MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcopt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcopt 24893
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
Assertion
Ref Expression
pcopt ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃(*π‘β€˜π½)𝐹)( ≃phβ€˜π½)𝐹)

Proof of Theorem pcopt
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
21fveq1i 6883 . . . . . . . . 9 (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)) = (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜(2 Β· π‘₯))
3 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜0) = π‘Œ)
4 iiuni 24745 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) = βˆͺ II
5 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
64, 5cnf 23094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
8 0elunit 13447 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
9 ffvelcdm 7074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ βˆͺ 𝐽)
107, 8, 9sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ βˆͺ 𝐽)
113, 10eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽)
12 elii1 24802 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
13 iihalf1 24796 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1))
1412, 13sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1))
15 fvconst2g 7196 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜(2 Β· π‘₯)) = π‘Œ)
1611, 14, 15syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜(2 Β· π‘₯)) = π‘Œ)
172, 16eqtrid 2776 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)) = π‘Œ)
18 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (πΉβ€˜0) = π‘Œ)
1917, 18eqtr4d 2767 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)) = (πΉβ€˜0))
2019ifeq1d 4540 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
2120expr 456 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
22 iffalse 4530 . . . . . 6 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
23 iffalse 4530 . . . . . 6 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
2422, 23eqtr4d 2767 . . . . 5 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
2521, 24pm2.61d1 180 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
2625mpteq2dva 5239 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
27 cntop2 23089 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
29 toptopon2 22764 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
3028, 29sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
311pcoptcl 24892 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
3230, 11, 31syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
3332simp1d 1139 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
34 simpl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3533, 34pcoval 24882 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃(*π‘β€˜π½)𝐹) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
36 iffalse 4530 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
38 elii2 24803 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1))
39 iihalf2 24799 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
4137, 40eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1))
4241ex 412 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0[,]1) β†’ (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1)))
43 iftrue 4527 . . . . . . 7 (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = 0)
4443, 8eqeltrdi 2833 . . . . . 6 (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1))
4542, 44pm2.61d2 181 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1))
4645adantl 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1))
47 eqid 2724 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
4847a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
497feqmptd 6951 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
50 fveq2 6882 . . . . 5 (𝑦 = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
51 fvif 6898 . . . . 5 (πΉβ€˜if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
5250, 51eqtrdi 2780 . . . 4 (𝑦 = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
5346, 48, 49, 52fmptco 7120 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
5426, 35, 533eqtr4d 2774 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃(*π‘β€˜π½)𝐹) = (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
55 iitopon 24743 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
5655a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
5756cnmptid 23509 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn II))
588a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 0 ∈ (0[,]1))
5956, 56, 58cnmptc 23510 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
60 eqid 2724 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
61 eqid 2724 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))
62 eqid 2724 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))
63 dfii2 24746 . . . . 5 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
64 0re 11215 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 0 ∈ ℝ)
66 1re 11213 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 1 ∈ ℝ)
68 halfre 12425 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
69 halfge0 12428 . . . . . . 7 0 ≀ (1 / 2)
70 halflt1 12429 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
7168, 66, 70ltleii 11336 . . . . . . 7 (1 / 2) ≀ 1
72 elicc01 13444 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≀ 1))
7368, 69, 71, 72mpbir3an 1338 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
7473a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (1 / 2) ∈ (0[,]1))
75 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ 𝑦 = (1 / 2))
7675oveq2d 7418 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· (1 / 2)))
77 2cn 12286 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
78 2ne0 12315 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
7977, 78recidi 11944 . . . . . . . 8 (2 Β· (1 / 2)) = 1
8076, 79eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = 1)
8180oveq1d 7417 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
82 1m1e0 12283 . . . . . 6 (1 βˆ’ 1) = 0
8381, 82eqtr2di 2781 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ 0 = ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))
84 retopon 24624 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
85 iccssre 13407 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ)
8664, 68, 85mp2an 689 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ
87 resttopon 23009 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
8884, 86, 87mp2an 689 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2)))
8988a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
9089, 56, 56, 58cnmpt2c 23518 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
91 iccssre 13407 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ)
9268, 66, 91mp2an 689 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ
93 resttopon 23009 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
9484, 92, 93mp2an 689 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1))
9594a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
9695, 56cnmpt1st 23516 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))))
9762iihalf2cn 24800 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
9897a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
99 oveq2 7410 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑦))
10099oveq1d 7417 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))
10195, 56, 96, 95, 98, 100cnmpt21 23519 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
10260, 61, 62, 63, 65, 67, 74, 56, 83, 90, 101cnmpopc 24793 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
103 breq1 5142 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (1 / 2) ↔ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
104 oveq2 7410 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· π‘₯))
105104oveq1d 7417 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
106103, 105ifbieq2d 4547 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
107106adantr 480 . . . 4 ((𝑦 = π‘₯ ∧ 𝑧 = 0) β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
10856, 57, 59, 56, 56, 102, 107cnmpt12 23515 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) ∈ (II Cn II))
109 id 22 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ = 0)
110109, 69eqbrtrdi 5178 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ ≀ (1 / 2))
111110, 43syl 17 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = 0)
112 c0ex 11207 . . . . 5 0 ∈ V
113111, 47, 112fvmpt 6989 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))β€˜0) = 0)
1148, 113mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))β€˜0) = 0)
115 1elunit 13448 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
11668, 66ltnlei 11334 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ Β¬ 1 ≀ (1 / 2))
11770, 116mpbi 229 . . . . . . . 8 Β¬ 1 ≀ (1 / 2)
118 breq1 5142 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 1 ≀ (1 / 2)))
119117, 118mtbiri 327 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))
120119, 36syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
121 oveq2 7410 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 1 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 1))
122 2t1e2 12374 . . . . . . . . 9 (2 Β· 1) = 2
123121, 122eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (2 Β· π‘₯) = 2)
124123oveq1d 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = (2 βˆ’ 1))
125 2m1e1 12337 . . . . . . 7 (2 βˆ’ 1) = 1
126124, 125eqtrdi 2780 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = 1)
127120, 126eqtrd 2764 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = 1)
128 1ex 11209 . . . . 5 1 ∈ V
129127, 47, 128fvmpt 6989 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))β€˜1) = 1)
130115, 129mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))β€˜1) = 1)
13134, 108, 114, 130reparpht 24869 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))( ≃phβ€˜π½)𝐹)
13254, 131eqbrtrd 5161 1 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃(*π‘β€˜π½)𝐹)( ≃phβ€˜π½)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  ifcif 4521  {csn 4621  βˆͺ cuni 4900   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   Γ— cxp 5665  ran crn 5668   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   Β· cmul 11112   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  (,)cioo 13325  [,]cicc 13328   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388  Topctop 22739  TopOnctopon 22756   Cn ccn 23072  IIcii 24739   ≃phcphtpc 24839  *𝑝cpco 24871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-ii 24741  df-htpy 24840  df-phtpy 24841  df-phtpc 24862  df-pco 24876
This theorem is referenced by:  pcophtb  24900  pi1grplem  24920  pi1xfr  24926  pi1xfrcnvlem  24927
  Copyright terms: Public domain W3C validator