MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzpreddisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzpreddisj 13580
Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzpreddisj (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzpreddisj
StepHypRef Expression
1 incom 4195 . 2 ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀})
2 0lt1 11764 . . . . . . . 8 0 < 1
3 0re 11244 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
4 1re 11242 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
53, 4ltnlei 11363 . . . . . . . 8 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
62, 5mpbi 229 . . . . . . 7 ¬ 1 ≤ 0
7 eluzel2 12855 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
87zred 12694 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
9 leaddle0 11757 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
108, 4, 9sylancl 584 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
116, 10mtbiri 326 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
1211intnanrd 488 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑁))
1312intnand 487 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑁)))
14 elfz2 13521 . . . 4 (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑁)))
1513, 14sylnibr 328 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
16 disjsn 4711 . . 3 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
1715, 16sylibr 233 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
181, 17eqtrid 2777 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3939  c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5143  cfv 6542  (class class class)co 7415  cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276  cle 11277  cz 12586  cuz 12850  ...cfz 13514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515
This theorem is referenced by:  gsummptfzsplitl  19890  chtvalz  34317
  Copyright terms: Public domain W3C validator