Theorem hashnn0n0nn 14535

Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashnn0n0nn	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashnn0n0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
2		hashge1 14533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
3	1, 2	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 1 ≤ (♯‘𝑉))
4		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5		0lt1 11838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
6		0re 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	6, 7	ltnlei 11431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
9	5, 8	mpbi 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
10		breq2 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 ≤ (♯‘𝑉) ↔ 1 ≤ 0))
11	9, 10	mtbiri 330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → ¬ 1 ≤ (♯‘𝑉))
12	11	necon2ai 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
14		elnnne0 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0))
15	4, 13, 14	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ)
16	15	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
17	3, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
18	17	impancom 457	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
19	18	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
20		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ↔ 𝑌 ∈ ℕ0))
21	20	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) ↔ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0)))
22		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑌 ∈ ℕ))
23	21, 22	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ) ↔ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
24	19, 23	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
25	24	imp 412	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ))
26	25	impcom 413	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ♯chash 14474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475

This theorem is used by:  cusgrsize2inds  30034