MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiltx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiltx 25687
Description: The prime-counting function π is strictly less than the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiltx (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem ppiltx
StepHypRef Expression
1 rpre 12392 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 ppicl 25641 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0red 11950 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) ∈ ℝ)
54adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π𝐴) ∈ ℝ)
6 reflcl 13161 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
87adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
91adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 fzfi 13335 . . . . . 6 (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
11 inss1 4209 . . . . . . 7 ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
12 2eluzge1 12288 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℤ‘1)
13 fzss1 12941 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
1412, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)))
15 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
16 nnuz 12275 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16syl6eleq 2928 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
18 eluzfz1 12909 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
20 1lt2 11802 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
21 1re 10635 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
22 2re 11705 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2321, 22ltnlei 10755 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
2420, 23mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ≤ 1
25 elfzle1 12905 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 2 ≤ 1)
2624, 25mto 198 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))
27 nelne1 3118 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ ¬ 1 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
2819, 26, 27sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (1...(⌊‘𝐴)) ≠ (2...(⌊‘𝐴)))
2928necomd 3076 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴)))
30 df-pss 3958 . . . . . . . 8 ((2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ≠ (1...(⌊‘𝐴))))
3114, 29, 30sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
32 sspsstr 4086 . . . . . . 7 ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ (2...(⌊‘𝐴)) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
3311, 31, 32sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴)))
34 php3 8697 . . . . . 6 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊊ (1...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
3510, 33, 34sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
36 fzfi 13335 . . . . . . 7 (2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin
37 ssfi 8732 . . . . . . 7 (((2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3836, 11, 37mp2an 688 . . . . . 6 ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin
39 hashsdom 13737 . . . . . 6 ((((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin) → ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴))))
4038, 10, 39mp2an 688 . . . . 5 ((♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) ↔ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ≺ (1...(⌊‘𝐴)))
4135, 40sylibr 235 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) < (♯‘(1...(⌊‘𝐴))))
421flcld 13163 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
43 ppival2 25638 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
45 ppifl 25670 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
461, 45syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
4744, 46eqtr3d 2863 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π𝐴))
4847adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) = (π𝐴))
49 rpge0 12397 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
50 flge0nn0 13185 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
511, 49, 50syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
52 hashfz1 13701 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
5351, 52syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
5453adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
5541, 48, 543brtr3d 5094 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π𝐴) < (⌊‘𝐴))
56 flle 13164 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
579, 56syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
585, 8, 9, 55, 57ltletrd 10794 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℕ) → (π𝐴) < 𝐴)
5946adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
60 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (⌊‘𝐴) = 0)
6160fveq2d 6673 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘0))
62 2pos 11734 . . . . . 6 0 < 2
63 0re 10637 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
64 ppieq0 25686 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘0) = 0 ↔ 0 < 2)
6662, 65mpbir 232 . . . . 5 (π‘0) = 0
6761, 66syl6eq 2877 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π‘(⌊‘𝐴)) = 0)
6859, 67eqtr3d 2863 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π𝐴) = 0)
69 rpgt0 12396 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
7069adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → 0 < 𝐴)
7168, 70eqbrtrd 5085 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) = 0) → (π𝐴) < 𝐴)
72 elnn0 11893 . . 3 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
7351, 72sylib 219 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (⌊‘𝐴) = 0))
7458, 71, 73mpjaodan 954 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  cin 3939  wss 3940  wpss 3941   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  csdm 8502  Fincfn 8503  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   < clt 10669  cle 10670  cn 11632  2c2 11686  0cn0 11891  cz 11975  cuz 12237  +crp 12384  ...cfz 12887  cfl 13155  chash 13685  cprime 16010  πcppi 25604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-prm 16011  df-ppi 25610
This theorem is referenced by:  chtppilimlem1  25982
  Copyright terms: Public domain W3C validator