pcorevlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem pcorevlem 23233

Description: Lemma for pcorev 23234. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pcorev.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev.2	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
pcorevlem.3	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))

**Assertion**
Ref	Expression
pcorevlem	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃_ph‘𝐽)𝑃))

Distinct variable groups: 𝑡,𝑠,𝑥,𝐹 𝐺,𝑠,𝑡 𝐽,𝑠,𝑡,𝑥 𝑃,𝑠,𝑡,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥) 𝐻(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem pcorevlem Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2		iitopon 23090	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4		iirevcn 23137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7	3, 5, 6	cnmpt11f 21876	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8	1, 7	syl5eqel 2862	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		1elunit 12606	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
10		oveq2 6930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
11		1m1e0 11447	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
12	10, 11	syl6eq 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
13	12	fveq2d 6450	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
14		fvex 6459	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
15	13, 1, 14	fvmpt 6542	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
16	9, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
17	8, 6, 16	pcocn 23224	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
18		cntop2 21453	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
20	19	toptopon 21129	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
21	18, 20	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
22		iiuni 23092	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
23	22, 19	cnf 21458	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
24		ffvelrn 6621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ ∪ 𝐽)
25	23, 9, 24	sylancl 580	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) ∈ ∪ 𝐽)
26		pcorev.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
27	26	pcoptcl 23228	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐹‘1) ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
28	21, 25, 27	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
29	28	simp1d 1133	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
30		pcorevlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
31		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
32		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2)))
33		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1))
34		dfii2 23093	. . . . . 6 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,]1))
35		0red 10380	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 0 ∈ ℝ)
36		1red 10377	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 1 ∈ ℝ)
37		halfre 11596	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
38		0re 10378	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		halfgt0 11598	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 2)
40	38, 37, 39	ltleii 10499	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
41		1re 10376	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
42		halflt1 11600	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) < 1
43	37, 41, 42	ltleii 10499	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
44		elicc01 12604	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
45	37, 40, 43, 44	mpbir3an 1398	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,]1)
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
47		simprl 761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑠 = (1 / 2))
48	47	oveq2d 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (2 · (1 / 2)))
49		2cn 11450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
50		2ne0 11486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
51	49, 50	recidi 11106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
52	48, 51	syl6eq 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = 1)
53	52	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = (1 − 1))
54	53, 11	syl6eq 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = 0)
55	54	oveq2d 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 0))
56		1m0e1 11503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 0) = 1
57	55, 56	syl6eq 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 1)
58	52, 57	eqtr4d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
59	58	oveq2d 6938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
60	59	oveq2d 6938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
61		retopon 22975	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
62		iccssre 12567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
63	38, 37, 62	mp2an 682	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
64		resttopon 21373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
65	61, 63, 64	mp2an 682	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
67	66, 3	cnmpt2nd 21881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
68		oveq2 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
69	66, 3, 67, 3, 5, 68	cnmpt21 21883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
70	66, 3	cnmpt1st 21880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2)))))
71	32	iihalf1cn 23139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) Cn II)
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) Cn II))
73		oveq2 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
74	66, 3, 70, 66, 72, 73	cnmpt21 21883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑠)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
75		iimulcn 23145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×_t II) Cn II)
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×_t II) Cn II))
77		oveq12 6931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑠)) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))
78	66, 3, 69, 74, 3, 3, 76, 77	cnmpt22 21886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
79		oveq2 6930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
