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Theorem pcorevlem 23233
Description: Lemma for pcorev 23234. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev.2 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
pcorevlem.3 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
Assertion
Ref Expression
pcorevlem (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐹   𝐺,𝑠,𝑡   𝐽,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem pcorevlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2 iitopon 23090 . . . . . . 7 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 iirevcn 23137 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6 id 22 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
73, 5, 6cnmpt11f 21876 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
81, 7syl5eqel 2862 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 1elunit 12606 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
10 oveq2 6930 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
11 1m1e0 11447 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
1210, 11syl6eq 2829 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
1312fveq2d 6450 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
14 fvex 6459 . . . . . 6 (𝐹‘0) ∈ V
1513, 1, 14fvmpt 6542 . . . . 5 (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
169, 15mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
178, 6, 16pcocn 23224 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
18 cntop2 21453 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19 eqid 2777 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
2019toptopon 21129 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2118, 20sylib 210 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
22 iiuni 23092 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
2322, 19cnf 21458 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
24 ffvelrn 6621 . . . . . 6 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝐽)
2523, 9, 24sylancl 580 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) ∈ 𝐽)
26 pcorev.2 . . . . . 6 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
2726pcoptcl 23228 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ (𝐹‘1) ∈ 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
2821, 25, 27syl2anc 579 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
2928simp1d 1133 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
30 pcorevlem.3 . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
31 eqid 2777 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
32 eqid 2777 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
33 eqid 2777 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
34 dfii2 23093 . . . . . 6 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
35 0red 10380 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 0 ∈ ℝ)
36 1red 10377 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 1 ∈ ℝ)
37 halfre 11596 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
38 0re 10378 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
39 halfgt0 11598 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 2)
4038, 37, 39ltleii 10499 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 2)
41 1re 10376 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
42 halflt1 11600 . . . . . . . . 9 (1 / 2) < 1
4337, 41, 42ltleii 10499 . . . . . . . 8 (1 / 2) ≤ 1
44 elicc01 12604 . . . . . . . 8 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
4537, 40, 43, 44mpbir3an 1398 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
4645a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
47 simprl 761 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑠 = (1 / 2))
4847oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (2 · (1 / 2)))
49 2cn 11450 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
50 2ne0 11486 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
5149, 50recidi 11106 . . . . . . . . . 10 (2 · (1 / 2)) = 1
5248, 51syl6eq 2829 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = 1)
5352oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = (1 − 1))
5453, 11syl6eq 2829 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = 0)
5554oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 0))
56 1m0e1 11503 . . . . . . . . . 10 (1 − 0) = 1
5755, 56syl6eq 2829 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 1)
5852, 57eqtr4d 2816 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
5958oveq2d 6938 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
6059oveq2d 6938 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
61 retopon 22975 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
62 iccssre 12567 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
6338, 37, 62mp2an 682 . . . . . . . . 9 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
64 resttopon 21373 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6561, 63, 64mp2an 682 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
6665a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6766, 3cnmpt2nd 21881 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
68 oveq2 6930 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
6966, 3, 67, 3, 5, 68cnmpt21 21883 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
7066, 3cnmpt1st 21880 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
7132iihalf1cn 23139 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
73 oveq2 6930 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
7466, 3, 70, 66, 72, 73cnmpt21 21883 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑠)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
75 iimulcn 23145 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)
7675a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
77 oveq12 6931 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑠)) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))
7866, 3, 69, 74, 3, 3, 76, 77cnmpt22 21886 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
79 oveq2 6930 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
8066, 3, 78, 3, 5, 79cnmpt21 21883 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
81 iccssre 12567 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
8237, 41, 81mp2an 682 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
83 resttopon 21373 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
8461, 82, 83mp2an 682 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
8584a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
8685, 3cnmpt2nd 21881 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8785, 3, 86, 3, 5, 68cnmpt21 21883 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8885, 3cnmpt1st 21880 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
8933iihalf2cn 23141 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
9089a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
9173oveq1d 6937 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
9285, 3, 88, 85, 90, 91cnmpt21 21883 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑠) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
