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Theorem pcorevlem 25072
Description: Lemma for pcorev 25073. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev.2 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
pcorevlem.3 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
Assertion
Ref Expression
pcorevlem (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐹   𝐺,𝑠,𝑡   𝐽,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem pcorevlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2 iitopon 24918 . . . . . . 7 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 iirevcn 24970 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6 id 22 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
73, 5, 6cnmpt11f 23687 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
81, 7eqeltrid 2842 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 1elunit 13506 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
10 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
11 1m1e0 12335 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
1210, 11eqtrdi 2790 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
1312fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
14 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐹‘0) ∈ V
1513, 1, 14fvmpt 7015 . . . . 5 (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
169, 15mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
178, 6, 16pcocn 25063 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
18 cntop2 23264 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19 toptopon2 22939 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2018, 19sylib 218 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
21 iiuni 24920 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
22 eqid 2734 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
2321, 22cnf 23269 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
24 ffvelcdm 7100 . . . . . 6 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝐽)
2523, 9, 24sylancl 586 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) ∈ 𝐽)
26 pcorev.2 . . . . . 6 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
2726pcoptcl 25067 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ (𝐹‘1) ∈ 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
2820, 25, 27syl2anc 584 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
2928simp1d 1141 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
30 pcorevlem.3 . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
31 eqid 2734 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
32 eqid 2734 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
33 eqid 2734 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
34 dfii2 24921 . . . . . 6 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
35 0red 11261 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 0 ∈ ℝ)
36 1red 11259 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 1 ∈ ℝ)
37 halfre 12477 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
38 halfge0 12480 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 2)
39 1re 11258 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
40 halflt1 12481 . . . . . . . . 9 (1 / 2) < 1
4137, 39, 40ltleii 11381 . . . . . . . 8 (1 / 2) ≤ 1
42 elicc01 13502 . . . . . . . 8 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
4337, 38, 41, 42mpbir3an 1340 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
45 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑠 = (1 / 2))
4645oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (2 · (1 / 2)))
47 2cn 12338 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
48 2ne0 12367 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
4947, 48recidi 11995 . . . . . . . . . 10 (2 · (1 / 2)) = 1
5046, 49eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = 1)
5150oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = (1 − 1))
5251, 11eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = 0)
5352oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 0))
54 1m0e1 12384 . . . . . . . . . 10 (1 − 0) = 1
5553, 54eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 1)
5650, 55eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
5756oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
5857oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
59 retopon 24799 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
60 0re 11260 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
61 iccssre 13465 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
6260, 37, 61mp2an 692 . . . . . . . . 9 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
63 resttopon 23184 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6459, 62, 63mp2an 692 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6665, 3cnmpt2nd 23692 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
67 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
6865, 3, 66, 3, 5, 67cnmpt21 23694 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
6965, 3cnmpt1st 23691 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
7032iihalf1cn 24972 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
72 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
7365, 3, 69, 65, 71, 72cnmpt21 23694 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑠)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
74 iimulcn 24980 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)
7574a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
76 oveq12 7439 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑠)) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))
7765, 3, 68, 73, 3, 3, 75, 76cnmpt22 23697 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
78 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
7965, 3, 77, 3, 5, 78cnmpt21 23694 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
80 iccssre 13465 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
8137, 39, 80mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
82 resttopon 23184 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
8359, 81, 82mp2an 692 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
8483a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
8584, 3cnmpt2nd 23692 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8684, 3, 85, 3, 5, 67cnmpt21 23694 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8784, 3cnmpt1st 23691 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
8833iihalf2cn 24975 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
9072oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
9184, 3, 87, 84, 89, 90cnmpt21 23694 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑠) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
92 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((2 · 𝑠) − 1) → (1 − 𝑥) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
9384, 3, 91, 3, 5, 92cnmpt21 23694 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
94 oveq12 7439 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
9584, 3, 86, 93, 3, 3, 75, 94cnmpt22 23697 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
96 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
9784, 3, 95, 3, 5, 96cnmpt21 23694 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
9831, 32, 33, 34, 35, 36, 44, 3, 58, 79, 97cnmpopc 24968 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
993, 3, 98, 6cnmpt21f 23695 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
10030, 99eqeltrid 2842 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
101 simpr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
102 0elunit 13505 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
103 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → 𝑠 = 𝑦)
104103breq1d 5157 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
105 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
106105oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
107106, 54eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
108103oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
109107, 108oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (1 · (2 · 𝑦)))
110109oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
111108oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
112111oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
113107, 112oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
114113oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
115104, 110, 114ifbieq12d 4558 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
116115fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
117 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
118116, 30, 117ovmpoa 7587 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
119101, 102, 118sylancl 586 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
120 iftrue 4536 . . . . . . . 8 (𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
121120adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
122121fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
123 elii1 24977 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
1248, 6pcoval1 25059 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐺‘(2 · 𝑦)))
125 iihalf1 24971 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
126125adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
127 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (2 · 𝑦)))
128127fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
129 fvex 6919 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))) ∈ V
130128, 1, 129fvmpt 7015 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
131 unitssre 13535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℝ
132131sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
133132recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
134133mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 · (2 · 𝑦)) = (2 · 𝑦))
135134oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (2 · 𝑦))) = (1 − (2 · 𝑦)))
