MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pco1 23337
Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
pco1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Proof of Theorem pco1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
31, 2pcoval 23333 . . 3 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
43fveq1d 6506 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1))
5 1elunit 12678 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
6 halflt1 11671 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
7 halfre 11667 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
8 1re 10445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
97, 8ltnlei 10567 . . . . . . . 8 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
106, 9mpbi 222 . . . . . . 7 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
11 breq1 4937 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
1210, 11mtbiri 319 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
1312iffalsed 4364 . . . . 5 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
14 oveq2 6990 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
15 2t1e2 11616 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
1614, 15syl6eq 2832 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
1716oveq1d 6997 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
18 2m1e1 11579 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
1917, 18syl6eq 2832 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
2019fveq2d 6508 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘1))
2113, 20eqtrd 2816 . . . 4 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘1))
22 eqid 2780 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
23 fvex 6517 . . . 4 (𝐺‘1) ∈ V
2421, 22, 23fvmpt 6601 . . 3 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1))
255, 24ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1)
264, 25syl6eq 2832 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  ifcif 4353   class class class wbr 4934  cmpt 5013  cfv 6193  (class class class)co 6982  0cc0 10341  1c1 10342   · cmul 10346   < clt 10480  cle 10481  cmin 10676   / cdiv 11104  2c2 11501  [,]cicc 12563   Cn ccn 21551  IIcii 23201  *𝑝cpco 23322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-id 5316  df-po 5330  df-so 5331  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-er 8095  df-map 8214  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-2 11509  df-icc 12567  df-top 21221  df-topon 21238  df-cn 21554  df-pco 23327
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  23341  pcorevlem  23348  pcophtb  23351  om1addcl  23355  pi1xfrf  23375  pi1xfr  23377  pi1xfrcnvlem  23378  pi1coghm  23383  connpconn  32107  sconnpht2  32110  cvmlift3lem6  32196
  Copyright terms: Public domain W3C validator