pcorevlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem pcorevlem 25146

Description: Lemma for pcorev 25147. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pcorev.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev.2	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
pcorevlem.3	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))

**Assertion**
Ref	Expression
pcorevlem	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃_ph‘𝐽)𝑃))

Distinct variable groups: 𝑡,𝑠,𝑥,𝐹 𝐺,𝑠,𝑡 𝐽,𝑠,𝑡,𝑥 𝑃,𝑠,𝑡,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥) 𝐻(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem pcorevlem Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2		iitopon 24999	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4		iirevcn 25050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7	3, 5, 6	cnmpt11f 23782	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8	1, 7	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		1elunit 13488	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
10		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
11		1m1e0 12304	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
13	12	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
14		fvex 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
15	13, 1, 14	fvmpt 6979	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
16	9, 15	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
17	8, 6, 16	pcocn 25137	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
18		cntop2 23359	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19		toptopon2 23036	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
20	18, 19	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
21		iiuni 25001	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
22		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
23	21, 22	cnf 23364	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
24		ffvelcdm 7066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ ∪ 𝐽)
25	23, 9, 24	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) ∈ ∪ 𝐽)
26		pcorev.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
27	26	pcoptcl 25141	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐹‘1) ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
28	20, 25, 27	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
29	28	simp1d 1158	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
30		pcorevlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
31		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
32		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2)))
33		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1))
34		dfii2 25002	. . . . . 6 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,]1))
35		0red 11199	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 0 ∈ ℝ)
36		1red 11197	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 1 ∈ ℝ)
37		halfre 12448	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
38		halfge0 12451	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
39		1re 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		halflt1 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) < 1
41	37, 39, 40	ltleii 11321	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
42		elicc01 13484	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
43	37, 38, 41, 42	mpbir3an 1358	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,]1)
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
45		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑠 = (1 / 2))
46	45	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (2 · (1 / 2)))
47		2cn 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		2ne0 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
49	47, 48	recidi 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
50	46, 49	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = 1)
51	50	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = (1 − 1))
52	51, 11	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = 0)
53	52	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 0))
54		1m0e1 12351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 0) = 1
55	53, 54	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 1)
56	50, 55	eqtr4d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
57	56	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
58	57	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
59		retopon 24881	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
60		0re 11198	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		iccssre 13447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
62	60, 37, 61	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
63		resttopon 23279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
64	59, 62, 63	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
66	65, 3	cnmpt2nd 23787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
67		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
68	65, 3, 66, 3, 5, 67	cnmpt21 23789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
69	65, 3	cnmpt1st 23786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2)))))
70	32	iihalf1cn 25052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) Cn II)
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) Cn II))
72		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
73	65, 3, 69, 65, 71, 72	cnmpt21 23789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑠)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
74		iimulcn 25058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×_t II) Cn II)
75	74	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×_t II) Cn II))
76		oveq12 7409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑠)) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))
77	65, 3, 68, 73, 3, 3, 75, 76	cnmpt22 23792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
78		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
79	65, 3, 77, 3, 5, 78	cnmpt21 23789	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (0[,](1 / 2))) ×_t II) Cn II))
80		iccssre 13447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
81	37, 39, 80	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
82		resttopon 23279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
83	59, 81, 82	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
84	83	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
85	84, 3	cnmpt2nd 23787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
86	84, 3, 85, 3, 5, 67	cnmpt21 23789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
87	84, 3	cnmpt1st 23786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1))))
88	33	iihalf2cn 25054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
90	72	oveq1d 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
91	84, 3, 87, 84, 89, 90	cnmpt21 23789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑠) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
92		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((2 · 𝑠) − 1) → (1 − 𝑥) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
93	84, 3, 91, 3, 5, 92	cnmpt21 23789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
94		oveq12 7409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
95	84, 3, 86, 93, 3, 3, 75, 94	cnmpt22 23792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
96		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
97	84, 3, 95, 3, 5, 96	cnmpt21 23789	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t ((1 / 2)[,]1)) ×_t II) Cn II))
98	31, 32, 33, 34, 35, 36, 44, 3, 58, 79, 97	cnmpopc 25048	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) ∈ ((II ×_t II) Cn II))
99	3, 3, 98, 6	cnmpt21f 23790	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))))) ∈ ((II ×_t II) Cn 𝐽))
100	30, 99	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((II ×_t II) Cn 𝐽))
101		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
102		0elunit 13487	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
103		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → 𝑠 = 𝑦)
104	103	breq1d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
105		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
106	105	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
107	106, 54	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
108	103	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
109	107, 108	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (1 · (2 · 𝑦)))
110	109	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
111	108	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
112	111	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
113	107, 112	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
114	113	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
115	104, 110, 114	ifbieq12d 4512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
116	115	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 0) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
117		fvex 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
118	116, 30, 117	ovmpoa 7555	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
119	101, 102, 118	sylancl 597	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
120		iftrue 4489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
121	120	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
122	121	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
123		elii1 25055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
124	8, 6	pcoval1 25133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐺‘(2 · 𝑦)))
125		iihalf1 25051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
126	125	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
127		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (2 · 𝑦)))
128	127	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
129		fvex 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))) ∈ V
130	128, 1, 129	fvmpt 6979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
131		unitssre 13517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
132	131	sseli 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
133	132	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
134	133	mullidd 11215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 · (2 · 𝑦)) = (2 · 𝑦))
135	134	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (2 · 𝑦))) = (1 − (2 · 𝑦)))
136	135	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
