Theorem lsmssv 19737

Description: Subgroup sum is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmssv	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lsmssv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmless2.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		lsmless2.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4	1, 2, 3	lsmvalx 19733	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
5		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
7	6	sselda 3938	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
10	9	sselda 3938	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝐵)
11	10	adantrl 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	1, 2	mndcl 18822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
13	5, 8, 11, 12	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
14	13	ralrimivva 3210	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
15		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
16	15	fmpo 8067	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
17	14, 16	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
18	17	frnd 6718	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ⊆ 𝐵)
19	4, 18	eqsstrd 3972	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  ran crn 5664  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Basecbs 17287  +_gcplusg 17328  Mndcmnd 18814  LSSumclsm 19728

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-lsm 19730

This theorem is used by:  lsmsubm  19747  lsmass  19763  lsmcntzr  19774  lsmsnorb  33744  ringlsmss  33746  lsmssass  33751