MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiltx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiltx 26542
Description: The prime-counting function π is strictly less than the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiltx (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem ppiltx
StepHypRef Expression
1 rpre 12928 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 ppicl 26496 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0red 12479 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) ∈ ℝ)
54adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π𝐴) ∈ ℝ)
6 reflcl 13707 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
87adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
91adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 fzfi 13883 . . . . . 6 (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
11 inss1 4189 . . . . . . 7 ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
12 2eluzge1 12824 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℤ‘1)
13 fzss1 13486 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
1412, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
15 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
16 nnuz 12811 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
18 eluzfz1 13454 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
20 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
21 1re 11160 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
22 2re 12232 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2321, 22ltnlei 11281 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
2420, 23mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ≤ 1
25 elfzle1 13450 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 2 ≤ 1)
2624, 25mto 196 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))
27 nelne1 3038 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
2819, 26, 27sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
2928necomd 2996 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴)))
30 df-pss 3930 . . . . . . . 8 ((2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴))))
3114, 29, 30sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
32 sspsstr 4066 . . . . . . 7 ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
3311, 31, 32sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
34 php3 9159 . . . . . 6 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
3510, 33, 34sylancr 588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
36 fzfi 13883 . . . . . . 7 (2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
37 ssfi 9120 . . . . . . 7 (((2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3836, 11, 37mp2an 691 . . . . . 6 ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin
39 hashsdom 14287 . . . . . 6 ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin) → ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴))))
4038, 10, 39mp2an 691 . . . . 5 ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
4135, 40sylibr 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))))
421flcld 13709 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
43 ppival2 26493 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
45 ppifl 26525 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
461, 45syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
4744, 46eqtr3d 2775 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π𝐴))
4847adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π𝐴))
49 rpge0 12933 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
50 flge0nn0 13731 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
511, 49, 50syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
52 hashfz1 14252 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
5351, 52syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
5453adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
5541, 48, 543brtr3d 5137 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π𝐴) < (⌊‘𝐴))
56 flle 13710 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
579, 56syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
585, 8, 9, 55, 57ltletrd 11320 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π𝐴) < 𝐴)
5946adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
60 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (⌊‘𝐴) = 0)
6160fveq2d 6847 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘0))
62 2pos 12261 . . . . . 6 0 < 2
63 0re 11162 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
64 ppieq0 26541 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2)
6662, 65mpbir 230 . . . . 5 (π‘0) = 0
6761, 66eqtrdi 2789 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = 0)
6859, 67eqtr3d 2775 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π𝐴) = 0)
69 rpgt0 12932 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
7069adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → 0 < 𝐴)
7168, 70eqbrtrd 5128 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π𝐴) < 𝐴)
72 elnn0 12420 . . 3 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
7351, 72sylib 217 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
7458, 71, 73mpjaodan 958 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cin 3910  wss 3911  wpss 3912   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  csdm 8885  Fincfn 8886  cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   < clt 11194  cle 11195  cn 12158  2c2 12213  0cn0 12418  cz 12504  cuz 12768  +crp 12920  ...cfz 13430  cfl 13701  chash 14236  cprime 16552  πcppi 26459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-prm 16553  df-ppi 26465
This theorem is referenced by:  chtppilimlem1  26837
  Copyright terms: Public domain W3C validator