Theorem lsmass 19587

Description: Subgroup sum is associative. (Contributed by NM, 2-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmass	⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = (𝑅 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))

Proof of Theorem lsmass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		lsmub1.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4	1, 2, 3	lsmval 19566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = ran (𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏)))
5	4	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = ran (𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏)))
6	5	rexeqdv 3320	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ (𝑅 ⊕ 𝑇)∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐)))
7		ovex 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ V
8	7	rgen2w 3060	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝑅 ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ V
9		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))
10		oveq1 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑐) = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐))
11	10	eqeq2d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐) ↔ 𝑥 = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐)))
12	11	rexbidv 3172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐)))
13	9, 12	rexrnmpo 7543	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑅 ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ V → (∃𝑦 ∈ ran (𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐)))
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran (𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐))
15	6, 14	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ (𝑅 ⊕ 𝑇)∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐)))
16	1, 2, 3	lsmval 19566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑏 ∈ 𝑇, 𝑐 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏(+g‘𝐺)𝑐)))
17	16	3adant1 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑏 ∈ 𝑇, 𝑐 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏(+g‘𝐺)𝑐)))
18	17	rexeqdv 3320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑏 ∈ 𝑇, 𝑐 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏(+g‘𝐺)𝑐))𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧)))
19		ovex 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏(+g‘𝐺)𝑐) ∈ V
20	19	rgen2w 3060	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝑇 ∀𝑐 ∈ 𝑈 (𝑏(+g‘𝐺)𝑐) ∈ V
21		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑇, 𝑐 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏(+g‘𝐺)𝑐)) = (𝑏 ∈ 𝑇, 𝑐 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏(+g‘𝐺)𝑐))
22		oveq2 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑏(+g‘𝐺)𝑐) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐)))
23	22	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑏(+g‘𝐺)𝑐) → (𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐))))
24	21, 23	rexrnmpo 7543	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑇 ∀𝑐 ∈ 𝑈 (𝑏(+g‘𝐺)𝑐) ∈ V → (∃𝑧 ∈ ran (𝑏 ∈ 𝑇, 𝑐 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏(+g‘𝐺)𝑐))𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐))))
25	20, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (𝑏 ∈ 𝑇, 𝑐 ∈ 𝑈 ↦ (𝑏(+g‘𝐺)𝑐))𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐)))
26	18, 25	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐))))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐))))
28		subgrcl 19056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
29	28	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
30	29	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
31	1	subgss 19052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺))
32	31	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺))
33	32	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺))
34		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑅)
35	33, 34	sseldd 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
36	1	subgss 19052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
37	36	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
38	37	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
39		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑇)
40	38, 39	sseldd 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐺))
41	1	subgss 19052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
42	41	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
43	42	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
44		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝑐 ∈ 𝑈)
45	43, 44	sseldd 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝐺))
46	1, 2	grpass 18870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐) = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐)))
47	30, 35, 40, 45, 46	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐) = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐)))
48	47	eqeq2d 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈)) → (𝑥 = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐))))
49	48	2rexbidva 3211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) → (∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)(𝑏(+g‘𝐺)𝑐))))
50	27, 49	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑅) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐)))
51	50	rexbidva 3170	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑇 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(+g‘𝐺)𝑐)))
52	15, 51	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ (𝑅 ⊕ 𝑇)∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧)))
53	29	grpmndd 18874	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Mnd)
54	1, 3	lsmssv 19561	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑅 ⊕ 𝑇) ⊆ (Base‘𝐺))
55	53, 32, 37, 54	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 ⊕ 𝑇) ⊆ (Base‘𝐺))
56	1, 2, 3	lsmelvalx 19558	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑅 ⊕ 𝑇) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑅 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑅 ⊕ 𝑇)∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐)))
57	29, 55, 42, 56	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑅 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑅 ⊕ 𝑇)∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑐)))
58	1, 3	lsmssv 19561	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
59	53, 37, 42, 58	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
60	1, 2, 3	lsmelvalx 19558	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑅 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧)))
61	29, 32, 59, 60	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑅 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧)))
62	52, 57, 61	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑅 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) ↔ 𝑥 ∈ (𝑅 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈))))
63	62	eqrdv 2724	1 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = (𝑅 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ran crn 5670  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  Mndcmnd 18665  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19045  LSSumclsm 19552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-subg 19048  df-lsm 19554

This theorem is referenced by:  lsm4  19778  pgpfac1lem3  19997  idlsrgmnd  33134  lsatcvat3  38433