MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem5 16434
Description: Lemma for divalg 16440. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
divalglem5.5 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem5 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem5.5 . . . . . 6 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 divalglem0.2 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℤ
4 divalglem1.3 . . . . . . 7 𝐷 ≠ 0
5 divalglem2.4 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16432 . . . . . 6 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
71, 6eqeltri 2837 . . . . 5 𝑅𝑆
8 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑅 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑅))
98breq2d 5155 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
10 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
1110breq2d 5155 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1211cbvrabv 3447 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)} = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
135, 12eqtri 2765 . . . . . 6 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)}
149, 13elrab2 3695 . . . . 5 (𝑅𝑆 ↔ (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
157, 14mpbi 230 . . . 4 (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅))
1615simpli 483 . . 3 𝑅 ∈ ℕ0
1716nn0ge0i 12553 . 2 0 ≤ 𝑅
18 nnabscl 15364 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
193, 4, 18mp2an 692 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
2019nngt0i 12305 . . . . 5 0 < (abs‘𝐷)
21 0re 11263 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
22 zcn 12618 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
233, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℂ
2423abscli 15434 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
2521, 24ltnlei 11382 . . . . 5 (0 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0)
2620, 25mpbi 230 . . . 4 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0
275ssrab3 4082 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℕ0
28 nn0uz 12920 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
2927, 28sseqtri 4032 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
30 nn0abscl 15351 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
313, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
32 nn0sub2 12679 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐷) ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅) → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3331, 16, 32mp3an12 1453 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
3415a1i 11 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
35 nn0z 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
36 1z 12647 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
372, 3divalglem0 16430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
3836, 37mpan2 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
3924recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
4039mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · (abs‘𝐷)) = (abs‘𝐷)
4140oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))) = (𝑅 − (abs‘𝐷))
4241oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))
4342breq2i 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4438, 43imbitrdi 251 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
4645imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑅)) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4734, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
48 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝑁𝑥) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
4948breq2d 5155 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5049, 13elrab2 3695 . . . . . . . 8 ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
5133, 47, 50sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆)
52 infssuzle 12973 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5329, 51, 52sylancr 587 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
541, 53eqbrtrid 5178 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
5534simpld 494 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℕ0)
5655nn0red 12588 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℝ)
57 lesub 11742 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
5824, 57mp3an3 1452 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
5956, 56, 58syl2anc 584 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅)))
6056recnd 11289 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℂ)
6160subidd 11608 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅𝑅) = 0)
6261breq2d 5155 . . . . . 6 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → ((abs‘𝐷) ≤ (𝑅𝑅) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6359, 62bitrd 279 . . . . 5 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
6454, 63mpbid 232 . . . 4 ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (abs‘𝐷) ≤ 0)
6526, 64mto 197 . . 3 ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅
6616nn0rei 12537 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ
6766, 24ltnlei 11382 . . 3 (𝑅 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅)
6865, 67mpbir 231 . 2 𝑅 < (abs‘𝐷)
6917, 68pm3.2i 470 1 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  abscabs 15273  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  divalglem9  16438
  Copyright terms: Public domain W3C validator