MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pco1 23620
Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
pco1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Proof of Theorem pco1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
31, 2pcoval 23616 . . 3 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
43fveq1d 6647 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1))
5 1elunit 12848 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
6 halflt1 11843 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
7 halfre 11839 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
8 1re 10630 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
97, 8ltnlei 10750 . . . . . . . 8 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
106, 9mpbi 233 . . . . . . 7 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
11 breq1 5033 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
1210, 11mtbiri 330 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
1312iffalsed 4436 . . . . 5 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
14 oveq2 7143 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
15 2t1e2 11788 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
1614, 15eqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
1716oveq1d 7150 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
18 2m1e1 11751 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
1917, 18eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
2019fveq2d 6649 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘1))
2113, 20eqtrd 2833 . . . 4 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘1))
22 eqid 2798 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
23 fvex 6658 . . . 4 (𝐺‘1) ∈ V
2421, 22, 23fvmpt 6745 . . 3 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1))
255, 24ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1)
264, 25eqtrdi 2849 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  ifcif 4425   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  [,]cicc 12729   Cn ccn 21829  IIcii 23480  *𝑝cpco 23605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-icc 12733  df-top 21499  df-topon 21516  df-cn 21832  df-pco 23610
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  23624  pcorevlem  23631  pcophtb  23634  om1addcl  23638  pi1xfrf  23658  pi1xfr  23660  pi1xfrcnvlem  23661  pi1coghm  23666  connpconn  32595  sconnpht2  32598  cvmlift3lem6  32684
  Copyright terms: Public domain W3C validator