Theorem jm2.23 42448

Description: Lemma for jm2.20nn 42449. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.23	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem jm2.23

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13977	. . . . . 6 ⊢ (3...𝐽) ∈ Fin
2		ssrab2 4077	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)
3		ssfi 9204	. . . . . 6 ⊢ (((3...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
6		nnnn0 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℕ0)
7	6	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8	2	sseli 3978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
9		elfzelz 13541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
11		bccl 14321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
12	7, 10, 11	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12622	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℤ)
14		simpl1 1188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
15		simpl2 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		frmx 42365	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
17	16	fovcl 7555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
18	14, 15, 17	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12622	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
20	8	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
21		fznn0sub 13573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
23		zexpcl 14081	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℤ)
24	19, 22, 23	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℤ)
25		rmspecnonsq 42358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
26	25	eldifad 3961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
28	27	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
29		breq2 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 𝑎))
30	29	notbid 317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑎))
31	30	elrab 3684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
32	31	simprbi 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
33		1zzd 12631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
34		n2dvds1 16352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
36		omoe 16348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑎 − 1))
37	10, 32, 33, 35, 36	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
38		2z 12632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
40		2ne0 12354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
42		peano2zm 12643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
43	10, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
44		dvdsval2 16241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑎 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
45	39, 41, 43, 44	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
46	37, 45	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
47	43	zred 12704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
48		0red 11255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ∈ ℝ)
49		3re 12330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℝ)
51	9	zred 12704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℝ)
52		3pos 12355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 3)
54		elfzle1 13544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 𝑎)
55	48, 50, 51, 53, 54	ltletrd 11412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 𝑎)
56		elnnz 12606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
57	9, 55, 56	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ)
58		nnm1nn0 12551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
60	59	nn0ge0d 12573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 1))
61	8, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
62		2re 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
64		2pos 12353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
66		divge0 12121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
67	47, 61, 63, 65, 66	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
68		elnn0z 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2)))
69	46, 67, 68	sylanbrc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
70		zexpcl 14081	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
71	28, 69, 70	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
72		frmy 42366	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
73	72	fovcl 7555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
74	14, 15, 73	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
75		elfzel1 13540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℤ)
76	9, 75	zsubcld 12709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℤ)
77		subge0 11765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
78	51, 49, 77	sylancl 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
79	54, 78	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 3))
80		elnn0z 12609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 − 3) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 3) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 3)))
81	76, 79, 80	sylanbrc 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
82	8, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
83	82	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
84		zexpcl 14081	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
85	74, 83, 84	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
86	71, 85	zmulcld 12710	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℤ)
87	24, 86	zmulcld 12710	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℤ)
88	13, 87	zmulcld 12710	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
89	5, 88	fsumzcl 15721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
90	73	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
91		3nn0 12528	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
92		zexpcl 14081	. . . 4 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
93	90, 91, 92	sylancl 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
94		dvdsmul2 16263	. . 3 ⊢ ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
95	89, 93, 94	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
96		jm2.22 42447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
97	6, 96	syl3an3 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
98		1lt3 12423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 3
99		1re 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
100	99, 49	ltnlei 11373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 1)
101	98, 100	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 3 ≤ 1
102		elfzle1 13544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 1)
103	101, 102	mto 196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ (3...𝐽)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ (3...𝐽))
105	104	intnanrd 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
106		breq2 5156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 1 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 1))
107	106	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
108	107	elrab 3684	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
109	105, 108	sylnibr 328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
110		disjsn 4720	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
111	109, 110	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅)
112		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → 𝑎 = 1)
113	112	olcd 872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
114		3z 12633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ∈ ℤ)
116		nnz 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
117	116	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℤ)
118	117	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
119		elfzelz 13541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
120	119	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℤ)
121	120	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℤ)
122		elfznn0 13634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ0)
123	122	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
124	123	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℕ0)
125		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
126		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ≠ 1)
127		elnn1uz2 12947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)))
128		df-ne 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑎 = 1)
129	128	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ≠ 1 → ¬ 𝑎 = 1)
130	129	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → ¬ 𝑎 = 1)
131	130	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 = 1 → 3 ≤ 𝑎))
132	131	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 1) → 3 ≤ 𝑎)
133		uzp1 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
134		1z 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℤ
135		dvdsmul1 16262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 1))
136	38, 134, 135	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∥ (2 · 1)
137		2t1e2 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · 1) = 2
138	136, 137	breqtri 5177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∥ 2
139		breq2 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 2 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
140	139	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
141	138, 140	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 2 ∥ 𝑎)
142		simpl2 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
143	141, 142	pm2.21dd 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 3 ≤ 𝑎)
144		eluzle 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑎)
145		2p1e3 12392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 + 1) = 3
146	145	fveq2i 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
147	144, 146	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → 3 ≤ 𝑎)
148	147	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → 3 ≤ 𝑎)
149	143, 148	jaodan 955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))) → 3 ≤ 𝑎)
150	133, 149	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → 3 ≤ 𝑎)
151	132, 150	jaodan 955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2))) → 3 ≤ 𝑎)
152	127, 151	sylan2b 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 3 ≤ 𝑎)
153		dvds0 16256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
154	38, 153	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∥ 0
155		breq2 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 0 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 0))
156	154, 155	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎)
157	156	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 2 ∥ 𝑎)
158		simpl2 1189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
159	157, 158	pm2.21dd 194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 3 ≤ 𝑎)
160		elnn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
161	160	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
162	161	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
163	152, 159, 162	mpjaodan 956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
164	124, 125, 126, 163	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
165		elfzle2 13545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ≤ 𝐽)
166	165	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝐽)
167	166	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ≤ 𝐽)
168	115, 118, 121, 164, 167	elfzd 13532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
169	168, 125	jca 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
170	169	orcd 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
171	113, 170	pm2.61dane 3026	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
172		nn0uz 12902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
173	91, 172	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
174		fzss1 13580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽))
175	173, 174	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽)
176	175	sseli 3978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
177	176	anim1i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
178	177	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
179		0zd 12608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ∈ ℤ)
180	117	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
181		1zzd 12631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ ℤ)
182		0le1 11775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ≤ 1)
184		nnge1 12278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
185	184	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐽)
186	185	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ≤ 𝐽)
187	179, 180, 181, 183, 186	elfzd 13532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ (0...𝐽))
188	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
189		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ↔ 1 ∈ (0...𝐽)))
190		breq2 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 1))
191	190	notbid 317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑎 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
192	189, 191	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
193	192	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
194	187, 188, 193	mpbir2and 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
195	178, 194	jaodan 955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
196	171, 195	impbida 799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)))
197	30	elrab 3684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
198		elun 4149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}))
199		velsn 4648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {1} ↔ 𝑎 = 1)
200	31, 199	orbi12i 912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
201	198, 200	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
202	196, 197, 201	3bitr4g 313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ 𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1})))
203	202	eqrdv 2726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} = ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}))
204		fzfi 13977	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝐽) ∈ Fin
205		ssrab2 4077	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)
206		ssfi 9204	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
207	204, 205, 206	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
208	207	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
209	205	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
210	209, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
211	7, 210, 11	syl2an 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
212	211	nn0cnd 12572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
213	17	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
214	213	nn0cnd 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
215	214	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
216	209	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
217		fznn0sub 13573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
218	216, 217	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
219	215, 218	expcld 14150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℂ)
220	90	zcnd 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
221	209, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ0)
222		expcl 14084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
223	220, 221, 222	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
224		rmspecpos 42368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
225	224	rpcnd 13058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
226	225	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
227	197	simprbi 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
228		1zzd 12631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
229	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
230	210, 227, 228, 229, 36	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
231	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
232	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
233	210, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
234	231, 232, 233, 44	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
235	230, 234	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
236	233	zred 12704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
237	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎))
238	237	con3dimp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → ¬ 𝑎 = 0)
239	197, 238	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 𝑎 = 0)
240	221, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
241		orel2 888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℕ))
242	239, 240, 241	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ)