136135fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
137130, 136eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
138126, 137syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
139124, 138eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
140123, 139sylan2br 595 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
141140anassrs 467 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
142122, 141eqtr4d 2777 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
143 iffalse 4539 . . . . . . . 8 𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
144143adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
145144fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
146 elii2 24978 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1))
1478, 6, 16pcoval2 25062 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)))
148 iihalf2 24974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
149148adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
150 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
151131sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
152151recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
153 subcl 11504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
154150, 152, 153sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
155154mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
156155oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
157 nncan 11535 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
158150, 152, 157sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
159156, 158eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
160149, 159syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
161160fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
162147, 161eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
163146, 162sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
164163anassrs 467 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
165145, 164eqtr4d 2777 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
166142, 165pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
167119, 166eqtrd 2774 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
168131sseli 3990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
169168recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
170 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
17147, 169, 170sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
172171adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
173172mul02d 11456 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (2 · 𝑦)) = 0)
174173oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = (1 − 0))
175174, 54eqtrdi 2790 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = 1)
176 subcl 11504 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
177172, 150, 176sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
178150, 177, 153sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
179178mul02d 11456 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = 0)
180179oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − 0))
181180, 54eqtrdi 2790 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = 1)
182175, 181ifeq12d 4551 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1))
183 ifid 4570 . . . . . 6 if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1) = 1
184182, 183eqtrdi 2790 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = 1)
185184fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘1))
186 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → 𝑠 = 𝑦)
187186breq1d 5157 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
188 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
189188oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
190189, 11eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
191186oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
192190, 191oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (0 · (2 · 𝑦)))
193192oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (0 · (2 · 𝑦))))
194191oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
195194oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
196190, 195oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
197196oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
198187, 193, 197ifbieq12d 4558 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
199198fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
200 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
201199, 30, 200ovmpoa 7587 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
202101, 9, 201sylancl 586 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
20326fveq1i 6907 . . . . 5 (𝑃𝑦) = (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦)
204 fvex 6919 . . . . . . 7 (𝐹‘1) ∈ V
205204fvconst2 7223 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
206205adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
207203, 206eqtrid 2786 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑃𝑦) = (𝐹‘1))
208185, 202, 2073eqtr4d 2784 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝑃𝑦))
209 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 0)
210209, 38eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 ≤ (1 / 2))
211210iftrued 4538 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
212 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
213212oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
214209oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 0))
215 2t0e0 12432 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
216214, 215eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 0)
217213, 216oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑦) · 0))
218217oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
219211, 218eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
220219fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
221 fvex 6919 . . . . . . 7 (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) ∈ V
222220, 30, 221ovmpoa 7587 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
223102, 222mpan 690 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
224 subcl 11504 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
225150, 169, 224sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
226225mul01d 11457 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑦) · 0) = 0)
227226oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = (1 − 0))
228227, 54eqtrdi 2790 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = 1)
229228fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) = (𝐹‘1))
230223, 229eqtrd 2774 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
2318, 6pco0 25060 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐺‘0))
232 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
233232, 54eqtrdi 2790 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
234233fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
235234, 1, 204fvmpt 7015 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
236102, 235ax-mp 5 . . . . 5 (𝐺‘0) = (𝐹‘1)
237231, 236eqtr2di 2791 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
238230, 237sylan9eqr 2796 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
23937, 39ltnlei 11379 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
24040, 239mpbi 230 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
241 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 1)
242241breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
243240, 242mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2))
244243iffalsed 4541 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
245 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
246245oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
247241oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 1))
248 2t1e2 12426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = 2
249247, 248eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 2)
250249oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = (2 − 1))
251 2m1e1 12389 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
252250, 251eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = 1)
253252oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 1))
254253, 11eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 0)
255246, 254oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = ((1 − 𝑦) · 0))
256255oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
257244, 256eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
258257fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
259258, 30, 221ovmpoa 7587 . . . . . 6 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
2609, 259mpan 690 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
261260, 229eqtrd 2774 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
2628, 6pco1 25061 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
263262eqcomd 2740 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
264261, 263sylan9eqr 2796 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
26517, 29, 100, 167, 208, 238, 264isphtpy2d 25032 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃))
266265ne0d 4347 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅)
267 isphtpc 25039 . . 3 ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃 ↔ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅))
26817, 29, 266, 267syl3anbrc 1342 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃)
269265, 268jca 511 1 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  {csn 4630   cuni 4911   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  t crest 17466  topGenctg 17483  Topctop 22914  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247   ×t ctx 23583  IIcii 24914  PHtpycphtpy 25013  phcphtpc 25014  *𝑝cpco 25046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-ii 24916  df-htpy 25015  df-phtpy 25016  df-phtpc 25037  df-pco 25051
This theorem is referenced by:  pcorev  25073
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