Theorem ringlsmss 31688

Description: Closure of the product of two subsets of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlsmss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringlsmss.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
ringlsmss.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringlsmss	⊢ (𝜑 → (𝐸 × 𝐹) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem ringlsmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlsmss.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringlsmss.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 19856	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ringlsmss.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
6		ringlsmss.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		ringlsmss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	2, 7	mgpbas 19793	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		ringlsmss.3	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10	8, 9	lsmssv 19315	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝐸 × 𝐹) ⊆ 𝐵)
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 × 𝐹) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3896  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  Mndcmnd 18452  LSSumclsm 19306  mulGrpcmgp 19787  Ringcrg 19850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-plusg 17042  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-lsm 19308  df-mgp 19788  df-ring 19852

This theorem is referenced by:  mxidlprm  31745  idlsrgmulrcl  31760  zarclsun  31926