Theorem jm2.23 38995

Description: Lemma for jm2.20nn 38996. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.23	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem jm2.23

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13155	. . . . . 6 ⊢ (3...𝐽) ∈ Fin
2		ssrab2 3946	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)
3		ssfi 8533	. . . . . 6 ⊢ (((3...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 679	. . . . 5 ⊢ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
6		nnnn0 11715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℕ0)
7	6	3ad2ant3 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8	2	sseli 3854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
9		elfzelz 12724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
11		bccl 13497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
12	7, 10, 11	syl2an 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 11898	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℤ)
14		simpl1 1171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
15		simpl2 1172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		frmx 38912	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
17	16	fovcl 7095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
18	14, 15, 17	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 11898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
20	8	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
21		fznn0sub 12755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
23		zexpcl 13259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℤ)
24	19, 22, 23	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℤ)
25		rmspecnonsq 38906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
26	25	eldifad 3841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 11899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
28	27	3ad2ant1 1113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
29		breq2 4933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 𝑎))
30	29	notbid 310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑎))
31	30	elrab 3595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
32	31	simprbi 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
33		1zzd 11826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
34		n2dvds1 15577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
36		omoe 15573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑎 − 1))
37	10, 32, 33, 35, 36	syl22anc 826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
38		2z 11827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
40		2ne0 11551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
42		peano2zm 11838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
43	10, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
44		dvdsval2 15470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑎 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
45	39, 41, 43, 44	syl3anc 1351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
46	37, 45	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
47	43	zred 11900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
48		0red 10443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ∈ ℝ)
49		3re 11520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℝ)
51	9	zred 11900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℝ)
52		3pos 11552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 3)
54		elfzle1 12726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 𝑎)
55	48, 50, 51, 53, 54	ltletrd 10600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 𝑎)
56		elnnz 11803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
57	9, 55, 56	sylanbrc 575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ)
58		nnm1nn0 11750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
60	59	nn0ge0d 11770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 1))
61	8, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
62		2re 11514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
64		2pos 11550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
66		divge0 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
67	47, 61, 63, 65, 66	syl22anc 826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
68		elnn0z 11806	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2)))
69	46, 67, 68	sylanbrc 575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
70		zexpcl 13259	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
71	28, 69, 70	syl2an 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
72		frmy 38913	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
73	72	fovcl 7095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
74	14, 15, 73	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
75		elfzel1 12723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℤ)
76	9, 75	zsubcld 11905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℤ)
77		subge0 10954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
78	51, 49, 77	sylancl 577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
79	54, 78	mpbird 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 3))
80		elnn0z 11806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 − 3) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 3) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 3)))
81	76, 79, 80	sylanbrc 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
82	8, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
83	82	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
84		zexpcl 13259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
85	74, 83, 84	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
86	71, 85	zmulcld 11906	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℤ)
87	24, 86	zmulcld 11906	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℤ)
88	13, 87	zmulcld 11906	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
89	5, 88	fsumzcl 14952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
90	73	3adant3 1112	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
91		3nn0 11727	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
92		zexpcl 13259	. . . 4 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
93	90, 91, 92	sylancl 577	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
94		dvdsmul2 15492	. . 3 ⊢ ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
95	89, 93, 94	syl2anc 576	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
96		jm2.22 38994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
97	6, 96	syl3an3 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
98		1lt3 11620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 3
99		1re 10439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
100	99, 49	ltnlei 10561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 1)
101	98, 100	mpbi 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 3 ≤ 1
102		elfzle1 12726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 1)
103	101, 102	mto 189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ (3...𝐽)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ (3...𝐽))
105	104	intnanrd 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
106		breq2 4933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 1 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 1))
107	106	notbid 310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
108	107	elrab 3595	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
109	105, 108	sylnibr 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
110		disjsn 4521	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
111	109, 110	sylibr 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅)
112		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → 𝑎 = 1)
113	112	olcd 860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
114		elfznn0 12816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ0)
115	114	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
116	115	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℕ0)
117		simplrr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
118		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ≠ 1)
119		elnn1uz2 12139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)))
120		df-ne 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑎 = 1)
121	120	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ≠ 1 → ¬ 𝑎 = 1)
122	121	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → ¬ 𝑎 = 1)
123	122	pm2.21d 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 = 1 → 3 ≤ 𝑎))
124	123	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 1) → 3 ≤ 𝑎)
125		uzp1 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
126		1z 11825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℤ
127		dvdsmul1 15491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 1))
128	38, 126, 127	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∥ (2 · 1)
