MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem5 16347
Description: Lemma for divalg 16353. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
divalglem5.5 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem5 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem5.5 . . . . . 6 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 divalglem0.2 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℤ
4 divalglem1.3 . . . . . . 7 𝐷 ≠ 0
5 divalglem2.4 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16345 . . . . . 6 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
71, 6eqeltri 2828 . . . . 5 𝑅𝑆
8 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑅 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑅))
98breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
10 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
1110breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1211cbvrabv 3441 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)} = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
135, 12eqtri 2759 . . . . . 6 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
149, 13elrab2 3686 . . . . 5 (𝑅𝑆 ↔ (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
157, 14mpbi 229 . . . 4 (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅))
1615simpli 483 . . 3 𝑅 ∈ ℕ0
1716nn0ge0i 12506 . 2 0 ≤ 𝑅
18 nnabscl 15279 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
193, 4, 18mp2an 689 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
2019nngt0i 12258 . . . . 5 0 < (abs‘𝐷)
21 0re 11223 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
22 zcn 12570 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
233, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℂ
2423abscli 15349 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
2521, 24ltnlei 11342 . . . . 5 (0 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0)
2620, 25mpbi 229 . . . 4 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0
275ssrab3 4080 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℕ0
28 nn0uz 12871 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
2927, 28sseqtri 4018 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
30 nn0abscl 15266 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
313, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
32 nn0sub2 12630 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐷) ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅) → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3331, 16, 32mp3an12 1450 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3415a1i 11 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
35 nn0z 12590 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
36 1z 12599 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
372, 3divalglem0 16343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
3836, 37mpan2 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
3924recni 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
4039mullidi 11226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · (abs‘𝐷)) = (abs‘𝐷)
4140oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))) = (𝑅 − (abs‘𝐷))
4241oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))
4342breq2i 5156 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4438, 43imbitrdi 250 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4645imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4734, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
48 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝑁𝑥) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4948breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5049, 13elrab2 3686 . . . . . . . 8 ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5133, 47, 50sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆)
52 infssuzle 12922 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5329, 51, 52sylancr 586 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
541, 53eqbrtrid 5183 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5534simpld 494 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℕ0)
5655nn0red 12540 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℝ)
57 lesub 11700 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
5824, 57mp3an3 1449 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
5956, 56, 58syl2anc 583 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
6056recnd 11249 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℂ)
6160subidd 11566 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅𝑅) = 0)
6261breq2d 5160 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → ((abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6359, 62bitrd 279 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6454, 63mpbid 231 . . . 4 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (abs‘𝐷) ≤ 0)
6526, 64mto 196 . . 3 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅
6616nn0rei 12490 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ
6766, 24ltnlei 11342 . . 3 (𝑅 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅)
6865, 67mpbir 230 . 2 𝑅 < (abs‘𝐷)
6917, 68pm3.2i 470 1 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  {crab 3431  wss 3948   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  infcinf 9442  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  cn 12219  0cn0 12479  cz 12565  cuz 12829  abscabs 15188  cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  divalglem9  16351
  Copyright terms: Public domain W3C validator