Theorem pco1 25342

Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pco1	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Proof of Theorem pco1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 25338	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4	3	fveq1d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1))
5		1elunit 13605	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
6		halflt1 12567	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
7		halfre 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
8		1re 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	7, 8	ltnlei 11435	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
10	6, 9	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ (1 / 2)
11		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
12	10, 11	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
13	12	iffalsed 4492	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
14		oveq2 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
15		2t1e2 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
16	14, 15	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
17	16	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
18		2m1e1 12471	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
20	19	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘1))
21	13, 20	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘1))
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
23		fvex 6899	. . . 4 ⊢ (𝐺‘1) ∈ V
24	21, 22, 23	fvmpt 6994	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1))
25	5, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1)
26	4, 25	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  2c2 12401  [,]cicc 13483   Cn ccn 23548  IIcii 25202  *_𝑝cpco 25327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-icc 13487  df-top 23218  df-topon 23235  df-cn 23551  df-pco 25332

This theorem is used by:  pcohtpylem  25346  pcorevlem  25353  pcophtb  25356  om1addcl  25360  pi1xfrf  25380  pi1xfr  25382  pi1xfrcnvlem  25383  pi1coghm  25388  connpconn  36087  sconnpht2  36090  cvmlift3lem6  36176