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Theorem lfgrwlkprop 29540
Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
lfgrwlkprop.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
lfgrwlkprop ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐼,π‘₯   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝑉,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem lfgrwlkprop
StepHypRef Expression
1 wlkv 29465 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2725 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
3 lfgrwlkprop.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
42, 3iswlk 29463 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
6 ifptru 1072 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
76adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
8 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
9 wrdsymbcl 14504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼)
109ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼)
118, 10ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
12 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
1312breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
1413elrab 3676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ↔ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
15 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) = (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
1615breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ 2 ≀ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)})))
17 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V
18 hashsng 14355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V β†’ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) = 1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) = 1
2019breq2i 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≀ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ↔ 2 ≀ 1)
21 1lt2 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
22 1re 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
23 2re 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
2422, 23ltnlei 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 < 2 ↔ Β¬ 2 ≀ 1)
25 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ 2 ≀ 1 β†’ (2 ≀ 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
2624, 25sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 < 2 β†’ (2 ≀ 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
2721, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≀ 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
2820, 27sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ≀ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
2916, 28biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3130adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
3314, 32biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
3411, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3534adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
367, 35sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3736ex 411 . . . . . . . . 9 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
38 neqne 2938 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
4037, 39pm2.61i 182 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
4140ralimdva 3157 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
4241ex 411 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
4342com23 86 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
44433impia 1114 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
455, 44biimtrdi 252 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
4645pm2.43i 52 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
4746imp 405 1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  if-wif 1060   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4599  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273   ≀ cle 11274  2c2 12292  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  β™―chash 14316  Word cword 14491  Vtxcvtx 28848  iEdgciedg 28849  Walkscwlks 29449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-wlks 29452
This theorem is referenced by:  lfgriswlk  29541
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