Theorem lfgrwlkprop 29705

Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lfgrwlkprop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfgrwlkprop	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlkprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 29630	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		lfgrwlkprop.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	iswlk 29628	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
6		ifptru 1075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}))
8		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9		wrdsymbcl 14565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
10	9	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
11	8, 10	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
13	12	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
14	13	elrab 3692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
15		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) = (♯‘{(𝑃‘𝑘)}))
16	15	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ 2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)})))
17		fvex 6919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V
18		hashsng 14408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ V → (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) = 1)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) = 1
20	19	breq2i 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) ↔ 2 ≤ 1)
21		1lt2 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 2
22		1re 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		2re 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	22, 23	ltnlei 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
25		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
26	24, 25	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
28	20, 27	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
29	16, 28	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
33	14, 32	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
34	11, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	7, 35	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
37	36	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
38		neqne 2948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
39	38	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
40	37, 39	pm2.61i 182	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
41	40	ralimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
42	41	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
43	42	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44	43	3impia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
45	5, 44	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
46	45	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
47	46	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1063   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296  2c2 12321  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Walkscwlks 29614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wlks 29617

This theorem is referenced by:  lfgriswlk  29706