Theorem ppiltx 27139

Description: The prime-counting function π is strictly less than the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiltx	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem ppiltx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13017	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ppicl 27093	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12563	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) ∈ ℝ)
6		reflcl 13813	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
9	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		fzfi 13990	. . . . . 6 ⊢ (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
11		inss1 4212	. . . . . . 7 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
12		2eluzge1 12910	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
13		fzss1 13580	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
14	12, 13	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
16		nnuz 12895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
18		eluzfz1 13548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
20		1lt2 12411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
21		1re 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		2re 12314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
23	21, 22	ltnlei 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
24	20, 23	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
25		elfzle1 13544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 2 ≤ 1)
26	24, 25	mto 197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))
27		nelne1 3029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
28	19, 26, 27	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
29	28	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴)))
30		df-pss 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴))))
31	14, 29, 30	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
32		sspsstr 4083	. . . . . . 7 ⊢ ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
33	11, 31, 32	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
34		php3 9223	. . . . . 6 ⊢ (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
35	10, 33, 34	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
36		fzfi 13990	. . . . . . 7 ⊢ (2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
37		ssfi 9187	. . . . . . 7 ⊢ (((2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
38	36, 11, 37	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin
39		hashsdom 14399	. . . . . 6 ⊢ ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin) → ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴))))
40	38, 10, 39	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
41	35, 40	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))))
42	1	flcld 13815	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
43		ppival2 27090	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
45		ppifl 27122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
46	1, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
47	44, 46	eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π‘𝐴))
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π‘𝐴))
49		rpge0 13022	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
50		flge0nn0 13837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
51	1, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
52		hashfz1 14364	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
53	51, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
55	41, 48, 54	3brtr3d 5150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) < (⌊‘𝐴))
56		flle 13816	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
57	9, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
58	5, 8, 9, 55, 57	ltletrd 11395	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) < 𝐴)
59	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
60		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (⌊‘𝐴) = 0)
61	60	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘0))
62		2pos 12343	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
63		0re 11237	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		ppieq0 27138	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2)
66	62, 65	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (π‘0) = 0
67	61, 66	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = 0)
68	59, 67	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘𝐴) = 0)
69		rpgt0 13021	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
70	69	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → 0 < 𝐴)
71	68, 70	eqbrtrd 5141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘𝐴) < 𝐴)
72		elnn0 12503	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
73	51, 72	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
74	58, 71, 73	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ≺ csdm 8958  Fincfn 8959  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  ...cfz 13524  ⌊cfl 13807  ♯chash 14348  ℙcprime 16690  πcppi 27056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-prm 16691  df-ppi 27062

This theorem is referenced by:  chtppilimlem1  27436