Theorem jm2.23 43114

Description: Lemma for jm2.20nn 43115. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.23	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem jm2.23

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13881	. . . . . 6 ⊢ (3...𝐽) ∈ Fin
2		ssrab2 4029	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)
3		ssfi 9089	. . . . . 6 ⊢ (((3...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
6		nnnn0 12395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℕ0)
7	6	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8	2	sseli 3926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
9		elfzelz 13426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
11		bccl 14231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
12	7, 10, 11	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12500	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℤ)
14		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
15		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		frmx 43031	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
17	16	fovcl 7480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
18	14, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
20	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
21		fznn0sub 13458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
23		zexpcl 13985	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℤ)
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℤ)
25		rmspecnonsq 43025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
26	25	eldifad 3910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
29		breq2 5097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 𝑎))
30	29	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑎))
31	30	elrab 3643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
32	31	simprbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
33		1zzd 12509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
34		n2dvds1 16281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
36		omoe 16277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑎 − 1))
37	10, 32, 33, 35, 36	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
38		2z 12510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
40		2ne0 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
42		peano2zm 12521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
43	10, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
44		dvdsval2 16168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑎 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
45	39, 41, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
46	37, 45	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
47	43	zred 12583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
48		0red 11122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ∈ ℝ)
49		3re 12212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℝ)
51	9	zred 12583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℝ)
52		3pos 12237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 3)
54		elfzle1 13429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 𝑎)
55	48, 50, 51, 53, 54	ltletrd 11280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 𝑎)
56		elnnz 12485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
57	9, 55, 56	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ)
58		nnm1nn0 12429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
60	59	nn0ge0d 12452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 1))
61	8, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
62		2re 12206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
64		2pos 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
66		divge0 11998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
67	47, 61, 63, 65, 66	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
68		elnn0z 12488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2)))
69	46, 67, 68	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
70		zexpcl 13985	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
71	28, 69, 70	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
72		frmy 43032	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
73	72	fovcl 7480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
74	14, 15, 73	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
75		elfzel1 13425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℤ)
76	9, 75	zsubcld 12588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℤ)
77		subge0 11637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
78	51, 49, 77	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
79	54, 78	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 3))
80		elnn0z 12488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 − 3) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 3) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 3)))
81	76, 79, 80	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
82	8, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
83	82	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
84		zexpcl 13985	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
85	74, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
86	71, 85	zmulcld 12589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℤ)
87	24, 86	zmulcld 12589	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℤ)
88	13, 87	zmulcld 12589	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
89	5, 88	fsumzcl 15644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
90	73	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
91		3nn0 12406	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
92		zexpcl 13985	. . . 4 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
93	90, 91, 92	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
94		dvdsmul2 16191	. . 3 ⊢ ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
95	89, 93, 94	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
96		jm2.22 43113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
97	6, 96	syl3an3 1165	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
98		1lt3 12300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 3
99		1re 11119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
100	99, 49	ltnlei 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 1)
101	98, 100	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 3 ≤ 1
102		elfzle1 13429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 1)
103	101, 102	mto 197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ (3...𝐽)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ (3...𝐽))
105	104	intnanrd 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
106		breq2 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 1 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 1))
107	106	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
108	107	elrab 3643	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
109	105, 108	sylnibr 329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
110		disjsn 4663	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
111	109, 110	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅)
112		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → 𝑎 = 1)
113	112	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
114		3z 12511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ∈ ℤ)
116		nnz 12496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
117	116	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℤ)
118	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
119		elfzelz 13426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℤ)
121	120	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℤ)
122		elfznn0 13522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ0)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
124	123	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℕ0)
125		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
126		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ≠ 1)
127		elnn1uz2 12825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)))
128		df-ne 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑎 = 1)
129	128	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ≠ 1 → ¬ 𝑎 = 1)
