Theorem grpsubeq0 19216

Description: If the difference between two group elements is zero, they are equal. (subeq0 11565 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubeq0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubid.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 19176	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6	5	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
7	6	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
8		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 3	grpinvcl 19178	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	9	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		grpsubid.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	1, 2, 12, 3	grpinvid2 19183	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
14	8, 10, 11, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
15	1, 3	grpinvinv 19196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
16	15	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 𝑋))
18		eqcom 2768	. . 3 ⊢ (𝑌 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝑌)
19	17, 18	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝑌))
20	7, 14, 19	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  inv_gcminusg 19125  -_gcsg 19126

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129

This theorem is used by:  ghmeqker  19437  ghmf1  19440  kerf1ghm  19441  odcong  19743  subgdisj1  19885  dprdf11  20219  isdomn4  20947  lmodsubeq0  21176  lvecvscan2  21370  fermltlchr  21815  ip2eq  21939  mdetuni0  22916  tgphaus  24416  nrmmetd  24873  ply1divmo  26434  dvdsq1p  26461  dvdsr1p  26462  ply1remlem  26463  idomrootle  26471  ig1peu  26473  dchr2sum  27582  erld2  33809  rlocf1  33817  fracerl  33850  znfermltl  33904  linds2eq  33918  vietadeg1  34192  assalactf1o  34249  eqlkr  40124  hdmap11  42873  hdmapinvlem4  42946  aks6d1c6lem2  43189  aks6d1c6lem3  43190  lidldomn1  49272  idomcanl  49388