MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmssv 18519
Description: Subgroup sum is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmssv ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lsmssv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmless2.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2772 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmless2.s . . 3 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmvalx 18515 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
5 simpl1 1171 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 simp2 1117 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → 𝑇𝐵)
76sselda 3854 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝐵)
87adantrr 704 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
9 simp3 1118 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → 𝑈𝐵)
109sselda 3854 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝐵)
1110adantrl 703 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
121, 2mndcl 17759 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
135, 8, 11, 12syl3anc 1351 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1413ralrimivva 3135 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → ∀𝑥𝑇𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
15 eqid 2772 . . . . 5 (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
1615fmpo 7567 . . . 4 (∀𝑥𝑇𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
1714, 16sylib 210 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
1817frnd 6345 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝐵)
194, 18eqsstrd 3891 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082  wss 3825   × cxp 5398  ran crn 5401  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  cmpo 6972  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  Mndcmnd 17752  LSSumclsm 18510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-lsm 18512
This theorem is referenced by:  lsmsubm  18529  lsmass  18544  lsmcntzr  18554
  Copyright terms: Public domain W3C validator