Theorem fzpreddisj 13476

Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzpreddisj	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzpreddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4160	. 2 ⊢ ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀})
2		0lt1 11642	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
3		0re 11117	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	3, 4	ltnlei 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
6	2, 5	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
7		eluzel2 12740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zred 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
9		leaddle0 11635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
10	8, 4, 9	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
11	6, 10	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
12	11	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
13	12	intnand 488	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
14		elfz2 13417	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
15	13, 14	sylnibr 329	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
16		disjsn 4663	. . 3 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
17	15, 16	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902  ∅c0 4284  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  gsummptfzsplitl  19812  cyclnumvtx  29745  chtvalz  34597