MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmass 19624
Description: Subgroup sum is associative. (Contributed by NM, 2-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmass ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑅 𝑇) 𝑈) = (𝑅 (𝑇 𝑈)))

Proof of Theorem lsmass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmub1.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmval 19603 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 𝑇) = ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))
543adant3 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 𝑇) = ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))
65rexeqdv 3323 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐)))
7 ovex 7453 . . . . . . 7 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ V
87rgen2w 3063 . . . . . 6 𝑎𝑅𝑏𝑇 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ V
9 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)) = (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))
10 oveq1 7427 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑎(+g𝐺)𝑏) → (𝑦(+g𝐺)𝑐) = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐))
1110eqeq2d 2739 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑎(+g𝐺)𝑏) → (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
1211rexbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑎(+g𝐺)𝑏) → (∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
139, 12rexrnmpo 7561 . . . . . 6 (∀𝑎𝑅𝑏𝑇 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ V → (∃𝑦 ∈ ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎𝑅𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
148, 13ax-mp 5 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎𝑅𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐))
156, 14bitrdi 287 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎𝑅𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
161, 2, 3lsmval 19603 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐)))
17163adant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐)))
1817rexeqdv 3323 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐))𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧)))
19 ovex 7453 . . . . . . . . . 10 (𝑏(+g𝐺)𝑐) ∈ V
2019rgen2w 3063 . . . . . . . . 9 𝑏𝑇𝑐𝑈 (𝑏(+g𝐺)𝑐) ∈ V
21 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐)) = (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐))
22 oveq2 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑏(+g𝐺)𝑐) → (𝑎(+g𝐺)𝑧) = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐)))
2322eqeq2d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑏(+g𝐺)𝑐) → (𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
2421, 23rexrnmpo 7561 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝑇𝑐𝑈 (𝑏(+g𝐺)𝑐) ∈ V → (∃𝑧 ∈ ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐))𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
2520, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐))𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐)))
2618, 25bitrdi 287 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
2726adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
28 subgrcl 19086 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
29283ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
311subgss 19082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺))
32313ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺))
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺))
34 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑎𝑅)
3533, 34sseldd 3981 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
361subgss 19082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
37363ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
39 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑏𝑇)
4038, 39sseldd 3981 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐺))
411subgss 19082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
42413ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
44 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑐𝑈)
4543, 44sseldd 3981 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝐺))
461, 2grpass 18899 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐) = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐)))
4730, 35, 40, 45, 46syl13anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐) = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐)))
4847eqeq2d 2739 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → (𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
49482rexbidva 3214 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) → (∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
5027, 49bitr4d 282 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
5150rexbidva 3173 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑎𝑅𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑎𝑅𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
5215, 51bitr4d 282 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎𝑅𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧)))
5329grpmndd 18903 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Mnd)
541, 3lsmssv 19598 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑅 𝑇) ⊆ (Base‘𝐺))
5553, 32, 37, 54syl3anc 1369 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 𝑇) ⊆ (Base‘𝐺))
561, 2, 3lsmelvalx 19595 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑅 𝑇) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑅 𝑇) 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐)))
5729, 55, 42, 56syl3anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑅 𝑇) 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐)))
581, 3lsmssv 19598 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
5953, 37, 42, 58syl3anc 1369 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
601, 2, 3lsmelvalx 19595 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑅 (𝑇 𝑈)) ↔ ∃𝑎𝑅𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧)))
6129, 32, 59, 60syl3anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑅 (𝑇 𝑈)) ↔ ∃𝑎𝑅𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧)))
6252, 57, 613bitr4d 311 . 2 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑅 𝑇) 𝑈) ↔ 𝑥 ∈ (𝑅 (𝑇 𝑈))))
6362eqrdv 2726 1 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑅 𝑇) 𝑈) = (𝑅 (𝑇 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3471  wss 3947  ran crn 5679  cfv 6548  (class class class)co 7420  cmpo 7422  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Mndcmnd 18694  Grpcgrp 18890  SubGrpcsubg 19075  LSSumclsm 19589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-subg 19078  df-lsm 19591
This theorem is referenced by:  lsm4  19815  pgpfac1lem3  20034  idlsrgmnd  33238  lsatcvat3  38524
  Copyright terms: Public domain W3C validator