Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmssv 18759
 Description: Subgroup sum is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmssv ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lsmssv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmless2.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2822 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmless2.s . . 3 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmvalx 18755 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
5 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → 𝑇𝐵)
76sselda 3942 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝐵)
87adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
9 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → 𝑈𝐵)
109sselda 3942 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝐵)
1110adantrl 715 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
121, 2mndcl 17910 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
135, 8, 11, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1413ralrimivva 3181 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → ∀𝑥𝑇𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
15 eqid 2822 . . . . 5 (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
1615fmpo 7752 . . . 4 (∀𝑥𝑇𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
1714, 16sylib 221 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
1817frnd 6501 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝐵)
194, 18eqsstrd 3980 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) ⊆ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130   ⊆ wss 3908   × cxp 5530  ran crn 5533  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Mndcmnd 17902  LSSumclsm 18750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-lsm 18752 This theorem is referenced by:  lsmsubm  18769  lsmass  18786  lsmcntzr  18797  lsmsnorb  30980  ringlsmss  30983  lsmssass  30990
 Copyright terms: Public domain W3C validator