Theorem jm2.23 43537

Description: Lemma for jm2.20nn 43538. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.23	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem jm2.23

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13982	. . . . . 6 ⊢ (3...𝐽) ∈ Fin
2		ssrab2 4033	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)
3		ssfi 9137	. . . . . 6 ⊢ (((3...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
6		nnnn0 12485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℕ0)
7	6	3ad2ant3 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8	2	sseli 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
9		elfzelz 13526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
11		bccl 14332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
12	7, 10, 11	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12590	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℤ)
14		simpl1 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
15		simpl2 1205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		frmx 43454	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
17	16	fovcl 7520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
18	14, 15, 17	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
20	8	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
21		fznn0sub 13558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
23		zexpcl 14086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℤ)
24	19, 22, 23	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℤ)
25		rmspecnonsq 43448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
26	25	eldifad 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
28	27	3ad2ant1 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
29		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 𝑎))
30	29	notbid 320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑎))
31	30	elrab 3650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
32	31	simprbi 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
33		1zzd 12599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
34		n2dvds1 16385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
36		omoe 16381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑎 − 1))
37	10, 32, 33, 35, 36	syl22anc 849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
38		2z 12600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
40		2ne0 12321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
42		peano2zm 12611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
43	10, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
44		dvdsval2 16272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑎 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
45	39, 41, 43, 44	syl3anc 1389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
46	37, 45	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
47	43	zred 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
48		0red 11181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ∈ ℝ)
49		3re 12295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℝ)
51	9	zred 12674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℝ)
52		3pos 12323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 3)
54		elfzle1 13529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 𝑎)
55	48, 50, 51, 53, 54	ltletrd 11340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 𝑎)
56		elnnz 12575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
57	9, 55, 56	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ)
58		nnm1nn0 12519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
60	59	nn0ge0d 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 1))
61	8, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
62		2re 12289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
64		2pos 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
66		divge0 12058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
67	47, 61, 63, 65, 66	syl22anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
68		elnn0z 12578	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2)))
69	46, 67, 68	sylanbrc 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
70		zexpcl 14086	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
71	28, 69, 70	syl2an 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
72		frmy 43455	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
73	72	fovcl 7520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
74	14, 15, 73	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
75		elfzel1 13525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℤ)
76	9, 75	zsubcld 12679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℤ)
77		subge0 11697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
78	51, 49, 77	sylancl 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
79	54, 78	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 3))
80		elnn0z 12578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 − 3) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 3) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 3)))
81	76, 79, 80	sylanbrc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
82	8, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
83	82	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
84		zexpcl 14086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
85	74, 83, 84	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
86	71, 85	zmulcld 12680	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℤ)
87	24, 86	zmulcld 12680	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℤ)
88	13, 87	zmulcld 12680	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
89	5, 88	fsumzcl 15745	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
90	73	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
91		3nn0 12496	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
92		zexpcl 14086	. . . 4 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
93	90, 91, 92	sylancl 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
94		dvdsmul2 16295	. . 3 ⊢ ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
95	89, 93, 94	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
96		jm2.22 43536	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
97	6, 96	syl3an3 1177	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
98		1lt3 12390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 3
99		1re 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
100	99, 49	ltnlei 11301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 1)
101	98, 100	mpbi 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 3 ≤ 1
102		elfzle1 13529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 1)
103	101, 102	mto 199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ (3...𝐽)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ (3...𝐽))
105	104	intnanrd 493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
106		breq2 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 1 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 1))
107	106	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
108	107	elrab 3650	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
109	105, 108	sylnibr 331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
110		disjsn 4669	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
111	109, 110	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅)
112		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → 𝑎 = 1)
113	112	olcd 885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
114		3z 12601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ∈ ℤ)
116		nnz 12586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
117	116	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℤ)
118	117	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
119		elfzelz 13526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
120	119	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℤ)
121	120	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℤ)
122		elfznn0 13622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ0)
123	122	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
124	123	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℕ0)
125		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
126		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ≠ 1)
