Theorem grpsubeq0 18945

Description: If the difference between two group elements is zero, they are equal. (subeq0 11393 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubeq0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubid.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18904	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6	5	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
7	6	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
8		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 3	grpinvcl 18906	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	9	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		grpsubid.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	1, 2, 12, 3	grpinvid2 18911	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
14	8, 10, 11, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
15	1, 3	grpinvinv 18924	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
16	15	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 𝑋))
18		eqcom 2738	. . 3 ⊢ (𝑌 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝑌)
19	17, 18	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝑌))
20	7, 14, 19	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Basecbs 17126  +_gcplusg 17167  0_gc0g 17349  Grpcgrp 18852  inv_gcminusg 18853  -_gcsg 18854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857

This theorem is referenced by:  ghmeqker  19161  ghmf1  19164  kerf1ghm  19165  odcong  19467  subgdisj1  19609  dprdf11  19943  isdomn4  20637  lmodsubeq0  20860  lvecvscan2  21055  fermltlchr  21472  ip2eq  21596  mdetuni0  22542  tgphaus  24038  nrmmetd  24495  ply1divmo  26074  dvdsq1p  26101  dvdsr1p  26102  ply1remlem  26103  idomrootle  26111  ig1peu  26113  dchr2sum  27217  rlocf1  33247  fracerl  33279  znfermltl  33338  linds2eq  33353  assalactf1o  33655  eqlkr  39204  hdmap11  41953  hdmapinvlem4  42026  aks6d1c6lem2  42270  aks6d1c6lem3  42271  lidldomn1  48336