Theorem hashnn0n0nn 14426

Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashnn0n0nn	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashnn0n0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
2		hashge1 14424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
3	1, 2	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
4		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5		0lt1 11735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
6		0re 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	6, 7	ltnlei 11330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
9	5, 8	mpbi 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
10		breq2 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 ≤ (♯‘𝑉) ↔ 1 ≤ 0))
11	9, 10	mtbiri 330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → ¬ 1 ≤ (♯‘𝑉))
12	11	necon2ai 2993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
14		elnnne0 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0))
15	4, 13, 14	sylanbrc 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ)
16	15	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
17	3, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
18	17	impancom 456	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
19	18	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
20		eleq1 2857	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ↔ 𝑌 ∈ ℕ0))
21	20	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) ↔ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0)))
22		eleq1 2857	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑌 ∈ ℕ))
23	21, 22	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ) ↔ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
24	19, 23	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
25	24	imp 411	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ))
26	25	impcom 412	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  29743