MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem5 16431
Description: Lemma for divalg 16437. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
divalglem5.5 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem5 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem5.5 . . . . . 6 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 divalglem0.2 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℤ
4 divalglem1.3 . . . . . . 7 𝐷 ≠ 0
5 divalglem2.4 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16429 . . . . . 6 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
71, 6eqeltri 2835 . . . . 5 𝑅𝑆
8 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑅 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑅))
98breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
10 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
1110breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1211cbvrabv 3444 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)} = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
135, 12eqtri 2763 . . . . . 6 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
149, 13elrab2 3698 . . . . 5 (𝑅𝑆 ↔ (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
157, 14mpbi 230 . . . 4 (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅))
1615simpli 483 . . 3 𝑅 ∈ ℕ0
1716nn0ge0i 12551 . 2 0 ≤ 𝑅
18 nnabscl 15361 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
193, 4, 18mp2an 692 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
2019nngt0i 12303 . . . . 5 0 < (abs‘𝐷)
21 0re 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
22 zcn 12616 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
233, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℂ
2423abscli 15431 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
2521, 24ltnlei 11380 . . . . 5 (0 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0)
2620, 25mpbi 230 . . . 4 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0
275ssrab3 4092 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℕ0
28 nn0uz 12918 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
2927, 28sseqtri 4032 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
30 nn0abscl 15348 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
313, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
32 nn0sub2 12677 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐷) ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅) → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3331, 16, 32mp3an12 1450 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3415a1i 11 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
35 nn0z 12636 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
36 1z 12645 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
372, 3divalglem0 16427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
3836, 37mpan2 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
3924recni 11273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
4039mullidi 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · (abs‘𝐷)) = (abs‘𝐷)
4140oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))) = (𝑅 − (abs‘𝐷))
4241oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))
4342breq2i 5156 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4438, 43imbitrdi 251 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4645imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4734, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
48 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝑁𝑥) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4948breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5049, 13elrab2 3698 . . . . . . . 8 ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5133, 47, 50sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆)
52 infssuzle 12971 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5329, 51, 52sylancr 587 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
541, 53eqbrtrid 5183 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5534simpld 494 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℕ0)
5655nn0red 12586 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℝ)
57 lesub 11740 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
5824, 57mp3an3 1449 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
5956, 56, 58syl2anc 584 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
6056recnd 11287 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℂ)
6160subidd 11606 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅𝑅) = 0)
6261breq2d 5160 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → ((abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6359, 62bitrd 279 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6454, 63mpbid 232 . . . 4 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (abs‘𝐷) ≤ 0)
6526, 64mto 197 . . 3 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅
6616nn0rei 12535 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ
6766, 24ltnlei 11380 . . 3 (𝑅 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅)
6865, 67mpbir 231 . 2 𝑅 < (abs‘𝐷)
6917, 68pm3.2i 470 1 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  abscabs 15270  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  divalglem9  16435
  Copyright terms: Public domain W3C validator