127		elnn1uz2 12923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)))
128		df-ne 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑎 = 1)
129	128	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ≠ 1 → ¬ 𝑎 = 1)
130	129	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → ¬ 𝑎 = 1)
131	130	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 = 1 → 3 ≤ 𝑎))
132	131	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 1) → 3 ≤ 𝑎)
133		uzp1 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
134		1z 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℤ
135		dvdsmul1 16294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 1))
136	38, 134, 135	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∥ (2 · 1)
137		2t1e2 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · 1) = 2
138	136, 137	breqtri 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∥ 2
139		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 2 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
140	139	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
141	138, 140	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 2 ∥ 𝑎)
142		simpl2 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
143	141, 142	pm2.21dd 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 3 ≤ 𝑎)
144		eluzle 12849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑎)
145		2p1e3 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 + 1) = 3
146	145	fveq2i 6866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
147	144, 146	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → 3 ≤ 𝑎)
148	147	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → 3 ≤ 𝑎)
149	143, 148	jaodan 970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))) → 3 ≤ 𝑎)
150	133, 149	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → 3 ≤ 𝑎)
151	132, 150	jaodan 970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2))) → 3 ≤ 𝑎)
152	127, 151	sylan2b 603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 3 ≤ 𝑎)
153		dvds0 16288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
154	38, 153	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∥ 0
155		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 0 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 0))
156	154, 155	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎)
157	156	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 2 ∥ 𝑎)
158		simpl2 1205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
159	157, 158	pm2.21dd 197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 3 ≤ 𝑎)
160		elnn0 12480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
161	160	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
162	161	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
163	152, 159, 162	mpjaodan 971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
164	124, 125, 126, 163	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
165		elfzle2 13530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ≤ 𝐽)
166	165	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝐽)
167	166	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ≤ 𝐽)
168	115, 118, 121, 164, 167	elfzd 13517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
169	168, 125	jca 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
170	169	orcd 884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
171	113, 170	pm2.61dane 3043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
172		nn0uz 12874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
173	91, 172	eleqtri 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
174		fzss1 13565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽))
175	173, 174	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽)
176	175	sseli 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
177	176	anim1i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
178	177	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
179		0zd 12577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ∈ ℤ)
180	117	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
181		1zzd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ ℤ)
182		0le1 11707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ≤ 1)
184		nnge1 12238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
185	184	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐽)
186	185	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ≤ 𝐽)
187	179, 180, 181, 183, 186	elfzd 13517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ (0...𝐽))
188	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
189		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ↔ 1 ∈ (0...𝐽)))
190		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 1))
191	190	notbid 320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑎 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
192	189, 191	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
193	192	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
194	187, 188, 193	mpbir2and 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
195	178, 194	jaodan 970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
196	171, 195	impbida 810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)))
197	30	elrab 3650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
198		elun 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}))
199		velsn 4597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {1} ↔ 𝑎 = 1)
200	31, 199	orbi12i 925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
201	198, 200	bitri 277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
202	196, 197, 201	3bitr4g 316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ 𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1})))
203	202	eqrdv 2759	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} = ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}))
204		fzfi 13982	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝐽) ∈ Fin
205		ssrab2 4033	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)
206		ssfi 9137	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
207	204, 205, 206	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
208	207	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
209	205	sseli 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
210	209, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
211	7, 210, 11	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
212	211	nn0cnd 12541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
213	17	3adant3 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
214	213	nn0cnd 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
215	214	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
216	209	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
217		fznn0sub 13558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
218	216, 217	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
219	215, 218	expcld 14156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℂ)
220	90	zcnd 12675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
221	209, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ0)
222		expcl 14089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
223	220, 221, 222	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
224		rmspecpos 43457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
225	224	rpcnd 13036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
226	225	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
227	197	simprbi 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
228		1zzd 12599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
229	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
230	210, 227, 228, 229, 36	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
231	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
232	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
233	210, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
234	231, 232, 233, 44	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
235	230, 234	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
236	233	zred 12674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
237	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎))
238	237	con3dimp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → ¬ 𝑎 = 0)