129		2t1e2 11610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · 1) = 2
130	128, 129	breqtri 4954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∥ 2
131		breq2 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 2 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
132	131	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
133	130, 132	mpbiri 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 2 ∥ 𝑎)
134		simpl2 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
135	133, 134	pm2.21dd 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 3 ≤ 𝑎)
136		eluzle 12071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑎)
137		2p1e3 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 + 1) = 3
138	137	fveq2i 6502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
139	136, 138	eleq2s 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → 3 ≤ 𝑎)
140	139	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → 3 ≤ 𝑎)
141	135, 140	jaodan 940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))) → 3 ≤ 𝑎)
142	125, 141	sylan2 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → 3 ≤ 𝑎)
143	124, 142	jaodan 940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2))) → 3 ≤ 𝑎)
144	119, 143	sylan2b 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 3 ≤ 𝑎)
145		dvds0 15485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
146	38, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∥ 0
147		breq2 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 0 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 0))
148	146, 147	mpbiri 250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎)
149	148	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 2 ∥ 𝑎)
150		simpl2 1172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
151	149, 150	pm2.21dd 187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 3 ≤ 𝑎)
152		elnn0 11709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
153	152	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
154	153	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
155	144, 151, 154	mpjaodan 941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎 ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
156	116, 117, 118, 155	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
157		elfzle2 12727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ≤ 𝐽)
158	157	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝐽)
159	158	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ≤ 𝐽)
160		elfzelz 12724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
161	160	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℤ)
162	161	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℤ)
163		3z 11828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℤ
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ∈ ℤ)
165		nnz 11817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
166	165	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℤ)
167	166	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
168		elfz 12714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (3...𝐽) ↔ (3 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐽)))
169	162, 164, 167, 168	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ (3...𝐽) ↔ (3 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝐽)))
170	156, 159, 169	mpbir2and 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
171	170, 117	jca 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
172	171	orcd 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
173	113, 172	pm2.61dane 3055	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
174		nn0uz 12094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
175	91, 174	eleqtri 2864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
176		fzss1 12762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽))
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽)
178	177	sseli 3854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
179	178	anim1i 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
180	179	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
181		0le1 10964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ≤ 1)
183		nnge1 11468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
184	183	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐽)
185	184	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ≤ 𝐽)
186		1zzd 11826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ ℤ)
187		0zd 11805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ∈ ℤ)
188	166	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
189		elfz 12714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...𝐽) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐽)))
190	186, 187, 188, 189	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → (1 ∈ (0...𝐽) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐽)))
191	182, 185, 190	mpbir2and 700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ (0...𝐽))
192	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
193		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ↔ 1 ∈ (0...𝐽)))
194		breq2 4933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 1))
195	194	notbid 310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑎 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
196	193, 195	anbi12d 621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
197	196	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
198	191, 192, 197	mpbir2and 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
199	180, 198	jaodan 940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
200	173, 199	impbida 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)))
201	30	elrab 3595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
202		elun 4014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}))
203		velsn 4457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {1} ↔ 𝑎 = 1)
204	31, 203	orbi12i 898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
205	202, 204	bitri 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
206	200, 201, 205	3bitr4g 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ 𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1})))
207	206	eqrdv 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} = ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}))
208		fzfi 13155	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝐽) ∈ Fin
209		ssrab2 3946	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)
210		ssfi 8533	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
211	208, 209, 210	mp2an 679	. . . . . . 7 ⊢ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
212	211	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
213	209	sseli 3854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
214	213, 160	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
215	7, 214, 11	syl2an 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
216	215	nn0cnd 11769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
217	17	3adant3 1112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
218	217	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
219	218	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
220	213	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
221		fznn0sub 12755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
222	220, 221	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽 − 𝑎) ∈ ℕ0)
223	219, 222	expcld 13325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℂ)
224	90	zcnd 11901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
225	213, 114	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ0)
226		expcl 13262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
227	224, 225, 226	syl2an 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
228		rmspecpos 38915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
229	228	rpcnd 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
230	229	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
231	201	simprbi 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
232		1zzd 11826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
233	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
234	214, 231, 232, 233, 36	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
235	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
236	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
237	214, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
238	235, 236, 237, 44	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
239	234, 238	mpbid 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
240	237	zred 11900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
241	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎))
242	241	con3dimp 400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → ¬ 𝑎 = 0)
243	201, 242	sylbi 209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 𝑎 = 0)
