MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem5 16342
Description: Lemma for divalg 16348. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem0.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem1.3 ๐ท โ‰  0
divalglem2.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
divalglem5.5 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem5 (0 โ‰ค ๐‘… โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ÿ)   ๐‘†(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem divalglem5
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem5.5 . . . . . 6 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 ๐‘ โˆˆ โ„ค
3 divalglem0.2 . . . . . . 7 ๐ท โˆˆ โ„ค
4 divalglem1.3 . . . . . . 7 ๐ท โ‰  0
5 divalglem2.4 . . . . . . 7 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16340 . . . . . 6 inf(๐‘†, โ„, < ) โˆˆ ๐‘†
71, 6eqeltri 2829 . . . . 5 ๐‘… โˆˆ ๐‘†
8 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘… โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…))
98breq2d 5160 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘… โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
10 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
1110breq2d 5160 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1211cbvrabv 3442 . . . . . . 7 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)}
135, 12eqtri 2760 . . . . . 6 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)}
149, 13elrab2 3686 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
157, 14mpbi 229 . . . 4 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))
1615simpli 484 . . 3 ๐‘… โˆˆ โ„•0
1716nn0ge0i 12501 . 2 0 โ‰ค ๐‘…
18 nnabscl 15274 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
193, 4, 18mp2an 690 . . . . . 6 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
2019nngt0i 12253 . . . . 5 0 < (absโ€˜๐ท)
21 0re 11218 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
22 zcn 12565 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
233, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 ๐ท โˆˆ โ„‚
2423abscli 15344 . . . . . 6 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„
2521, 24ltnlei 11337 . . . . 5 (0 < (absโ€˜๐ท) โ†” ยฌ (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0)
2620, 25mpbi 229 . . . 4 ยฌ (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0
275ssrab3 4080 . . . . . . . 8 ๐‘† โŠ† โ„•0
28 nn0uz 12866 . . . . . . . 8 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2927, 28sseqtri 4018 . . . . . . 7 ๐‘† โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
30 nn0abscl 15261 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•0)
313, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•0
32 nn0sub2 12625 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง (absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘…) โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„•0)
3331, 16, 32mp3an12 1451 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„•0)
3415a1i 11 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
35 nn0z 12585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
36 1z 12594 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„ค
372, 3divalglem0 16338 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท))))))
3836, 37mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท))))))
3924recni 11230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚
4039mullidi 11221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ยท (absโ€˜๐ท)) = (absโ€˜๐ท)
4140oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท))) = (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))
4241oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))
4342breq2i 5156 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (1 ยท (absโ€˜๐ท)))) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))))
4438, 43imbitrdi 250 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))))
4645imp 407 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))))
4734, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))))
48 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท))))
4948breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))))
5049, 13elrab2 3686 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))))
5133, 47, 50sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ ๐‘†)
52 infssuzle 12917 . . . . . . 7 ((๐‘† โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆง (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โˆˆ ๐‘†) โ†’ inf(๐‘†, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))
5329, 51, 52sylancr 587 . . . . . 6 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ inf(๐‘†, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))
541, 53eqbrtrid 5183 . . . . 5 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)))
5534simpld 495 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
5655nn0red 12535 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
57 lesub 11695 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค (๐‘… โˆ’ ๐‘…)))
5824, 57mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค (๐‘… โˆ’ ๐‘…)))
5956, 56, 58syl2anc 584 . . . . . 6 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค (๐‘… โˆ’ ๐‘…)))
6056recnd 11244 . . . . . . . 8 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
6160subidd 11561 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆ’ ๐‘…) = 0)
6261breq2d 5160 . . . . . 6 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ ((absโ€˜๐ท) โ‰ค (๐‘… โˆ’ ๐‘…) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0))
6359, 62bitrd 278 . . . . 5 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… โˆ’ (absโ€˜๐ท)) โ†” (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0))
6454, 63mpbid 231 . . . 4 ((absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘… โ†’ (absโ€˜๐ท) โ‰ค 0)
6526, 64mto 196 . . 3 ยฌ (absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘…
6616nn0rei 12485 . . . 4 ๐‘… โˆˆ โ„
6766, 24ltnlei 11337 . . 3 (๐‘… < (absโ€˜๐ท) โ†” ยฌ (absโ€˜๐ท) โ‰ค ๐‘…)
6865, 67mpbir 230 . 2 ๐‘… < (absโ€˜๐ท)
6917, 68pm3.2i 471 1 (0 โ‰ค ๐‘… โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  {crab 3432   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  abscabs 15183   โˆฅ cdvds 16199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200
This theorem is referenced by:  divalglem9  16346
  Copyright terms: Public domain W3C validator