Theorem ppiltx 27234

Description: The prime-counting function π is strictly less than the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiltx	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem ppiltx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13040	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ppicl 27188	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) ∈ ℝ)
6		reflcl 13832	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
9	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		fzfi 14009	. . . . . 6 ⊢ (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
11		inss1 4244	. . . . . . 7 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
12		2eluzge1 12933	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
13		fzss1 13599	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
14	12, 13	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
16		nnuz 12918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
18		eluzfz1 13567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
20		1lt2 12434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
21		1re 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		2re 12337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
23	21, 22	ltnlei 11379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
24	20, 23	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
25		elfzle1 13563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 2 ≤ 1)
26	24, 25	mto 197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))
27		nelne1 3036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
28	19, 26, 27	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
29	28	necomd 2993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴)))
30		df-pss 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴))))
31	14, 29, 30	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
32		sspsstr 4117	. . . . . . 7 ⊢ ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
33	11, 31, 32	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
34		php3 9246	. . . . . 6 ⊢ (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
35	10, 33, 34	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
36		fzfi 14009	. . . . . . 7 ⊢ (2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
37		ssfi 9211	. . . . . . 7 ⊢ (((2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
38	36, 11, 37	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin
39		hashsdom 14416	. . . . . 6 ⊢ ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin) → ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴))))
40	38, 10, 39	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
41	35, 40	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))))
42	1	flcld 13834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
43		ppival2 27185	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
45		ppifl 27217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
46	1, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
47	44, 46	eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π‘𝐴))
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π‘𝐴))
49		rpge0 13045	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
50		flge0nn0 13856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
51	1, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
52		hashfz1 14381	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
53	51, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
55	41, 48, 54	3brtr3d 5178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) < (⌊‘𝐴))
56		flle 13835	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
57	9, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
58	5, 8, 9, 55, 57	ltletrd 11418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π‘𝐴) < 𝐴)
59	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
60		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (⌊‘𝐴) = 0)
61	60	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘0))
62		2pos 12366	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
63		0re 11260	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		ppieq0 27233	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2)
66	62, 65	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (π‘0) = 0
67	61, 66	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = 0)
68	59, 67	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘𝐴) = 0)
69		rpgt0 13044	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
70	69	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → 0 < 𝐴)
71	68, 70	eqbrtrd 5169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘𝐴) < 𝐴)
72		elnn0 12525	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
73	51, 72	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
74	58, 71, 73	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962   ⊊ wpss 3963   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ≺ csdm 8982  Fincfn 8983  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   < clt 11292   ≤ cle 11293  ℕcn 12263  2c2 12318  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ℝ⁺crp 13031  ...cfz 13543  ⌊cfl 13826  ♯chash 14365  ℙcprime 16704  πcppi 27151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-prm 16705  df-ppi 27157

This theorem is referenced by:  chtppilimlem1  27531