Theorem hashnn0n0nn 14106

Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashnn0n0nn	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashnn0n0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
2		hashge1 14104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
3	1, 2	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
4		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5		0lt1 11497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
6		0re 10977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 10975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	6, 7	ltnlei 11096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
9	5, 8	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
10		breq2 5078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 ≤ (♯‘𝑉) ↔ 1 ≤ 0))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → ¬ 1 ≤ (♯‘𝑉))
12	11	necon2ai 2973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
14		elnnne0 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0))
15	4, 13, 14	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ)
16	15	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
17	3, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
18	17	impancom 452	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
19	18	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
20		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ↔ 𝑌 ∈ ℕ0))
21	20	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) ↔ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0)))
22		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑌 ∈ ℕ))
23	21, 22	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ) ↔ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
24	19, 23	syl5ib 243	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
25	24	imp 407	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ))
26	25	impcom 408	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  27820