Theorem lsmssv 19580

Description: Subgroup sum is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmssv	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lsmssv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmless2.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		lsmless2.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4	1, 2, 3	lsmvalx 19576	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
5		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
7	6	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
10	9	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝐵)
11	10	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	1, 2	mndcl 18676	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
13	5, 8, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
14	13	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
15		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
16	15	fmpo 8050	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
17	14, 16	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
18	17	frnd 6699	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ⊆ 𝐵)
19	4, 18	eqsstrd 3984	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917   × cxp 5639  ran crn 5642  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Mndcmnd 18668  LSSumclsm 19571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-lsm 19573

This theorem is referenced by:  lsmsubm  19590  lsmass  19606  lsmcntzr  19617  lsmsnorb  33369  ringlsmss  33373  lsmssass  33380