MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem5 16279
Description: Lemma for divalg 16285. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
divalglem5.5 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem5 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem5.5 . . . . . 6 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 divalglem0.2 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℤ
4 divalglem1.3 . . . . . . 7 𝐷 ≠ 0
5 divalglem2.4 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16277 . . . . . 6 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
71, 6eqeltri 2834 . . . . 5 𝑅𝑆
8 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑅 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑅))
98breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
10 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
1110breq2d 5117 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1211cbvrabv 3417 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)} = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
135, 12eqtri 2764 . . . . . 6 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
149, 13elrab2 3648 . . . . 5 (𝑅𝑆 ↔ (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
157, 14mpbi 229 . . . 4 (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅))
1615simpli 484 . . 3 𝑅 ∈ ℕ0
1716nn0ge0i 12440 . 2 0 ≤ 𝑅
18 nnabscl 15210 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
193, 4, 18mp2an 690 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
2019nngt0i 12192 . . . . 5 0 < (abs‘𝐷)
21 0re 11157 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
22 zcn 12504 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
233, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℂ
2423abscli 15280 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
2521, 24ltnlei 11276 . . . . 5 (0 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0)
2620, 25mpbi 229 . . . 4 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0
275ssrab3 4040 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℕ0
28 nn0uz 12805 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
2927, 28sseqtri 3980 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
30 nn0abscl 15197 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
313, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
32 nn0sub2 12564 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐷) ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅) → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3331, 16, 32mp3an12 1451 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3415a1i 11 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
35 nn0z 12524 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
36 1z 12533 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
372, 3divalglem0 16275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
3836, 37mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
3924recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
4039mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · (abs‘𝐷)) = (abs‘𝐷)
4140oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))) = (𝑅 − (abs‘𝐷))
4241oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))
4342breq2i 5113 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4438, 43syl6ib 250 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4645imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4734, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
48 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝑁𝑥) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4948breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5049, 13elrab2 3648 . . . . . . . 8 ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5133, 47, 50sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆)
52 infssuzle 12856 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5329, 51, 52sylancr 587 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
541, 53eqbrtrid 5140 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5534simpld 495 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℕ0)
5655nn0red 12474 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℝ)
57 lesub 11634 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
5824, 57mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
5956, 56, 58syl2anc 584 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
6056recnd 11183 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℂ)
6160subidd 11500 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅𝑅) = 0)
6261breq2d 5117 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → ((abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6359, 62bitrd 278 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6454, 63mpbid 231 . . . 4 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (abs‘𝐷) ≤ 0)
6526, 64mto 196 . . 3 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅
6616nn0rei 12424 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ
6766, 24ltnlei 11276 . . 3 (𝑅 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅)
6865, 67mpbir 230 . 2 𝑅 < (abs‘𝐷)
6917, 68pm3.2i 471 1 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  abscabs 15119  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137
This theorem is referenced by:  divalglem9  16283
  Copyright terms: Public domain W3C validator