Theorem divalglem5 16357

Description: Lemma for divalg 16363. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
divalglem5.5	⊢ 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
divalglem5	⊢ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < (abs‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem5.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2		divalglem0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3		divalglem0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
4		divalglem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ≠ 0
5		divalglem2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
6	2, 3, 4, 5	divalglem2 16355	. . . . . 6 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
7	1, 6	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
8		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − 𝑅))
9	8	breq2d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
10		oveq2 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑥))
11	10	breq2d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)))
12	11	cbvrabv 3401	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)}
13	5, 12	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)}
14	9, 13	elrab2 3632	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
15	7, 14	mpbi 231	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))
16	15	simpli 484	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
17	16	nn0ge0i 12455	. 2 ⊢ 0 ≤ 𝑅
18		nnabscl 15279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
19	3, 4, 18	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12207	. . . . 5 ⊢ 0 < (abs‘𝐷)
21		0re 11137	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		zcn 12520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	23	abscli 15349	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
25	21, 24	ltnlei 11258	. . . . 5 ⊢ (0 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0)
26	20, 25	mpbi 231	. . . 4 ⊢ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0
27	5	ssrab3 4013	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0
28		nn0uz 12817	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
29	27, 28	sseqtri 3963	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0)
30		nn0abscl 15265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
32		nn0sub2 12581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐷) ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅) → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
33	31, 16, 32	mp3an12 1459	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
34	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
35		nn0z 12539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℤ)
36		1z 12548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
37	2, 3	divalglem0 16353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
38	36, 37	mpan2 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
39	24	recni 11150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℂ
40	39	mullidi 11141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · (abs‘𝐷)) = (abs‘𝐷)
41	40	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))) = (𝑅 − (abs‘𝐷))
42	41	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))
43	42	breq2i 5080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
44	38, 43	imbitrdi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
45	35, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
46	45	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
47	34, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
48		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
49	48	breq2d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
50	49, 13	elrab2 3632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
51	33, 47, 50	sylanbrc 589	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆)
52		infssuzle 12872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
53	29, 51, 52	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
54	1, 53	eqbrtrid 5107	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
55	34	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℕ0)
56	55	nn0red 12490	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℝ)
57		lesub 11620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
58	24, 57	mp3an3 1458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
59	56, 56, 58	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
60	56	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℂ)
61	60	subidd 11484	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − 𝑅) = 0)
62	61	breq2d 5084	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → ((abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
63	59, 62	bitrd 280	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
64	54, 63	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (abs‘𝐷) ≤ 0)
65	26, 64	mto 198	. . 3 ⊢ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅
66	16	nn0rei 12439	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
67	66, 24	ltnlei 11258	. . 3 ⊢ (𝑅 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅)
68	65, 67	mpbir 232	. 2 ⊢ 𝑅 < (abs‘𝐷)
69	17, 68	pm3.2i 471	1 ⊢ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < (abs‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  infcinf 9344  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  abscabs 15187   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  divalglem9  16361