MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrwlkprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrwlkprop 27480
Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
lfgrwlkprop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfgrwlkprop ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlkprop
StepHypRef Expression
1 wlkv 27405 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2824 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 lfgrwlkprop.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
42, 3iswlk 27403 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
6 ifptru 1071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}))
76adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}))
8 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9 wrdsymbcl 13879 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
109ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
118, 10ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))))
1312breq2d 5064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))))
1413elrab 3666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))))
15 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) = (♯‘{(𝑃𝑘)}))
1615breq2d 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ 2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)})))
17 fvex 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃𝑘) ∈ V
18 hashsng 13735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃𝑘) ∈ V → (♯‘{(𝑃𝑘)}) = 1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯‘{(𝑃𝑘)}) = 1
2019breq2i 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)}) ↔ 2 ≤ 1)
21 1lt2 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
22 1re 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
23 2re 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
2422, 23ltnlei 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
25 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2624, 25sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2721, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2820, 27sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)}) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2916, 28syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3130adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
3314, 32syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
3411, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3534adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
367, 35sylbid 243 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3736ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
38 neqne 3022 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4037, 39pm2.61i 185 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4140ralimdva 3172 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4241ex 416 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4342com23 86 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44433impia 1114 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
455, 44syl6bi 256 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4645pm2.43i 52 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4746imp 410 1 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  if-wif 1058  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480  wss 3919  𝒫 cpw 4522  {csn 4550  {cpr 4552   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673  cle 10674  2c2 11689  ...cfz 12894  ..^cfzo 13037  chash 13695  Word cword 13866  Vtxcvtx 26792  iEdgciedg 26793  Walkscwlks 27389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-wlks 27392
This theorem is referenced by:  lfgriswlk  27481
  Copyright terms: Public domain W3C validator