MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiltx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiltx 26086
Description: The prime-counting function π is strictly less than the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiltx (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem ppiltx
StepHypRef Expression
1 rpre 12619 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 ppicl 26040 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0red 12176 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) ∈ ℝ)
54adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π𝐴) ∈ ℝ)
6 reflcl 13396 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
87adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
91adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 fzfi 13572 . . . . . 6 (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
11 inss1 4158 . . . . . . 7 ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
12 2eluzge1 12515 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℤ‘1)
13 fzss1 13176 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
1412, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
15 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
16 nnuz 12502 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
18 eluzfz1 13144 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
20 1lt2 12026 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
21 1re 10858 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
22 2re 11929 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2321, 22ltnlei 10978 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
2420, 23mpbi 233 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ≤ 1
25 elfzle1 13140 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 2 ≤ 1)
2624, 25mto 200 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))
27 nelne1 3039 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
2819, 26, 27sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
2928necomd 2997 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴)))
30 df-pss 3900 . . . . . . . 8 ((2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴))))
3114, 29, 30sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
32 sspsstr 4035 . . . . . . 7 ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
3311, 31, 32sylancr 590 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
34 php3 8855 . . . . . 6 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
3510, 33, 34sylancr 590 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
36 fzfi 13572 . . . . . . 7 (2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
37 ssfi 8874 . . . . . . 7 (((2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3836, 11, 37mp2an 692 . . . . . 6 ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin
39 hashsdom 13976 . . . . . 6 ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin) → ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴))))
4038, 10, 39mp2an 692 . . . . 5 ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
4135, 40sylibr 237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))))
421flcld 13398 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
43 ppival2 26037 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
45 ppifl 26069 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
461, 45syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
4744, 46eqtr3d 2780 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π𝐴))
4847adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π𝐴))
49 rpge0 12624 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
50 flge0nn0 13420 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
511, 49, 50syl2anc 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
52 hashfz1 13940 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
5351, 52syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
5453adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
5541, 48, 543brtr3d 5099 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π𝐴) < (⌊‘𝐴))
56 flle 13399 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
579, 56syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
585, 8, 9, 55, 57ltletrd 11017 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π𝐴) < 𝐴)
5946adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
60 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (⌊‘𝐴) = 0)
6160fveq2d 6740 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘0))
62 2pos 11958 . . . . . 6 0 < 2
63 0re 10860 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
64 ppieq0 26085 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2)
6662, 65mpbir 234 . . . . 5 (π‘0) = 0
6761, 66eqtrdi 2795 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = 0)
6859, 67eqtr3d 2780 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π𝐴) = 0)
69 rpgt0 12623 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
7069adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → 0 < 𝐴)
7168, 70eqbrtrd 5090 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π𝐴) < 𝐴)
72 elnn0 12117 . . 3 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
7351, 72sylib 221 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
7458, 71, 73mpjaodan 959 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  cin 3880  wss 3881  wpss 3882   class class class wbr 5068  cfv 6398  (class class class)co 7232  csdm 8646  Fincfn 8647  cr 10753  0cc0 10754  1c1 10755   < clt 10892  cle 10893  cn 11855  2c2 11910  0cn0 12115  cz 12201  cuz 12463  +crp 12611  ...cfz 13120  cfl 13390  chash 13924  cprime 16256  πcppi 26003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-pre-sup 10832
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-2o 8224  df-oadd 8227  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-sup 9083  df-inf 9084  df-dju 9542  df-card 9580  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-div 11515  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-n0 12116  df-xnn0 12188  df-z 12202  df-uz 12464  df-rp 12612  df-icc 12967  df-fz 13121  df-fl 13392  df-seq 13602  df-exp 13663  df-hash 13925  df-cj 14690  df-re 14691  df-im 14692  df-sqrt 14826  df-abs 14827  df-dvds 15844  df-prm 16257  df-ppi 26009
This theorem is referenced by:  chtppilimlem1  26381
  Copyright terms: Public domain W3C validator