130	129	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → ¬ 𝑎 = 1)
131	130	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 = 1 → 3 ≤ 𝑎))
132	131	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 1) → 3 ≤ 𝑎)
133		uzp1 12775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
134		1z 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℤ
135		dvdsmul1 16190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 1))
136	38, 134, 135	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∥ (2 · 1)
137		2t1e2 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · 1) = 2
138	136, 137	breqtri 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∥ 2
139		breq2 5097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 2 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
140	139	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
141	138, 140	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 2 ∥ 𝑎)
142		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
143	141, 142	pm2.21dd 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 3 ≤ 𝑎)
144		eluzle 12751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑎)
145		2p1e3 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 + 1) = 3
146	145	fveq2i 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
147	144, 146	eleq2s 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → 3 ≤ 𝑎)
148	147	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → 3 ≤ 𝑎)
149	143, 148	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))) → 3 ≤ 𝑎)
150	133, 149	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → 3 ≤ 𝑎)
151	132, 150	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2))) → 3 ≤ 𝑎)
152	127, 151	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 3 ≤ 𝑎)
153		dvds0 16184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
154	38, 153	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∥ 0
155		breq2 5097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 0 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 0))
156	154, 155	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎)
157	156	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 2 ∥ 𝑎)
158		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
159	157, 158	pm2.21dd 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 3 ≤ 𝑎)
160		elnn0 12390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
161	160	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
162	161	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
163	152, 159, 162	mpjaodan 960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
164	124, 125, 126, 163	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
165		elfzle2 13430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ≤ 𝐽)
166	165	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝐽)
167	166	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ≤ 𝐽)
168	115, 118, 121, 164, 167	elfzd 13417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
169	168, 125	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
170	169	orcd 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
171	113, 170	pm2.61dane 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
172		nn0uz 12776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
173	91, 172	eleqtri 2831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
174		fzss1 13465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽))
175	173, 174	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽)
176	175	sseli 3926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
177	176	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
178	177	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
179		0zd 12487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ∈ ℤ)
180	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
181		1zzd 12509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ ℤ)
182		0le1 11647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ≤ 1)
184		nnge1 12160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
185	184	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐽)
186	185	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ≤ 𝐽)
187	179, 180, 181, 183, 186	elfzd 13417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ (0...𝐽))
188	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
189		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ↔ 1 ∈ (0...𝐽)))
190		breq2 5097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 1))
191	190	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑎 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
192	189, 191	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
193	192	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
194	187, 188, 193	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
195	178, 194	jaodan 959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
196	171, 195	impbida 800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)))
197	30	elrab 3643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
198		elun 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}))
199		velsn 4591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {1} ↔ 𝑎 = 1)
200	31, 199	orbi12i 914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
201	198, 200	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
202	196, 197, 201	3bitr4g 314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ 𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1})))
203	202	eqrdv 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} = ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}))
204		fzfi 13881	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝐽) ∈ Fin
205		ssrab2 4029	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)
206		ssfi 9089	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
207	204, 205, 206	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
208	207	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
209	205	sseli 3926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
210	209, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
211	7, 210, 11	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
212	211	nn0cnd 12451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
213	17	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
214	213	nn0cnd 12451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
215	214	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
216	209	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
217		fznn0sub 13458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
218	216, 217	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
219	215, 218	expcld 14055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℂ)
220	90	zcnd 12584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
221	209, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ0)
222		expcl 13988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
223	220, 221, 222	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
224		rmspecpos 43034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
225	224	rpcnd 12938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
226	225	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
227	197	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
228		1zzd 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
229	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
230	210, 227, 228, 229, 36	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
231	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
232	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
233	210, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
234	231, 232, 233, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
235	230, 234	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
236	233	zred 12583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
237	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎))
238	237	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → ¬ 𝑎 = 0)
239	197, 238	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 𝑎 = 0)
240	221, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
241		orel2 890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℕ))
242	239, 240, 241	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ)