239	197, 238	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 𝑎 = 0)
240	221, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
241		orel2 901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℕ))
242	239, 240, 241	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ)
243	242, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
244	243	nn0ge0d 12542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
245	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
246	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
247	236, 244, 245, 246, 66	syl22anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
248	235, 247, 68	sylanbrc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
249		expcl 14089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
250	226, 248, 249	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
251	223, 250	mulcld 11199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
252	219, 251	mulcld 11199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
253	212, 252	mulcld 11199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
254	111, 203, 208, 253	fsumsplit 15751	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))))
255		expcl 14089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
256	220, 91, 255	sylancl 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
257	88	zcnd 12675	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
258	5, 256, 257	fsummulc1 15795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
259	12	nn0cnd 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
260	214	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
261	260, 22	expcld 14156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℂ)
262	226, 69, 249	syl2an 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
263		expcl 14089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
264	220, 82, 263	syl2an 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
265	262, 264	mulcld 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℂ)
266	261, 265	mulcld 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℂ)
267	256	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
268	259, 266, 267	mulassd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
269	261, 265, 267	mulassd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
270	262, 264, 267	mulassd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
271	264, 267	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
272	262, 271	mulcomd 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
273	220	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
274	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 3 ∈ ℕ0)
275	273, 274, 83	expaddd 14158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
276	10	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℤ)
277	276	zcnd 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℂ)
278		3cn 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℂ
279		npcan 11436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
280	277, 278, 279	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
281	280	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
282	275, 281	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
283	282	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
284	270, 272, 283	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
285	284	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
286	269, 285	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
287	286	oveq2d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
288	268, 287	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
289	288	sumeq2dv 15712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
290	258, 289	eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
291		1nn 12218	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
292		bccl 14332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
293	6, 134, 292	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
294	293	nn0cnd 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℂ)
295	294	3ad2ant3 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) ∈ ℂ)
296		nnm1nn0 12519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
297	296	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
298	214, 297	expcld 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) ∈ ℂ)
299		1nn0 12494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
300		expcl 14089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
301	220, 299, 300	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
302		1m1e0 12287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 1) = 0
303	302	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
304		2cn 12290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
305	304, 40	div0i 11922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 / 2) = 0
306	303, 305	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 − 1) / 2) = 0
307		0nn0 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
308	306, 307	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
309		expcl 14089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
310	226, 308, 309	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
311	301, 310	mulcld 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
312	298, 311	mulcld 11199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
313	295, 312	mulcld 11199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
314		oveq2 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐽C𝑎) = (𝐽C1))
315		oveq2 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐽 − 𝑎) = (𝐽 − 1))
316	315	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)))
317		oveq2 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1))
318		oveq1 7399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
319	318	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
320	319	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))
321	317, 320	oveq12d 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
322	316, 321	oveq12d 7410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
323	314, 322	oveq12d 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
324	323	sumsn 15756	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
325	291, 313, 324	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
326	290, 325	oveq12d 7410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
327	97, 254, 326	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
328		bcn1 14323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽C1) = 𝐽)
329	7, 328	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) = 𝐽)
330	329	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝐽C1))
331	220	exp1d 14151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
332	306	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((1 − 1) / 2) = 0)
333	332	oveq2d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑0))
334	226	exp0d 14150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑0) = 1)
335	333, 334	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = 1)
336	331, 335	oveq12d 7410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
337	220	mulridd 11196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
338	336, 337	eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
339	338	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
340	330, 339	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
341	327, 340	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
342	5, 257	fsumcl 15743	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
343	342, 256	mulcld 11199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
344	343, 313	pncand 11540	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
345	341, 344	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
346	95, 345	breqtrrd 5127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3413   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509  ↑cexp 14071  Ccbc 14312  Σcsu 15696   ∥ cdvds 16269  ◻_NNcsquarenn 43377   X_rm crmx 43441   Y_rm crmy 43442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-numer 16753  df-denom 16754  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-squarenn 43382  df-pell1qr 43383  df-pell14qr 43384  df-pell1234qr 43385  df-pellfund 43386  df-rmx 43443  df-rmy 43444

This theorem is referenced by:  jm2.20nn  43538