Theorem lfgrwlkprop 29772

Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lfgrwlkprop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfgrwlkprop	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlkprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 29699	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		lfgrwlkprop.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	iswlk 29697	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
6		ifptru 1080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}))
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}))
8		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9		wrdsymbcl 14480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
10	9	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑘) ∈ dom 𝐼)
11	8, 10	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
13	12	breq2d 5084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
14	13	elrab 3629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
15		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) = (♯‘{(𝑃‘𝑘)}))
16	15	breq2d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ 2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)})))
17		fvex 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V
18		hashsng 14322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ V → (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) = 1)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) = 1
20	19	breq2i 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) ↔ 2 ≤ 1)
21		1lt2 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 2
22		1re 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		2re 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	22, 23	ltnlei 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
25		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
26	24, 25	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
28	20, 27	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ≤ (♯‘{(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
29	16, 28	biimtrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
33	14, 32	biimtrid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
34	11, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	7, 35	sylbid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
37	36	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
38		neqne 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
39	38	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
40	37, 39	pm2.61i 183	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
41	40	ralimdva 3151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
42	41	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
43	42	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44	43	3impia 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
45	5, 44	biimtrdi 254	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
46	45	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
47	46	imp 407	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  if-wif 1068   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  {cpr 4557   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12227  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  Vtxcvtx 29083  iEdgciedg 29084  Walkscwlks 29683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-wlks 29686

This theorem is referenced by:  lfgriswlk  29773