243	242, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
244	243	nn0ge0d 12452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
245	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
246	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
247	236, 244, 245, 246, 66	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
248	235, 247, 68	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
249		expcl 13988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
250	226, 248, 249	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
251	223, 250	mulcld 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
252	219, 251	mulcld 11139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
253	212, 252	mulcld 11139	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
254	111, 203, 208, 253	fsumsplit 15650	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))))
255		expcl 13988	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
256	220, 91, 255	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
257	88	zcnd 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
258	5, 256, 257	fsummulc1 15694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
259	12	nn0cnd 12451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
260	214	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
261	260, 22	expcld 14055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℂ)
262	226, 69, 249	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
263		expcl 13988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
264	220, 82, 263	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
265	262, 264	mulcld 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℂ)
266	261, 265	mulcld 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℂ)
267	256	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
268	259, 266, 267	mulassd 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
269	261, 265, 267	mulassd 11142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
270	262, 264, 267	mulassd 11142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
271	264, 267	mulcld 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
272	262, 271	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
273	220	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
274	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 3 ∈ ℕ0)
275	273, 274, 83	expaddd 14057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
276	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℤ)
277	276	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℂ)
278		3cn 12213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℂ
279		npcan 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
280	277, 278, 279	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
281	280	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
282	275, 281	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
283	282	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
284	270, 272, 283	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
285	284	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
286	269, 285	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
287	286	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
288	268, 287	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
289	288	sumeq2dv 15611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
290	258, 289	eqtr2d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
291		1nn 12143	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
292		bccl 14231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
293	6, 134, 292	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
294	293	nn0cnd 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℂ)
295	294	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) ∈ ℂ)
296		nnm1nn0 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
297	296	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
298	214, 297	expcld 14055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) ∈ ℂ)
299		1nn0 12404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
300		expcl 13988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
301	220, 299, 300	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
302		1m1e0 12204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 1) = 0
303	302	oveq1i 7362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
304		2cn 12207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
305	304, 40	div0i 11862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 / 2) = 0
306	303, 305	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 − 1) / 2) = 0
307		0nn0 12403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
308	306, 307	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
309		expcl 13988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
310	226, 308, 309	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
311	301, 310	mulcld 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
312	298, 311	mulcld 11139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
313	295, 312	mulcld 11139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
314		oveq2 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐽C𝑎) = (𝐽C1))
315		oveq2 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐽 − 𝑎) = (𝐽 − 1))
316	315	oveq2d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)))
317		oveq2 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1))
318		oveq1 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
319	318	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
320	319	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))
321	317, 320	oveq12d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
322	316, 321	oveq12d 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
323	314, 322	oveq12d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
324	323	sumsn 15655	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
325	291, 313, 324	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
326	290, 325	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
327	97, 254, 326	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
328		bcn1 14222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽C1) = 𝐽)
329	7, 328	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) = 𝐽)
330	329	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝐽C1))
331	220	exp1d 14050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
332	306	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((1 − 1) / 2) = 0)
333	332	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑0))
334	226	exp0d 14049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑0) = 1)
335	333, 334	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = 1)
336	331, 335	oveq12d 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
337	220	mulridd 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
338	336, 337	eqtr2d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
339	338	oveq2d 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
340	330, 339	oveq12d 7370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
341	327, 340	oveq12d 7370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
342	5, 257	fsumcl 15642	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
343	342, 256	mulcld 11139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
344	343, 313	pncand 11480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
345	341, 344	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
346	95, 345	breqtrrd 5121	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {crab 3396   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4575   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351   / cdiv 11781  ℕcn 12132  2c2 12187  3c3 12188  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13409  ↑cexp 13970  Ccbc 14211  Σcsu 15595   ∥ cdvds 16165  ◻_NNcsquarenn 42954   X_rm crmx 43018   Y_rm crmy 43019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-numer 16648  df-denom 16649  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-squarenn 42959  df-pell1qr 42960  df-pell14qr 42961  df-pell1234qr 42962  df-pellfund 42963  df-rmx 43020  df-rmy 43021

This theorem is referenced by:  jm2.20nn  43115