Theorem lfgrwlkprop 29685

Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lfgrwlkprop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfgrwlkprop	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlkprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 29612	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		lfgrwlkprop.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	iswlk 29610	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
6		ifptru 1074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}))
8		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9		wrdsymbcl 14441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
10	9	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
11	8, 10	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
13	12	breq2d 5107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
14	13	elrab 3643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
15		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) = (♯‘{(𝑃‘𝑘)}))
16	15	breq2d 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ 2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)})))
17		fvex 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V
18		hashsng 14283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ V → (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) = 1)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) = 1
20	19	breq2i 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) ↔ 2 ≤ 1)
21		1lt2 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 2
22		1re 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		2re 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	22, 23	ltnlei 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
25		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
26	24, 25	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
28	20, 27	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
29	16, 28	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
33	14, 32	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
34	11, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	7, 35	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
37	36	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
38		neqne 2937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
39	38	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
40	37, 39	pm2.61i 182	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
41	40	ralimdva 3145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
42	41	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
43	42	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44	43	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
45	5, 44	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
46	45	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
47	46	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1062   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  {cpr 4579   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   < clt 11157   ≤ cle 11158  2c2 12191  ...cfz 13414  ..^cfzo 13561  ♯chash 14244  Word cword 14427  Vtxcvtx 28995  iEdgciedg 28996  Walkscwlks 29596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-hash 14245  df-word 14428  df-wlks 29599

This theorem is referenced by:  lfgriswlk  29686