Theorem lfgrwlkprop 30316

Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lfgrwlkprop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfgrwlkprop	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlkprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 30239	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		lfgrwlkprop.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	iswlk 30237	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
5	1, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
6		ifptru 1091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}))
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}))
8		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9		wrdsymbcl 14711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
10	9	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
11	8, 10	ffvelcdmd 7115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
13	12	breq2d 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
14	13	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
15		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) = (♯‘{(𝑃‘𝑘)}))
16	15	breq2d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ 2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)})))
17		fvex 6927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V
18		hashsng 14552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ V → (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) = 1)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) = 1
20	19	breq2i 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) ↔ 2 ≤ 1)
21		1lt2 12553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 2
22		1re 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		2re 12455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	22, 23	ltnlei 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
25		pm2.21 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
26	24, 25	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
28	20, 27	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
29	16, 28	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
30	29	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
33	14, 32	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
34	11, 33	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	7, 35	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
37	36	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
38		neqne 2967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
39	38	2a1d 27	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
40	37, 39	pm2.61i 184	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
41	40	ralimdva 3178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
42	41	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
43	42	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44	43	3impia 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
45	5, 44	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
46	45	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
47	46	imp 412	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  if-wif 1078   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   < clt 11380   ≤ cle 11381  2c2 12435  ...cfz 13677  ..^cfzo 13826  ♯chash 14513  Word cword 14697  Vtxcvtx 29620  iEdgciedg 29621  Walkscwlks 30223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-hash 14514  df-word 14698  df-wlks 30226

This theorem is used by:  lfgriswlk  30317