MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzpreddisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzpreddisj 13491
Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzpreddisj (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzpreddisj
StepHypRef Expression
1 incom 4162 . 2 ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀})
2 0lt1 11678 . . . . . . . 8 0 < 1
3 0re 11158 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
4 1re 11156 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
53, 4ltnlei 11277 . . . . . . . 8 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
62, 5mpbi 229 . . . . . . 7 ¬ 1 ≤ 0
7 eluzel2 12769 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
87zred 12608 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
9 leaddle0 11671 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
108, 4, 9sylancl 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
116, 10mtbiri 327 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
1211intnanrd 491 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑁))
1312intnand 490 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑁)))
14 elfz2 13432 . . . 4 (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑁)))
1513, 14sylnibr 329 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
16 disjsn 4673 . . 3 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
1715, 16sylibr 233 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
181, 17eqtrid 2789 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3910  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190  cle 11191  cz 12500  cuz 12764  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  gsummptfzsplitl  19711  chtvalz  33245
  Copyright terms: Public domain W3C validator