MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem5 16340
Description: Lemma for divalg 16346. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem0.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem1.3 ๐ท โ‰  0
divalglem2.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
divalglem5.5 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem5 (0 โ‰ค ๐‘… โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ÿ)   ๐‘†(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem divalglem5
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem5.5 . . . . . 6 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 ๐‘ โˆˆ โ„ค
3 divalglem0.2 . . . . . . 7 ๐ท โˆˆ โ„ค
4 divalglem1.3 . . . . . . 7 ๐ท โ‰  0
5 divalglem2.4 . . . . . . 7 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16338 . . . . . 6 inf(๐‘†, โ„, < ) โˆˆ ๐‘†
71, 6eqeltri 2830 . . . . 5 ๐‘… โˆˆ ๐‘†
8 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘… โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…))
98breq2d 5161 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘… โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
10 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
1110breq2d 5161 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1211cbvrabv 3443 . . . . . . 7 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)}
135, 12eqtri 2761 . . . . . 6 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)}
149, 13elrab2 3687 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
157, 14mpbi 229 . . . 4 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))
1615simpli 485 . . 3 ๐‘… โˆˆ โ„•0
1716nn0ge0i 12499 . 2 0 โ‰ค ๐‘…
18 nnabscl 15272 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
193, 4, 18mp2an 691 . . . . . 6 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
2019nngt0i 12251 . . . . 5 0 < (absโ€˜๐ท)
21 0re 11216 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
22 zcn 12563 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
233, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 ๐ท โˆˆ โ„‚
2423abscli 15342 . . . . . 6 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„
2521, 24ltnlei 11335 . . . . 5 (0 < (absโ€˜๐ท) โ†” ยฌ (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0)
2620, 25mpbi 229 . . . 4 ยฌ (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0
275ssrab3 4081 . . . . . . . 8 ๐‘† โŠ† โ„•0
28 nn0uz 12864 . . . . . . . 8 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2927, 28sseqtri 4019 . . . . . . 7 ๐‘† โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
30 nn0abscl 15259 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•0)
313, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•0
32 nn0sub2 12623 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง (absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘…) โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„•0)
3331, 16, 32mp3an12 1452 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„•0)
3415a1i 11 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
35 nn0z 12583 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
36 1z 12592 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„ค
372, 3divalglem0 16336 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท))))))
3836, 37mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท))))))
3924recni 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚
4039mullidi 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ยท (absโ€˜๐ท)) = (absโ€˜๐ท)
4140oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท))) = (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))
4241oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))
4342breq2i 5157 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท)))) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))))
4438, 43imbitrdi 250 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))))
4645imp 408 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))))
4734, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))))
48 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))))
4948breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))))
5049, 13elrab2 3687 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))))
5133, 47, 50sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ ๐‘†)
52 infssuzle 12915 . . . . . . 7 ((๐‘† โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆง (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ ๐‘†) โ†’ inf(๐‘†, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))
5329, 51, 52sylancr 588 . . . . . 6 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ inf(๐‘†, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))
541, 53eqbrtrid 5184 . . . . 5 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))
5534simpld 496 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
5655nn0red 12533 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
57 lesub 11693 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค (๐‘… โˆ’ ๐‘…)))
5824, 57mp3an3 1451 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค (๐‘… โˆ’ ๐‘…)))
5956, 56, 58syl2anc 585 . . . . . 6 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค (๐‘… โˆ’ ๐‘…)))
6056recnd 11242 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
6160subidd 11559 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆ’ ๐‘…) = 0)
6261breq2d 5161 . . . . . 6 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ((absโ€˜๐ท) โ‰ค (๐‘… โˆ’ ๐‘…) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0))
6359, 62bitrd 279 . . . . 5 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0))
6454, 63mpbid 231 . . . 4 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0)
6526, 64mto 196 . . 3 ยฌ (absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘…
6616nn0rei 12483 . . . 4 ๐‘… โˆˆ โ„
6766, 24ltnlei 11335 . . 3 (๐‘… < (absโ€˜๐ท) โ†” ยฌ (absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘…)
6865, 67mpbir 230 . 2 ๐‘… < (absโ€˜๐ท)
6917, 68pm3.2i 472 1 (0 โ‰ค ๐‘… โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  {crab 3433   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  abscabs 15181   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198
This theorem is referenced by:  divalglem9  16344
  Copyright terms: Public domain W3C validator