Theorem pco1 24922

Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pco1	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Proof of Theorem pco1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 24918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4	3	fveq1d 6863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1))
5		1elunit 13438	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
6		halflt1 12406	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
7		halfre 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
8		1re 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	7, 8	ltnlei 11302	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
10	6, 9	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ (1 / 2)
11		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
12	10, 11	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
13	12	iffalsed 4502	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
14		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
15		2t1e2 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
16	14, 15	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
17	16	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
18		2m1e1 12314	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
20	19	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘1))
21	13, 20	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘1))
22		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
23		fvex 6874	. . . 4 ⊢ (𝐺‘1) ∈ V
24	21, 22, 23	fvmpt 6971	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1))
25	5, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1)
26	4, 25	eqtrdi 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  [,]cicc 13316   Cn ccn 23118  IIcii 24775  *_𝑝cpco 24907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-icc 13320  df-top 22788  df-topon 22805  df-cn 23121  df-pco 24912

This theorem is referenced by:  pcohtpylem  24926  pcorevlem  24933  pcophtb  24936  om1addcl  24940  pi1xfrf  24960  pi1xfr  24962  pi1xfrcnvlem  24963  pi1coghm  24968  connpconn  35229  sconnpht2  35232  cvmlift3lem6  35318