80	66, 3, 78, 3, 5, 79	cnmpt21 21883	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
81		iccssre 12567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
82	37, 41, 81	mp2an 682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
83		resttopon 21373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
84	61, 82, 83	mp2an 682	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
86	85, 3	cnmpt2nd 21881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
87	85, 3, 86, 3, 5, 68	cnmpt21 21883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
88	85, 3	cnmpt1st 21880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1))))
89	33	iihalf2cn 23141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
91	73	oveq1d 6937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
92	85, 3, 88, 85, 90, 91	cnmpt21 21883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑠) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
93		oveq2 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((2 · 𝑠) − 1) → (1 − 𝑥) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
94	85, 3, 92, 3, 5, 93	cnmpt21 21883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
95		oveq12 6931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
96	85, 3, 87, 94, 3, 3, 76, 95	cnmpt22 21886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
97		oveq2 6930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
98	85, 3, 96, 3, 5, 97	cnmpt21 21883	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
99	31, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 3, 60, 80, 98	cnmpt2pc 23135	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) ∈ ((II ×_t II) Cn II))
100	3, 3, 99, 6	cnmpt21f 21884	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))))) ∈ ((II ×_t II) Cn 𝐽))
101	30, 100	syl5eqel 2862	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((II ×_t II) Cn 𝐽))
102		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
103		0elunit 12605	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
104		simpl 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → 𝑠 = 𝑦)
105	104	breq1d 4896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
106		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
107	106	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
108	107, 56	syl6eq 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
109	104	oveq2d 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
110	108, 109	oveq12d 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (1 · (2 · 𝑦)))
111	110	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
112	109	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
113	112	oveq2d 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
114	108, 113	oveq12d 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
115	114	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
116	105, 111, 115	ifbieq12d 4333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
117	116	fveq2d 6450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
118		fvex 6459	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
119	117, 30, 118	ovmpt2a 7068	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
120	102, 103, 119	sylancl 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
121		iftrue 4312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
122	121	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
123	122	fveq2d 6450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
124		elii1 23142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
125	8, 6	pcoval1 23220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐺‘(2 · 𝑦)))
126		iihalf1 23138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
127	126	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
128		oveq2 6930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (2 · 𝑦)))
129	128	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
130		fvex 6459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))) ∈ V
131	129, 1, 130	fvmpt 6542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
132		unitssre 12636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
133	132	sseli 3816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
134	133	recnd 10405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
135	134	mulid2d 10395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 · (2 · 𝑦)) = (2 · 𝑦))
136	135	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (2 · 𝑦))) = (1 − (2 · 𝑦)))
137	136	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
138	131, 137	eqtr4d 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
139	127, 138	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
140	125, 139	eqtrd 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
141	124, 140	sylan2br 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
142	141	anassrs 461	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
143	123, 142	eqtr4d 2816	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦))
144		iffalse 4315	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
145	144	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
146	145	fveq2d 6450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
147		elii2 23143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1))
148	8, 6, 16	pcoval2 23223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)))
149		iihalf2 23140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
150	149	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
151		ax-1cn 10330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
152	132	sseli 3816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
153	152	recnd 10405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
154		subcl 10621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
155	151, 153, 154	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
156	155	mulid2d 10395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
157	156	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
158		nncan 10652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
159	151, 153, 158	sylancr 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
160	157, 159	eqtr2d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