243	242, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
244	243	nn0ge0d 12573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
245	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
246	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
247	236, 244, 245, 246, 66	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
248	235, 247, 68	sylanbrc 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
249		expcl 14084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
250	226, 248, 249	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
251	223, 250	mulcld 11272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
252	219, 251	mulcld 11272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
253	212, 252	mulcld 11272	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
254	111, 203, 208, 253	fsumsplit 15727	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))))
255		expcl 14084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
256	220, 91, 255	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
257	88	zcnd 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
258	5, 256, 257	fsummulc1 15771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
259	12	nn0cnd 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
260	214	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
261	260, 22	expcld 14150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℂ)
262	226, 69, 249	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
263		expcl 14084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
264	220, 82, 263	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
265	262, 264	mulcld 11272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℂ)
266	261, 265	mulcld 11272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℂ)
267	256	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
268	259, 266, 267	mulassd 11275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
269	261, 265, 267	mulassd 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
270	262, 264, 267	mulassd 11275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
271	264, 267	mulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
272	262, 271	mulcomd 11273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
273	220	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
274	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 3 ∈ ℕ0)
275	273, 274, 83	expaddd 14152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
276	10	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℤ)
277	276	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℂ)
278		3cn 12331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℂ
279		npcan 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
280	277, 278, 279	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
281	280	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
282	275, 281	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
283	282	oveq1d 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
284	270, 272, 283	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
285	284	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
286	269, 285	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
287	286	oveq2d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
288	268, 287	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
289	288	sumeq2dv 15689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
290	258, 289	eqtr2d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
291		1nn 12261	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
292		bccl 14321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
293	6, 134, 292	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
294	293	nn0cnd 12572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℂ)
295	294	3ad2ant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) ∈ ℂ)
296		nnm1nn0 12551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
297	296	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
298	214, 297	expcld 14150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) ∈ ℂ)
299		1nn0 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
300		expcl 14084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
301	220, 299, 300	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
302		1m1e0 12322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 1) = 0
303	302	oveq1i 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
304		2cn 12325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
305	304, 40	div0i 11986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 / 2) = 0
306	303, 305	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 − 1) / 2) = 0
307		0nn0 12525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
308	306, 307	eqeltri 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
309		expcl 14084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
310	226, 308, 309	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
311	301, 310	mulcld 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
312	298, 311	mulcld 11272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
313	295, 312	mulcld 11272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
314		oveq2 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐽C𝑎) = (𝐽C1))
315		oveq2 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐽 − 𝑎) = (𝐽 − 1))
316	315	oveq2d 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)))
317		oveq2 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1))
318		oveq1 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
319	318	oveq1d 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
320	319	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))
321	317, 320	oveq12d 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
322	316, 321	oveq12d 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
323	314, 322	oveq12d 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
324	323	sumsn 15732	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
325	291, 313, 324	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
326	290, 325	oveq12d 7444	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
327	97, 254, 326	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
328		bcn1 14312	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽C1) = 𝐽)
329	7, 328	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) = 𝐽)
330	329	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝐽C1))
331	220	exp1d 14145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
332	306	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((1 − 1) / 2) = 0)
333	332	oveq2d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑0))
334	226	exp0d 14144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑0) = 1)
335	333, 334	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = 1)
336	331, 335	oveq12d 7444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
337	220	mulridd 11269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
338	336, 337	eqtr2d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
339	338	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
340	330, 339	oveq12d 7444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
341	327, 340	oveq12d 7444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
342	5, 257	fsumcl 15719	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
343	342, 256	mulcld 11272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
344	343, 313	pncand 11610	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
345	341, 344	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
346	95, 345	breqtrrd 5180	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  {crab 3430   ∪ cun 3947   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  {csn 4632   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  ℂcc 11144  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11286   ≤ cle 11287   − cmin 11482   / cdiv 11909  ℕcn 12250  2c2 12305  3c3 12306  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524  ↑cexp 14066  Ccbc 14301  Σcsu 15672   ∥ cdvds 16238  ◻_NNcsquarenn 42287   X_rm crmx 42351   Y_rm crmy 42352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-numer 16714  df-denom 16715  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-squarenn 42292  df-pell1qr 42293  df-pell14qr 42294  df-pell1234qr 42295  df-pellfund 42296  df-rmx 42353  df-rmy 42354

This theorem is referenced by:  jm2.20nn  42449