MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmssv 19661
Description: Subgroup sum is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmssv ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lsmssv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmless2.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmless2.s . . 3 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmvalx 19657 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
5 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → 𝑇𝐵)
76sselda 3983 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝐵)
87adantrr 717 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
9 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → 𝑈𝐵)
109sselda 3983 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝐵)
1110adantrl 716 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
121, 2mndcl 18755 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
135, 8, 11, 12syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1413ralrimivva 3202 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → ∀𝑥𝑇𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
15 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
1615fmpo 8093 . . . 4 (∀𝑥𝑇𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
1714, 16sylib 218 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
1817frnd 6744 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝐵)
194, 18eqsstrd 4018 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951   × cxp 5683  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Mndcmnd 18747  LSSumclsm 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-lsm 19654
This theorem is referenced by:  lsmsubm  19671  lsmass  19687  lsmcntzr  19698  lsmsnorb  33419  ringlsmss  33423  lsmssass  33430
  Copyright terms: Public domain W3C validator