MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnn0n0nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnn0n0nn 14104
Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashnn0n0nn (((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashnn0n0nn
StepHypRef Expression
1 ne0i 4274 . . . . . . . 8 (𝑁𝑉𝑉 ≠ ∅)
2 hashge1 14102 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
31, 2sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
4 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5 0lt1 11497 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
6 0re 10978 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
7 1re 10976 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
86, 7ltnlei 11096 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
95, 8mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 1 ≤ 0
10 breq2 5083 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 ≤ (♯‘𝑉) ↔ 1 ≤ 0))
119, 10mtbiri 327 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑉) = 0 → ¬ 1 ≤ (♯‘𝑉))
1211necon2ai 2975 . . . . . . . . . 10 (1 ≤ (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
14 elnnne0 12247 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0))
154, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ)
1615ex 413 . . . . . . 7 (1 ≤ (♯‘𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
173, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
1817impancom 452 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑉 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
1918com12 32 . . . 4 (𝑁𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
20 eleq1 2828 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0))
2120anbi2d 629 . . . . 5 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) ↔ (𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0)))
22 eleq1 2828 . . . . 5 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑌 ∈ ℕ))
2321, 22imbi12d 345 . . . 4 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ) ↔ ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
2419, 23syl5ib 243 . . 3 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
2524imp 407 . 2 (((♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ))
2625impcom 408 1 (((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  c0 4262   class class class wbr 5079  cfv 6432  0cc0 10872  1c1 10873   < clt 11010  cle 11011  cn 11973  0cn0 12233  chash 14042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-hash 14043
This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  27818
  Copyright terms: Public domain W3C validator