Theorem hashnn0n0nn 14377

Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashnn0n0nn	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashnn0n0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
2		hashge1 14375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
3	1, 2	sylan2 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
4		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5		0lt1 11761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
6		0re 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	6, 7	ltnlei 11360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
9	5, 8	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
10		breq2 5148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 ≤ (♯‘𝑉) ↔ 1 ≤ 0))
11	9, 10	mtbiri 326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → ¬ 1 ≤ (♯‘𝑉))
12	11	necon2ai 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
13	12	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
14		elnnne0 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0))
15	4, 13, 14	sylanbrc 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ)
16	15	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
17	3, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
18	17	impancom 450	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
19	18	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
20		eleq1 2813	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ↔ 𝑌 ∈ ℕ0))
21	20	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) ↔ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0)))
22		eleq1 2813	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑌 ∈ ℕ))
23	21, 22	imbi12d 343	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ) ↔ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
24	19, 23	imbitrid 243	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
25	24	imp 405	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ))
26	25	impcom 406	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∅c0 4319   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  0cc0 11133  1c1 11134   < clt 11273   ≤ cle 11274  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12497  ♯chash 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-hash 14317

This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  29306