MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrwlkprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrwlkprop 29705
Description: Two adjacent vertices in a walk are different in a loop-free graph. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
lfgrwlkprop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfgrwlkprop ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlkprop
StepHypRef Expression
1 wlkv 29630 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 lfgrwlkprop.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
42, 3iswlk 29628 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
6 ifptru 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}))
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}))
8 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9 wrdsymbcl 14565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
109ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
118, 10ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))))
1312breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))))
1413elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))))
15 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) = (♯‘{(𝑃𝑘)}))
1615breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ 2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)})))
17 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃𝑘) ∈ V
18 hashsng 14408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃𝑘) ∈ V → (♯‘{(𝑃𝑘)}) = 1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯‘{(𝑃𝑘)}) = 1
2019breq2i 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)}) ↔ 2 ≤ 1)
21 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
22 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
23 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
2422, 23ltnlei 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
25 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2624, 25sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2721, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2820, 27sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ≤ (♯‘{(𝑃𝑘)}) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2916, 28biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑘)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
3314, 32biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
3411, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
367, 35sylbid 240 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3736ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
38 neqne 2948 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4037, 39pm2.61i 182 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4140ralimdva 3167 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4241ex 412 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4342com23 86 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44433impia 1118 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
455, 44biimtrdi 253 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
4645pm2.43i 52 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
4746imp 406 1 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  if-wif 1063  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Walkscwlks 29614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wlks 29617
This theorem is referenced by:  lfgriswlk  29706
  Copyright terms: Public domain W3C validator