244	225, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
245		orel2 874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℕ))
246	243, 244, 245	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ)
247	246, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
248	247	nn0ge0d 11770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
249	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
250	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
251	240, 248, 249, 250, 66	syl22anc 826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
252	239, 251, 68	sylanbrc 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
253		expcl 13262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
254	230, 252, 253	syl2an 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
255	227, 254	mulcld 10460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
256	223, 255	mulcld 10460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
257	216, 256	mulcld 10460	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
258	111, 207, 212, 257	fsumsplit 14957	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))))
259		expcl 13262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
260	224, 91, 259	sylancl 577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
261	88	zcnd 11901	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
262	5, 260, 261	fsummulc1 15000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
263	12	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
264	218	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
265	264, 22	expcld 13325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) ∈ ℂ)
266	230, 69, 253	syl2an 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
267		expcl 13262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
268	224, 82, 267	syl2an 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
269	266, 268	mulcld 10460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℂ)
270	265, 269	mulcld 10460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℂ)
271	260	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
272	263, 270, 271	mulassd 10463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
273	265, 269, 271	mulassd 10463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
274	266, 268, 271	mulassd 10463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
275	268, 271	mulcld 10460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
276	266, 275	mulcomd 10461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
277	224	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
278	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 3 ∈ ℕ0)
279	277, 278, 83	expaddd 13327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
280	10	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℤ)
281	280	zcnd 11901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℂ)
282		3cn 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℂ
283		npcan 10696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
284	281, 282, 283	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
285	284	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
286	279, 285	eqtr3d 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
287	286	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
288	274, 276, 287	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
289	288	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
290	273, 289	eqtrd 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
291	290	oveq2d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
292	272, 291	eqtrd 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
293	292	sumeq2dv 14920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
294	262, 293	eqtr2d 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
295		1nn 11452	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
296		bccl 13497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
297	6, 126, 296	sylancl 577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
298	297	nn0cnd 11769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℂ)
299	298	3ad2ant3 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) ∈ ℂ)
300		nnm1nn0 11750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
301	300	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
302	218, 301	expcld 13325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) ∈ ℂ)
303		1nn0 11725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
304		expcl 13262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
305	224, 303, 304	sylancl 577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
306		1m1e0 11512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 1) = 0
307	306	oveq1i 6986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
308		2cn 11515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
309	308, 40	div0i 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 / 2) = 0
310	307, 309	eqtri 2802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 − 1) / 2) = 0
311		0nn0 11724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
312	310, 311	eqeltri 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
313		expcl 13262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
314	230, 312, 313	sylancl 577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
315	305, 314	mulcld 10460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
316	302, 315	mulcld 10460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
317	299, 316	mulcld 10460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
318		oveq2 6984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐽C𝑎) = (𝐽C1))
319		oveq2 6984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐽 − 𝑎) = (𝐽 − 1))
320	319	oveq2d 6992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)))
321		oveq2 6984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1))
322		oveq1 6983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
323	322	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
324	323	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))
325	321, 324	oveq12d 6994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
326	320, 325	oveq12d 6994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
327	318, 326	oveq12d 6994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
328	327	sumsn 14961	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
329	295, 317, 328	sylancr 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
330	294, 329	oveq12d 6994	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
331	97, 258, 330	3eqtrd 2818	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
332		bcn1 13488	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽C1) = 𝐽)
333	7, 332	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) = 𝐽)
334	333	eqcomd 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝐽C1))
335	224	exp1d 13320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
336	310	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((1 − 1) / 2) = 0)
337	336	oveq2d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑0))
338	230	exp0d 13319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑0) = 1)
339	337, 338	eqtrd 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = 1)
340	335, 339	oveq12d 6994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
341	224	mulid1d 10457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
342	340, 341	eqtr2d 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
343	342	oveq2d 6992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
344	334, 343	oveq12d 6994	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
345	331, 344	oveq12d 6994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
346	5, 261	fsumcl 14950	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
347	346, 260	mulcld 10460	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
348	347, 317	pncand 10799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
349	345, 348	eqtrd 2814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
350	95, 349	breqtrrd 4957	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  {crab 3092   ∪ cun 3827   ∩ cin 3828   ⊆ wss 3829  ∅c0 4178  {csn 4441   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  ℂcc 10333  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474   ≤ cle 10475   − cmin 10670   / cdiv 11098  ℕcn 11439  2c2 11495  3c3 11496  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ℤ_≥cuz 12058  ...cfz 12708  ↑cexp 13244  Ccbc 13477  Σcsu 14903   ∥ cdvds 15467  ◻_NNcsquarenn 38835   X_rm crmx 38899   Y_rm crmy 38900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-acn 9165  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-numer 15931  df-denom 15932  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-log 24841  df-squarenn 38840  df-pell1qr 38841  df-pell14qr 38842  df-pell1234qr 38843  df-pellfund 38844  df-rmx 38901  df-rmy 38902

This theorem is referenced by:  jm2.20nn  38996