Theorem fzpreddisj 13631

Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzpreddisj	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzpreddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4155	. 2 ⊢ ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀})
2		0lt1 11763	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
3		0re 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	3, 4	ltnlei 11358	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
6	2, 5	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
7		eluzel2 12895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zred 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
9		leaddle0 11756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
10	8, 4, 9	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
11	6, 10	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
12	11	intnanrd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
13	12	intnand 494	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
14		elfz2 13571	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
15	13, 14	sylnibr 332	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
16		disjsn 4672	. . 3 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
17	15, 16	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13564

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565

This theorem is used by:  gsummptfzsplitl  20063  cyclnumvtx  30270  gsummptfzsplitla  33502  chtvalz  35140