161	150, 160	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
162	161	fveq2d 6450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
163	148, 162	eqtrd 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
164	147, 163	sylan2 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
165	164	anassrs 461	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
166	146, 165	eqtr4d 2816	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦))
167	143, 166	pm2.61dan 803	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦))
168	120, 167	eqtrd 2813	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦))
169	132	sseli 3816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
170	169	recnd 10405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
171		mulcl 10356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
172	49, 170, 171	sylancr 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
173	172	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
174	173	mul02d 10574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (2 · 𝑦)) = 0)
175	174	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = (1 − 0))
176	175, 56	syl6eq 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = 1)
177		subcl 10621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
178	173, 151, 177	sylancl 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
179	151, 178, 154	sylancr 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
180	179	mul02d 10574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = 0)
181	180	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − 0))
182	181, 56	syl6eq 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = 1)
183	176, 182	ifeq12d 4326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1))
184		ifid 4345	. . . . . 6 ⊢ if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1) = 1
185	183, 184	syl6eq 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = 1)
186	185	fveq2d 6450	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘1))
187		simpl 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → 𝑠 = 𝑦)
188	187	breq1d 4896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
189		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
190	189	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
191	190, 11	syl6eq 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
192	187	oveq2d 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
193	191, 192	oveq12d 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (0 · (2 · 𝑦)))
194	193	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (0 · (2 · 𝑦))))
195	192	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
196	195	oveq2d 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
197	191, 196	oveq12d 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
198	197	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
199	188, 194, 198	ifbieq12d 4333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
200	199	fveq2d 6450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
201		fvex 6459	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
202	200, 30, 201	ovmpt2a 7068	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
203	102, 9, 202	sylancl 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
204	26	fveq1i 6447	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘𝑦) = (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦)
205		fvex 6459	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
206	205	fvconst2 6741	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
207	206	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
208	204, 207	syl5eq 2825	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘𝑦) = (𝐹‘1))
209	186, 203, 208	3eqtr4d 2823	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝑃‘𝑦))
210		simpl 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 0)
211	210, 40	syl6eqbr 4925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 ≤ (1 / 2))
212	211	iftrued 4314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
213		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
214	213	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
215	210	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 0))
216		2t0e0 11551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
217	215, 216	syl6eq 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 0)
218	214, 217	oveq12d 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑦) · 0))
219	218	oveq2d 6938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
220	212, 219	eqtrd 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
221	220	fveq2d 6450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
222		fvex 6459	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) ∈ V
223	221, 30, 222	ovmpt2a 7068	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
224	103, 223	mpan 680	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
225		subcl 10621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
226	151, 170, 225	sylancr 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
227	226	mul01d 10575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑦) · 0) = 0)
228	227	oveq2d 6938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = (1 − 0))
229	228, 56	syl6eq 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = 1)
230	229	fveq2d 6450	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) = (𝐹‘1))
231	224, 230	eqtrd 2813	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
232	8, 6	pco0 23221	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝐺‘0))
233		oveq2 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
234	233, 56	syl6eq 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
235	234	fveq2d 6450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
236	235, 1, 205	fvmpt 6542	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
237	103, 236	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘0) = (𝐹‘1)
238	232, 237	syl6req 2830	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
239	231, 238	sylan9eqr 2835	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
240	37, 41	ltnlei 10497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
241	42, 240	mpbi 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ≤ (1 / 2)
