Theorem divalglem5 16611

Description: Lemma for divalg 16617. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
divalglem5.5	⊢ 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
divalglem5	⊢ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < (abs‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem5.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2		divalglem0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3		divalglem0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
4		divalglem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ≠ 0
5		divalglem2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
6	2, 3, 4, 5	divalglem2 16609	. . . . . 6 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
7	1, 6	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
8		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − 𝑅))
9	8	breq2d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
10		oveq2 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑥))
11	10	breq2d 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)))
12	11	cbvrabv 3426	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)}
13	5, 12	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)}
14	9, 13	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
15	7, 14	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))
16	15	simpli 489	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
17	16	nn0ge0i 12673	. 2 ⊢ 0 ≤ 𝑅
18		nnabscl 15536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
19	3, 4, 18	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12417	. . . . 5 ⊢ 0 < (abs‘𝐷)
21		0re 11349	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		zcn 12738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	23	abscli 15607	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
25	21, 24	ltnlei 11470	. . . . 5 ⊢ (0 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0)
26	20, 25	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0
27	5	ssrab3 4010	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0
28		nn0uz 13043	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
29	27, 28	sseqtri 3961	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0)
30		nn0abscl 15522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
32		nn0sub2 12800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐷) ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅) → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
33	31, 16, 32	mp3an12 1481	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
34	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
35		nn0z 12757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℤ)
36		1z 12766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
37	2, 3	divalglem0 16607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
38	36, 37	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
39	24	recni 11362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℂ
40	39	mullidi 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · (abs‘𝐷)) = (abs‘𝐷)
41	40	oveq2i 7462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))) = (𝑅 − (abs‘𝐷))
42	41	oveq2i 7462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))
43	42	breq2i 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
44	38, 43	imbitrdi 254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
45	35, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
46	45	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
47	34, 46	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
48		oveq2 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
49	48	breq2d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
50	49, 13	elrab2 3652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
51	33, 47, 50	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆)
52		infssuzle 13098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
53	29, 51, 52	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
54	1, 53	eqbrtrid 5146	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
55	34	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℕ0)
56	55	nn0red 12708	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℝ)
57		lesub 11835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
58	24, 57	mp3an3 1480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
59	56, 56, 58	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
60	56	recnd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℂ)
61	60	subidd 11696	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − 𝑅) = 0)
62	61	breq2d 5120	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → ((abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
63	59, 62	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
64	54, 63	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (abs‘𝐷) ≤ 0)
65	26, 64	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅
66	16	nn0rei 12657	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
67	66, 24	ltnlei 11470	. . 3 ⊢ (𝑅 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅)
68	65, 67	mpbir 234	. 2 ⊢ 𝑅 < (abs‘𝐷)
69	17, 68	pm3.2i 476	1 ⊢ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < (abs‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  infcinf 9470  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  abscabs 15444   ∥ cdvds 16466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467

This theorem is used by:  divalglem9  16615