MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrwlkprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrwlkprop 29624
Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
lfgrwlkprop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfgrwlkprop ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlkprop
StepHypRef Expression
1 wlkv 29549 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2726 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 lfgrwlkprop.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
42, 3iswlk 29547 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
6 ifptru 1072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}))
76adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}))
8 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9 wrdsymbcl 14535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
109ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
118, 10ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))))
1312breq2d 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))))
1413elrab 3681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))))
15 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) = (♯‘{(𝑃𝑘)}))
1615breq2d 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ 2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)})))
17 fvex 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃𝑘) ∈ V
18 hashsng 14386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃𝑘) ∈ V → (♯‘{(𝑃𝑘)}) = 1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯‘{(𝑃𝑘)}) = 1
2019breq2i 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)}) ↔ 2 ≤ 1)
21 1lt2 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
22 1re 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
23 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
2422, 23ltnlei 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
25 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2624, 25sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2721, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2820, 27sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)}) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2916, 28biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3130adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
3314, 32biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
3411, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3534adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
367, 35sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3736ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
38 neqne 2938 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4037, 39pm2.61i 182 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4140ralimdva 3157 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4241ex 411 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4342com23 86 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44433impia 1114 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
455, 44biimtrdi 252 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4645pm2.43i 52 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4746imp 405 1 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  if-wif 1060  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3947  𝒫 cpw 4607  {csn 4633  {cpr 4635   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   < clt 11298  cle 11299  2c2 12319  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522  Vtxcvtx 28932  iEdgciedg 28933  Walkscwlks 29533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-wlks 29536
This theorem is referenced by:  lfgriswlk  29625
  Copyright terms: Public domain W3C validator