93 oveq2 6930 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((2 · 𝑠) − 1) → (1 − 𝑥) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
9485, 3, 92, 3, 5, 93cnmpt21 21883 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
95 oveq12 6931 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
9685, 3, 87, 94, 3, 3, 76, 95cnmpt22 21886 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
97 oveq2 6930 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
9885, 3, 96, 3, 5, 97cnmpt21 21883 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
9931, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 3, 60, 80, 98cnmpt2pc 23135 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
1003, 3, 99, 6cnmpt21f 21884 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
10130, 100syl5eqel 2862 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
102 simpr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
103 0elunit 12605 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
104 simpl 476 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → 𝑠 = 𝑦)
105104breq1d 4896 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
106 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
107106oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
108107, 56syl6eq 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
109104oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
110108, 109oveq12d 6940 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (1 · (2 · 𝑦)))
111110oveq2d 6938 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
112109oveq1d 6937 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
113112oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
114108, 113oveq12d 6940 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
115114oveq2d 6938 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
116105, 111, 115ifbieq12d 4333 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
117116fveq2d 6450 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
118 fvex 6459 . . . . . 6 (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
119117, 30, 118ovmpt2a 7068 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
120102, 103, 119sylancl 580 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
121 iftrue 4312 . . . . . . . 8 (𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
122121adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
123122fveq2d 6450 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
124 elii1 23142 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
1258, 6pcoval1 23220 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐺‘(2 · 𝑦)))
126 iihalf1 23138 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
127126adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
128 oveq2 6930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (2 · 𝑦)))
129128fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
130 fvex 6459 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))) ∈ V
131129, 1, 130fvmpt 6542 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
132 unitssre 12636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℝ
133132sseli 3816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
134133recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
135134mulid2d 10395 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 · (2 · 𝑦)) = (2 · 𝑦))
136135oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (2 · 𝑦))) = (1 − (2 · 𝑦)))
137136fveq2d 6450 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
138131, 137eqtr4d 2816 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
139127, 138syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
140125, 139eqtrd 2813 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
141124, 140sylan2br 588 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
142141anassrs 461 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
143123, 142eqtr4d 2816 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
144 iffalse 4315 . . . . . . . 8 𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
145144adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
146145fveq2d 6450 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
147 elii2 23143 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1))
1488, 6, 16pcoval2 23223 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)))
149 iihalf2 23140 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
150149adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
151 ax-1cn 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
152132sseli 3816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
153152recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
154 subcl 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
155151, 153, 154sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
156155mulid2d 10395 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
157156oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
158 nncan 10652 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
159151, 153, 158sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
160157, 159eqtr2d 2814 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
161150, 160syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
162161fveq2d 6450 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
163148, 162eqtrd 2813 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
164147, 163sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
165164anassrs 461 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
166146, 165eqtr4d 2816 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
167143, 166pm2.61dan 803 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
168120, 167eqtrd 2813 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
169132sseli 3816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
170169recnd 10405 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
171 mulcl 10356 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
17249, 170, 171sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
173172adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
174173mul02d 10574 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (2 · 𝑦)) = 0)
175174oveq2d 6938 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = (1 − 0))
176175, 56syl6eq 2829 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = 1)
177 subcl 10621 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
178173, 151, 177sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
179151, 178, 154sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
180179mul02d 10574 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = 0)
181180oveq2d 6938 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − 0))
182181, 56syl6eq 2829 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = 1)
183176, 182ifeq12d 4326 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1))
184 ifid 4345 . . . . . 6 if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1) = 1