137	130, 136	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
138	126, 137	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
139	124, 138	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
140	123, 139	sylan2br 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
141	140	anassrs 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
142	122, 141	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦))
143		iffalse 4492	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
144	143	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
145	144	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
146		elii2 25056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1))
147	8, 6, 16	pcoval2 25136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)))
148		iihalf2 25053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
149	148	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
150		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
151	131	sseli 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
152	151	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
153		subcl 11444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
154	150, 152, 153	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
155	154	mullidd 11215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
156	155	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
157		nncan 11475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
158	150, 152, 157	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
159	156, 158	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
160	149, 159	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
161	160	fveq2d 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
162	147, 161	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
163	146, 162	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
164	163	anassrs 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
165	145, 164	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦))
166	142, 165	pm2.61dan 824	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦))
167	119, 166	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘𝑦))
168	131	sseli 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
169	168	recnd 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
170		mulcl 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
171	47, 169, 170	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
172	171	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
173	172	mul02d 11396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (2 · 𝑦)) = 0)
174	173	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = (1 − 0))
175	174, 54	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = 1)
176		subcl 11444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
177	172, 150, 176	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
178	150, 177, 153	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
179	178	mul02d 11396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = 0)
180	179	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − 0))
181	180, 54	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = 1)
182	175, 181	ifeq12d 4505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1))
183		ifid 4524	. . . . . 6 ⊢ if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1) = 1
184	182, 183	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = 1)
185	184	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘1))
186		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → 𝑠 = 𝑦)
187	186	breq1d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
188		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
189	188	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
190	189, 11	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
191	186	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
192	190, 191	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (0 · (2 · 𝑦)))
193	192	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (0 · (2 · 𝑦))))
194	191	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
195	194	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
196	190, 195	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
197	196	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
198	187, 193, 197	ifbieq12d 4512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
199	198	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑡 = 1) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
200		fvex 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
201	199, 30, 200	ovmpoa 7555	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
202	101, 9, 201	sylancl 597	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
203	26	fveq1i 6872	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘𝑦) = (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦)
204		fvex 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
205	204	fvconst2 7192	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
206	205	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
207	203, 206	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑃‘𝑦) = (𝐹‘1))
208	185, 202, 207	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝑃‘𝑦))
209		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 0)
210	209, 38	eqbrtrdi 5144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 ≤ (1 / 2))
211	210	iftrued 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
212		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
213	212	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
214	209	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 0))
215		2t0e0 12402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
216	214, 215	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 0)
217	213, 216	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑦) · 0))
218	217	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
219	211, 218	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
220	219	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
221		fvex 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) ∈ V
222	220, 30, 221	ovmpoa 7555	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
223	102, 222	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
224		subcl 11444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
225	150, 169, 224	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
226	225	mul01d 11397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑦) · 0) = 0)
227	226	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = (1 − 0))
228	227, 54	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = 1)
229	228	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) = (𝐹‘1))
230	223, 229	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
231	8, 6	pco0 25134	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝐺‘0))
232		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
233	232, 54	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
234	233	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
235	234, 1, 204	fvmpt 6979	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
236	102, 235	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘0) = (𝐹‘1)
237	231, 236	eqtr2di 2817	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
238	230, 237	sylan9eqr 2822	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
239	37, 39	ltnlei 11319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
240	40, 239	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ≤ (1 / 2)
241		simpl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 1)
242	241	breq1d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
243	240, 242	mtbiri 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2))
244	243	iffalsed 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
245		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
246	245	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
247	241	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 1))
248		2t1e2 12394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = 2
249	247, 248	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 2)
250	249	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = (2 − 1))
251		2m1e1 12356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
252	250, 251	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = 1)
253	252	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 1))
254	253, 11	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 0)
255	246, 254	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = ((1 − 𝑦) · 0))
256	255	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
257	244, 256	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
258	257	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
259	258, 30, 221	ovmpoa 7555	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
260	9, 259	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
261	260, 229	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
262	8, 6	pco1 25135	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
263	262	eqcomd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘1))
264	261, 263	sylan9eqr 2822	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)‘1))
265	17, 29, 100, 167, 208, 238, 264	isphtpy2d 25107	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃))
266	265	ne0d 4297	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅)
267		isphtpc 25114	. . 3 ⊢ ((𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃_ph‘𝐽)𝑃 ↔ ((𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅))
268	17, 29, 266, 267	syl3anbrc 1360	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*_𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃_ph‘𝐽)𝑃)
269	265, 268	jca 520	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(_𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃_ph‘𝐽)𝑃))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 400 ∧ w3a 1101 = wceq 1563 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2960 ⊆ wss 3907 ∅c0 4288 ifcif 4483 {csn 4585 ∪ cuni 4868 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5186 × cxp 5650 ran crn 5653 ⟶wf 6521 ‘cfv 6525 (class class class)co 7400 ∈ cmpo 7402 ℂcc 11086 ℝcr 11087 0cc0 11088 1c1 11089 · cmul 11093 < clt 11231 ≤ cle 11232 − cmin 11429 / cdiv 11859 2c2 12286 (,)cioo 13363 [,]cicc 13366 ↾_t crest 17463 topGenctg 17480 Topctop 23011 TopOnctopon 23028 Cn ccn 23342 ×_t ctx 23678 IIcii 24995 PHtpycphtpy 25088 ≃_phcphtpc 25089 *_𝑝cpco 25120