242		simpl 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 1)
243	242	breq1d 4896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
244	241, 243	mtbiri 319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2))
245	244	iffalsed 4317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
246		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
247	246	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
248	242	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 1))
249		2t1e2 11545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = 2
250	248, 249	syl6eq 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 2)
251	250	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = (2 − 1))
252		2m1e1 11508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
253	251, 252	syl6eq 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = 1)
254	253	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 1))
255	254, 11	syl6eq 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 0)
256	247, 255	oveq12d 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = ((1 − 𝑦) · 0))
257	256	oveq2d 6938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
258	245, 257	eqtrd 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
259	258	fveq2d 6450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
260	259, 30, 222	ovmpt2a 7068	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
261	9, 260	mpan 680	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
262	261, 230	eqtrd 2813	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
263	8, 6	pco1 23222	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
264	263	eqcomd 2783	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘1))
265	262, 264	sylan9eqr 2835	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘1))
266	17, 29, 101, 168, 209, 239, 265	isphtpy2d 23194	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃))
267	266	ne0d 4149	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅)
268		isphtpc 23201	. . 3 ⊢ ((𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃_ph‘𝐽)𝑃 ↔ ((𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅))
269	17, 29, 267, 268	syl3anbrc 1400	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃_ph‘𝐽)𝑃)
270	266, 269	jca 507	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃_ph‘𝐽)𝑃))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 386 ∧ w3a 1071 = wceq 1601 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2968 ⊆ wss 3791 ∅c0 4140 ifcif 4306 {csn 4397 ∪ cuni 4671 class class class wbr 4886 ↦ cmpt 4965 × cxp 5353 ran crn 5356 ⟶wf 6131 ‘cfv 6135 (class class class)co 6922 ↦ cmpt2 6924 ℂcc 10270 ℝcr 10271 0cc0 10272 1c1 10273 · cmul 10277 < clt 10411 ≤ cle 10412 − cmin 10606 / cdiv 11032 2c2 11430 (,)cioo 12487 [,]cicc 12490 ↾_t crest 16467 topGenctg 16484 Topctop 21105 TopOnctopon 21122 Cn ccn 21436 ×_t ctx 21772 IIcii 23086 PHtpycphtpy 23175 ≃_phcphtpc 23176 *_𝑝cpco 23207

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1839 ax-4 1853 ax-5 1953 ax-6 2021 ax-7 2054 ax-8 2108 ax-9 2115 ax-10 2134 ax-11 2149 ax-12 2162 ax-13 2333 ax-ext 2753 ax-rep 5006 ax-sep 5017 ax-nul 5025 ax-pow 5077 ax-pr 5138 ax-un 7226 ax-inf2 8835 ax-cnex 10328 ax-resscn 10329 ax-1cn 10330 ax-icn 10331 ax-addcl 10332 ax-addrcl 10333 ax-mulcl 10334 ax-mulrcl 10335 ax-mulcom 10336 ax-addass 10337 ax-mulass 10338 ax-distr 10339 ax-i2m1 10340 ax-1ne0 10341 ax-1rid 10342 ax-rnegex 10343 ax-rrecex 10344 ax-cnre 10345 ax-pre-lttri 10346 ax-pre-lttrn 10347 ax-pre-ltadd 10348 ax-pre-mulgt0 10349 ax-pre-sup 10350 ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 837 df-3or 1072 df-3an 1073 df-tru 1605 df-ex 1824 df-nf 1828 df-sb 2012 df-mo 2550 df-eu 2586 df-clab 2763 df-cleq 2769 df-clel 2773 df-nfc 2920 df-ne 2969 df-nel 3075 df-ral 3094 df-rex 3095 df-reu 3096 df-rmo 3097 df-rab 3098 df-v 3399 df-sbc 3652 df-csb 3751 df-dif 3794 df-un 3796 df-in 3798 df-ss 3805 df-pss 3807 df-nul 4141 df-if 4307 df-pw 4380 df-sn 4398 df-pr 4400 df-tp 4402 df-op 4404 df-uni 4672 df-int 4711 df-iun 4755 df-iin 4756 df-br 4887 df-opab 4949 df-mpt 4966 df-tr 4988 df-id 5261 df-eprel 5266 df-po 5274 df-so 5275 df-fr 5314 df-se 5315 df-we 5316 df-xp 5361 df-rel 5362 df-cnv 5363 df-co 5364 df-dm 5365 df-rn 5366 df-res 5367 df-ima 5368 df-pred 5933 df-ord 5979 df-on 5980 df-lim 5981 df-suc 5982 df-iota 6099 df-fun 6137 df-fn 6138 df-f 6139 df-f1 6140 df-fo 6141 df-f1o 6142 df-fv 6143 df-isom 6144 df-riota 6883 df-ov 6925 df-oprab 6926 df-mpt2 6927 df-of 7174 df-om 7344 df-1st 7445 df-2nd 7446 df-supp 7577 df-wrecs 7689 df-recs 7751 df-rdg 7789 df-1o 7843 df-2o 7844 df-oadd 7847 df-er 8026 df-map 8142 df-ixp 8195 df-en 8242 df-dom 8243 df-sdom 8244 df-fin 8245 df-fsupp 8564 df-fi 8605 df-sup 8636 df-inf 8637 df-oi 8704 df-card 9098 df-cda 9325 df-pnf 10413 df-mnf 10414 df-xr 10415 df-ltxr 10416 df-le 10417 df-sub 10608 df-neg 10609 df-div 11033 df-nn 11375 df-2 11438 df-3 11439 df-4 11440 df-5 11441 df-6 11442 df-7 11443 df-8 11444 df-9 11445 df-n0 11643 df-z 11729 df-dec 11846 df-uz 11993 df-q 12096 df-rp 12138 df-xneg 12257 df-xadd 12258 df-xmul 12259 df-ioo 12491 df-icc 12494 df-fz 12644 df-fzo 12785 df-seq 13120 df-exp 13179 df-hash 13436 df-cj 14246 df-re 14247 df-im 14248 df-sqrt 14382 df-abs 14383 df-struct 16257 df-ndx 16258 df-slot 16259 df-base 16261 df-sets 16262 df-ress 16263 df-plusg 16351 df-mulr 16352 df-starv 16353 df-sca 16354 df-vsca 16355 df-ip 16356 df-tset 16357 df-ple 16358 df-ds 16360 df-unif 16361 df-hom 16362 df-cco 16363 df-rest 16469 df-topn 16470 df-0g 16488 df-gsum 16489 df-topgen 16490 df-pt 16491 df-prds 16494 df-xrs 16548 df-qtop 16553 df-imas 16554 df-xps 16556 df-mre 16632 df-mrc 16633 df-acs 16635 df-mgm 17628 df-sgrp 17670 df-mnd 17681 df-submnd 17722 df-mulg 17928 df-cntz 18133 df-cmn 18581 df-psmet 20134 df-xmet 20135 df-met 20136 df-bl 20137 df-mopn 20138 df-cnfld 20143 df-top 21106 df-topon 21123 df-topsp 21145 df-bases 21158 df-cld 21231 df-cn 21439 df-cnp 21440 df-tx 21774 df-hmeo 21967 df-xms 22533 df-ms 22534 df-tms 22535 df-ii 23088 df-htpy 23177 df-phtpy 23178 df-phtpc 23199 df-pco 23212

This theorem is referenced by: pcorev 23234

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