 2, 3, 4grpsubval 19003 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
653adant1 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
76eqeq1d 2739 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 0 ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
8 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
91, 3grpinvcl 19005 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
1093adant2 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 simp2 1138 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
12 grpsubid.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
131, 2, 12, 3grpinvid2 19010 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
148, 10, 11, 13syl3anc 1373 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
151, 3grpinvinv 19023 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
16153adant2 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
1716eqeq1d 2739 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋𝑌 = 𝑋))
18 eqcom 2744 . . 3 (𝑌 = 𝑋𝑋 = 𝑌)
1917, 18bitrdi 287 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋𝑋 = 𝑌))
207, 14, 193bitr2d 307 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 0𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  -gcsg 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956
This theorem is referenced by:  ghmeqker  19261  ghmf1  19264  kerf1ghm  19265  odcong  19567  subgdisj1  19709  dprdf11  20043  isdomn4  20716  lmodsubeq0  20919  lvecvscan2  21114  fermltlchr  21544  ip2eq  21671  mdetuni0  22627  tgphaus  24125  nrmmetd  24587  ply1divmo  26175  dvdsq1p  26202  dvdsr1p  26203  ply1remlem  26204  idomrootle  26212  ig1peu  26214  dchr2sum  27317  rlocf1  33277  fracerl  33308  znfermltl  33394  linds2eq  33409  assalactf1o  33686  eqlkr  39100  hdmap11  41850  hdmapinvlem4  41923  aks6d1c6lem2  42172  aks6d1c6lem3  42173  lidldomn1  48147
  Copyright terms: Public domain W3C validator