Theorem divalglem5 16343

Description: Lemma for divalg 16349. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
divalglem5.5	⊢ 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
divalglem5	⊢ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < (abs‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem5.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2		divalglem0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3		divalglem0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
4		divalglem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ≠ 0
5		divalglem2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
6	2, 3, 4, 5	divalglem2 16341	. . . . . 6 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
7	1, 6	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
8		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − 𝑅))
9	8	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
10		oveq2 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑥))
11	10	breq2d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)))
12	11	cbvrabv 3413	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)}
13	5, 12	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)}
14	9, 13	elrab2 3659	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑆 ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
15	7, 14	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))
16	15	simpli 483	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
17	16	nn0ge0i 12445	. 2 ⊢ 0 ≤ 𝑅
18		nnabscl 15268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
19	3, 4, 18	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12201	. . . . 5 ⊢ 0 < (abs‘𝐷)
21		0re 11152	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		zcn 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	23	abscli 15338	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
25	21, 24	ltnlei 11271	. . . . 5 ⊢ (0 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0)
26	20, 25	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 0
27	5	ssrab3 4041	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0
28		nn0uz 12811	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
29	27, 28	sseqtri 3992	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0)
30		nn0abscl 15254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
32		nn0sub2 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐷) ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅) → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
33	31, 16, 32	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0)
34	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
35		nn0z 12530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℤ)
36		1z 12539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
37	2, 3	divalglem0 16339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
38	36, 37	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))))))
39	24	recni 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℂ
40	39	mullidi 11155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · (abs‘𝐷)) = (abs‘𝐷)
41	40	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷))) = (𝑅 − (abs‘𝐷))
42	41	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))
43	42	breq2i 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (1 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
44	38, 43	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
45	35, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
46	45	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
47	34, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
48		oveq2 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷))))
49	48	breq2d 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑅 − (abs‘𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
50	49, 13	elrab2 3659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (abs‘𝐷)))))
51	33, 47, 50	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆)
52		infssuzle 12866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
53	29, 51, 52	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
54	1, 53	eqbrtrid 5137	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)))
55	34	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℕ0)
56	55	nn0red 12480	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℝ)
57		lesub 11633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
58	24, 57	mp3an3 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
59	56, 56, 58	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅)))
60	56	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → 𝑅 ∈ ℂ)
61	60	subidd 11497	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 − 𝑅) = 0)
62	61	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → ((abs‘𝐷) ≤ (𝑅 − 𝑅) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
63	59, 62	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (𝑅 ≤ (𝑅 − (abs‘𝐷)) ↔ (abs‘𝐷) ≤ 0))
64	54, 63	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐷) ≤ 𝑅 → (abs‘𝐷) ≤ 0)
65	26, 64	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅
66	16	nn0rei 12429	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
67	66, 24	ltnlei 11271	. . 3 ⊢ (𝑅 < (abs‘𝐷) ↔ ¬ (abs‘𝐷) ≤ 𝑅)
68	65, 67	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑅 < (abs‘𝐷)
69	17, 68	pm3.2i 470	1 ⊢ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < (abs‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  infcinf 9368  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  abscabs 15176   ∥ cdvds 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199

This theorem is referenced by:  divalglem9  16347