Theorem pco1 24982

Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pco1	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Proof of Theorem pco1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 24978	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4	3	fveq1d 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1))
5		1elunit 13423	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
6		halflt1 12394	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
7		halfre 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
8		1re 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	7, 8	ltnlei 11267	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
10	6, 9	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ (1 / 2)
11		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
12	10, 11	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
13	12	iffalsed 4477	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
14		oveq2 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
15		2t1e2 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
16	14, 15	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
17	16	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
18		2m1e1 12302	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
20	19	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘1))
21	13, 20	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘1))
22		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
23		fvex 6853	. . . 4 ⊢ (𝐺‘1) ∈ V
24	21, 22, 23	fvmpt 6947	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1))
25	5, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1)
26	4, 25	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  [,]cicc 13301   Cn ccn 23189  IIcii 24842  *_𝑝cpco 24967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-icc 13305  df-top 22859  df-topon 22876  df-cn 23192  df-pco 24972

This theorem is referenced by:  pcohtpylem  24986  pcorevlem  24993  pcophtb  24996  om1addcl  25000  pi1xfrf  25020  pi1xfr  25022  pi1xfrcnvlem  25023  pi1coghm  25028  connpconn  35417  sconnpht2  35420  cvmlift3lem6  35506