Theorem divalglem5 16421

Description: Lemma for divalg 16427. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
divalglem5.5	⊢ 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
divalglem5	⊢ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < (abs‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem5.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2		divalglem0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3		divalglem0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
4		divalglem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ≠ 0
5		divalglem2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
6	2, 3, 4, 5	divalglem2 16419	. . . . . 6 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
7	1, 6	eqeltri 2831	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
8		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − 𝑅))
9	8	breq2d 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
10		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑥))
11	10	breq2d 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)))
12	11	cbvrabv 3431	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)}
13	5, 12	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)}
14	9, 13	elrab2 3679	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
15	7, 14	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))
16	15	simpli 483	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
17	16	nn0ge0i 12533	. 2 ⊢ 0 ≤ 𝑅
18		nnabscl 15349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
19	3, 4, 18	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12284	. . . . 5 ⊢ 0 < (abs‘𝐷)
21		0re 11242	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		zcn 12598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	23	abscli 15419	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
25	21, 24	ltnlei 11361	. . . . 5 ⊢ (0 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0)
26	20, 25	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0
27	5	ssrab3 4062	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0
28		nn0uz 12899	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
29	27, 28	sseqtri 4012	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0)
30		nn0abscl 15336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
32		nn0sub2 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐷) ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅) → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
33	31, 16, 32	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
34	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
35		nn0z 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℤ)
36		1z 12627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
37	2, 3	divalglem0 16417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
38	36, 37	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
39	24	recni 11254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℂ
40	39	mullidi 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · (abs‘𝐷)) = (abs‘𝐷)
41	40	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))) = (𝑅 − (abs‘𝐷))
42	41	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))
43	42	breq2i 5132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
44	38, 43	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
45	35, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
46	45	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
47	34, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
48		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
49	48	breq2d 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
50	49, 13	elrab2 3679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
51	33, 47, 50	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆)
52		infssuzle 12952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
53	29, 51, 52	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
54	1, 53	eqbrtrid 5159	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
55	34	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℕ0)
56	55	nn0red 12568	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℝ)
57		lesub 11721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
58	24, 57	mp3an3 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
59	56, 56, 58	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
60	56	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℂ)
61	60	subidd 11587	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − 𝑅) = 0)
62	61	breq2d 5136	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → ((abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
63	59, 62	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
64	54, 63	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (abs‘𝐷) ≤ 0)
65	26, 64	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅
66	16	nn0rei 12517	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
67	66, 24	ltnlei 11361	. . 3 ⊢ (𝑅 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅)
68	65, 67	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑅 < (abs‘𝐷)
69	17, 68	pm3.2i 470	1 ⊢ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < (abs‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {crab 3420   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  infcinf 9458  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  abscabs 15258   ∥ cdvds 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278

This theorem is referenced by:  divalglem9  16425