MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrwlkprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrwlkprop 28677
Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
lfgrwlkprop.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
lfgrwlkprop ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐼,π‘₯   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝑉,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem lfgrwlkprop
StepHypRef Expression
1 wlkv 28602 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
3 lfgrwlkprop.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
42, 3iswlk 28600 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
6 ifptru 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
76adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
8 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
9 wrdsymbcl 14422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼)
109ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼)
118, 10ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
12 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
1312breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
1413elrab 3650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ↔ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
15 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) = (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
1615breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ 2 ≀ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)})))
17 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V
18 hashsng 14276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V β†’ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) = 1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) = 1
2019breq2i 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≀ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ↔ 2 ≀ 1)
21 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
22 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
23 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
2422, 23ltnlei 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 < 2 ↔ Β¬ 2 ≀ 1)
25 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ 2 ≀ 1 β†’ (2 ≀ 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
2624, 25sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 < 2 β†’ (2 ≀ 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
2721, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≀ 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
2820, 27sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ≀ (β™―β€˜{(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
2916, 28syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
3314, 32biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
3411, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3534adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
367, 35sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3736ex 414 . . . . . . . . 9 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
38 neqne 2952 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
4037, 39pm2.61i 182 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
4140ralimdva 3165 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
4241ex 414 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
4342com23 86 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
44433impia 1118 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
455, 44syl6bi 253 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))))
4645pm2.43i 52 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
4746imp 408 1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  if-wif 1062   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197  2c2 12215  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  Walkscwlks 28586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-wlks 28589
This theorem is referenced by:  lfgriswlk  28678
  Copyright terms: Public domain W3C validator