Theorem lsmssv 19674

Description: Subgroup sum is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmssv	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lsmssv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmless2.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		lsmless2.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4	1, 2, 3	lsmvalx 19670	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
5		simpl1 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		simp2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
7	6	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	adantrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9		simp3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
10	9	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝐵)
11	10	adantrl 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	1, 2	mndcl 18767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
13	5, 8, 11, 12	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
14	13	ralrimivva 3204	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
15		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
16	15	fmpo 8044	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
17	14, 16	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
18	17	frnd 6695	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ⊆ 𝐵)
19	4, 18	eqsstrd 3968	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3902   × cxp 5641  ran crn 5644  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∈ cmpo 7393  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  Mndcmnd 18759  LSSumclsm 19665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-lsm 19667

This theorem is referenced by:  lsmsubm  19684  lsmass  19700  lsmcntzr  19711  lsmsnorb  33538  ringlsmss  33542  lsmssass  33549