Theorem pco1 24931

Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pco1	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Proof of Theorem pco1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 24927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4	3	fveq1d 6828	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1))
5		1elunit 13391	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
6		halflt1 12359	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
7		halfre 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
8		1re 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	7, 8	ltnlei 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
10	6, 9	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ (1 / 2)
11		breq1 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
12	10, 11	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
13	12	iffalsed 4489	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
14		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
15		2t1e2 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
16	14, 15	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
17	16	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
18		2m1e1 12267	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
20	19	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘1))
21	13, 20	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘1))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
23		fvex 6839	. . . 4 ⊢ (𝐺‘1) ∈ V
24	21, 22, 23	fvmpt 6934	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1))
25	5, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1)
26	4, 25	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  2c2 12201  [,]cicc 13269   Cn ccn 23127  IIcii 24784  *_𝑝cpco 24916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-icc 13273  df-top 22797  df-topon 22814  df-cn 23130  df-pco 24921

This theorem is referenced by:  pcohtpylem  24935  pcorevlem  24942  pcophtb  24945  om1addcl  24949  pi1xfrf  24969  pi1xfr  24971  pi1xfrcnvlem  24972  pi1coghm  24977  connpconn  35210  sconnpht2  35213  cvmlift3lem6  35299