MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrwlkprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrwlkprop 29719
Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
lfgrwlkprop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfgrwlkprop ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlkprop
StepHypRef Expression
1 wlkv 29644 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2734 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 lfgrwlkprop.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
42, 3iswlk 29642 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
6 ifptru 1074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}))
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}))
8 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9 wrdsymbcl 14561 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
109ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
118, 10ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))))
1312breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))))
1413elrab 3694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))))
15 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) = (♯‘{(𝑃𝑘)}))
1615breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ 2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)})))
17 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃𝑘) ∈ V
18 hashsng 14404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃𝑘) ∈ V → (♯‘{(𝑃𝑘)}) = 1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯‘{(𝑃𝑘)}) = 1
2019breq2i 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)}) ↔ 2 ≤ 1)
21 1lt2 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
22 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
23 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
2422, 23ltnlei 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
25 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2624, 25sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2721, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2820, 27sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)}) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2916, 28biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
3314, 32biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
3411, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
367, 35sylbid 240 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3736ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
38 neqne 2945 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4037, 39pm2.61i 182 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4140ralimdva 3164 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4241ex 412 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4342com23 86 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44433impia 1116 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
455, 44biimtrdi 253 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4645pm2.43i 52 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4746imp 406 1 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  if-wif 1062  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  2c2 12318  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  chash 14365  Word cword 14548  Vtxcvtx 29027  iEdgciedg 29028  Walkscwlks 29628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-wlks 29631
This theorem is referenced by:  lfgriswlk  29720
  Copyright terms: Public domain W3C validator