185183, 184syl6eq 2829 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = 1)
186185fveq2d 6450 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘1))
187 simpl 476 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → 𝑠 = 𝑦)
188187breq1d 4896 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
189 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
190189oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
191190, 11syl6eq 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
192187oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
193191, 192oveq12d 6940 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (0 · (2 · 𝑦)))
194193oveq2d 6938 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (0 · (2 · 𝑦))))
195192oveq1d 6937 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
196195oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
197191, 196oveq12d 6940 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
198197oveq2d 6938 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
199188, 194, 198ifbieq12d 4333 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
200199fveq2d 6450 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
201 fvex 6459 . . . . . 6 (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
202200, 30, 201ovmpt2a 7068 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
203102, 9, 202sylancl 580 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
20426fveq1i 6447 . . . . 5 (𝑃𝑦) = (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦)
205 fvex 6459 . . . . . . 7 (𝐹‘1) ∈ V
206205fvconst2 6741 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
207206adantl 475 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
208204, 207syl5eq 2825 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑃𝑦) = (𝐹‘1))
209186, 203, 2083eqtr4d 2823 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝑃𝑦))
210 simpl 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 0)
211210, 40syl6eqbr 4925 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 ≤ (1 / 2))
212211iftrued 4314 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
213 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
214213oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
215210oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 0))
216 2t0e0 11551 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
217215, 216syl6eq 2829 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 0)
218214, 217oveq12d 6940 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑦) · 0))
219218oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
220212, 219eqtrd 2813 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
221220fveq2d 6450 . . . . . . 7 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
222 fvex 6459 . . . . . . 7 (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) ∈ V
223221, 30, 222ovmpt2a 7068 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
224103, 223mpan 680 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
225 subcl 10621 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
226151, 170, 225sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
227226mul01d 10575 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑦) · 0) = 0)
228227oveq2d 6938 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = (1 − 0))
229228, 56syl6eq 2829 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = 1)
230229fveq2d 6450 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) = (𝐹‘1))
231224, 230eqtrd 2813 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
2328, 6pco0 23221 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐺‘0))
233 oveq2 6930 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
234233, 56syl6eq 2829 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
235234fveq2d 6450 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
236235, 1, 205fvmpt 6542 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
237103, 236ax-mp 5 . . . . 5 (𝐺‘0) = (𝐹‘1)
238232, 237syl6req 2830 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
239231, 238sylan9eqr 2835 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
24037, 41ltnlei 10497 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
24142, 240mpbi 222 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
242 simpl 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 1)
243242breq1d 4896 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
244241, 243mtbiri 319 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2))
245244iffalsed 4317 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
246 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
247246oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
248242oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 1))
249 2t1e2 11545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = 2
250248, 249syl6eq 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 2)
251250oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = (2 − 1))
252 2m1e1 11508 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
253251, 252syl6eq 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = 1)
254253oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 1))
255254, 11syl6eq 2829 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 0)
256247, 255oveq12d 6940 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = ((1 − 𝑦) · 0))
257256oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
258245, 257eqtrd 2813 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
259258fveq2d 6450 . . . . . . 7 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
260259, 30, 222ovmpt2a 7068 . . . . . 6 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
2619, 260mpan 680 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
262261, 230eqtrd 2813 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
2638, 6pco1 23222 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
264263eqcomd 2783 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
265262, 264sylan9eqr 2835 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
26617, 29, 101, 168, 209, 239, 265isphtpy2d 23194 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃))
267266ne0d 4149 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅)
268 isphtpc 23201 . . 3 ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃 ↔ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅))
26917, 29, 267, 268syl3anbrc 1400 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃)
270266, 269jca 507 1 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wss 3791  c0 4140  ifcif 4306  {csn 4397   cuni 4671   class class class wbr 4886  cmpt 4965   × cxp 5353  ran crn 5356  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  (,)cioo 12487  [,]cicc 12490  t crest 16467  topGenctg 16484  Topctop 21105  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436   ×t ctx 21772  IIcii 23086  PHtpycphtpy 23175  phcphtpc 23176  *𝑝cpco 23207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-ii 23088  df-htpy 23177  df-phtpy 23178  df-phtpc 23199  df-pco 23212
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