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1818 ax-4 1832 ax-5 1933 ax-6 1990 ax-7 2031 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2737 ax-rep 5232 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5327 ax-pr 5395 ax-un 7722 ax-cnex 11144 ax-resscn 11145 ax-1cn 11146 ax-icn 11147 ax-addcl 11148 ax-addrcl 11149 ax-mulcl 11150 ax-mulrcl 11151 ax-mulcom 11152 ax-addass 11153 ax-mulass 11154 ax-distr 11155 ax-i2m1 11156 ax-1ne0 11157 ax-1rid 11158 ax-rnegex 11159 ax-rrecex 11160 ax-cnre 11161 ax-pre-lttri 11162 ax-pre-lttrn 11163 ax-pre-ltadd 11164 ax-pre-mulgt0 11165 ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1566 df-fal 1576 df-ex 1803 df-nf 1807 df-sb 2094 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3418 df-v 3459 df-sbc 3748 df-csb 3856 df-dif 3910 df-un 3912 df-in 3914 df-ss 3924 df-pss 3927 df-nul 4289 df-if 4484 df-pw 4560 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4869 df-int 4909 df-iun 4954 df-iin 4955 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5547 df-eprel 5552 df-po 5560 df-so 5561 df-fr 5605 df-se 5606 df-we 5607 df-xp 5658 df-rel 5659 df-cnv 5660 df-co 5661 df-dm 5662 df-rn 5663 df-res 5664 df-ima 5665 df-pred 6292 df-ord 6353 df-on 6354 df-lim 6355 df-suc 6356 df-iota 6481 df-fun 6527 df-fn 6528 df-f 6529 df-f1 6530 df-fo 6531 df-f1o 6532 df-fv 6533 df-isom 6534 df-riota 7357 df-ov 7403 df-oprab 7404 df-mpo 7405 df-of 7664 df-om 7851 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8145 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8346 df-rdg 8385 df-1o 8441 df-2o 8442 df-er 8682 df-map 8814 df-ixp 8884 df-en 8932 df-dom 8933 df-sdom 8934 df-fin 8935 df-fsupp 9310 df-fi 9359 df-sup 9390 df-inf 9391 df-oi 9460 df-card 9913 df-pnf 11233 df-mnf 11234 df-xr 11235 df-ltxr 11236 df-le 11237 df-sub 11431 df-neg 11432 df-div 11860 df-nn 12225 df-2 12294 df-3 12295 df-4 12296 df-5 12297 df-6 12298 df-7 12299 df-8 12300 df-9 12301 df-n0 12496 df-z 12583 df-dec 12703 df-uz 12854 df-q 12964 df-rp 13008 df-xneg 13128 df-xadd 13129 df-xmul 13130 df-ioo 13367 df-icc 13370 df-fz 13527 df-fzo 13674 df-seq 14029 df-exp 14089 df-hash 14358 df-cj 15140 df-re 15141 df-im 15142 df-sqrt 15276 df-abs 15277 df-struct 17197 df-sets 17214 df-slot 17232 df-ndx 17244 df-base 17260 df-ress 17281 df-plusg 17313 df-mulr 17314 df-starv 17315 df-sca 17316 df-vsca 17317 df-ip 17318 df-tset 17319 df-ple 17320 df-ds 17322 df-unif 17323 df-hom 17324 df-cco 17325 df-rest 17465 df-topn 17466 df-0g 17484 df-gsum 17485 df-topgen 17486 df-pt 17487 df-prds 17490 df-xrs 17546 df-qtop 17551 df-imas 17552 df-xps 17554 df-mre 17628 df-mrc 17629 df-acs 17631 df-mgm 18688 df-sgrp 18767 df-mnd 18783 df-submnd 18832 df-mulg 19125 df-cntz 19378 df-cmn 19843 df-psmet 21474 df-xmet 21475 df-met 21476 df-bl 21477 df-mopn 21478 df-cnfld 21483 df-top 23012 df-topon 23029 df-topsp 23051 df-bases 23064 df-cld 23137 df-cn 23345 df-cnp 23346 df-tx 23680 df-hmeo 23873 df-xms 24438 df-ms 24439 df-tms 24440 df-ii 24997 df-htpy 25090 df-phtpy 25091 df-phtpc 25112 df-pco 25125

This theorem is referenced by: pcorev 25147

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