MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcopt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcopt 23034
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
Assertion
Ref Expression
pcopt ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝐹)

Proof of Theorem pcopt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
21fveq1i 6409 . . . . . . . . 9 (𝑃‘(2 · 𝑥)) = (((0[,]1) × {𝑌})‘(2 · 𝑥))
3 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹‘0) = 𝑌)
4 iiuni 22897 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) = II
5 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
64, 5cnf 21264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
76adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
8 0elunit 12511 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
9 ffvelrn 6579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝐽)
107, 8, 9sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹‘0) ∈ 𝐽)
113, 10eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝑌 𝐽)
12 elii1 22947 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
13 iihalf1 22943 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
1412, 13sylbir 226 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
15 fvconst2g 6692 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 𝐽 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘(2 · 𝑥)) = 𝑌)
1611, 14, 15syl2an 585 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (((0[,]1) × {𝑌})‘(2 · 𝑥)) = 𝑌)
172, 16syl5eq 2852 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (𝑃‘(2 · 𝑥)) = 𝑌)
18 simplr 776 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘0) = 𝑌)
1917, 18eqtr4d 2843 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (𝑃‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘0))
2019ifeq1d 4297 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
2120expr 446 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
22 iffalse 4288 . . . . . 6 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))
23 iffalse 4288 . . . . . 6 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))
2422, 23eqtr4d 2843 . . . . 5 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
2521, 24pm2.61d1 172 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
2625mpteq2dva 4938 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
27 cntop2 21259 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2827adantr 468 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
295toptopon 20935 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
3028, 29sylib 209 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
311pcoptcl 23033 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝑌 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
3230, 11, 31syl2anc 575 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
3332simp1d 1165 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
34 simpl 470 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3533, 34pcoval 23023 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
36 iffalse 4288 . . . . . . . . 9 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = ((2 · 𝑥) − 1))
3736adantl 469 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = ((2 · 𝑥) − 1))
38 elii2 22948 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
39 iihalf2 22945 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
4137, 40eqeltrd 2885 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
4241ex 399 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]1) → (¬ 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1)))
43 iftrue 4285 . . . . . . 7 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = 0)
4443, 8syl6eqel 2893 . . . . . 6 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
4542, 44pm2.61d2 173 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
4645adantl 469 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
47 eqid 2806 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))
4847a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))))
497feqmptd 6470 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦)))
50 fveq2 6408 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))))
51 fvif 6424 . . . . 5 (𝐹‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))
5250, 51syl6eq 2856 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) → (𝐹𝑦) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
5346, 48, 49, 52fmptco 6619 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
5426, 35, 533eqtr4d 2850 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))))
55 iitopon 22895 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5655a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5756cnmptid 21678 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
588a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 0 ∈ (0[,]1))
5956, 56, 58cnmptc 21679 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
60 eqid 2806 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
61 eqid 2806 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
62 eqid 2806 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
63 dfii2 22898 . . . . 5 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
64 0re 10327 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
66 1re 10325 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 1 ∈ ℝ)
68 halfre 11513 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
69 halfgt0 11515 . . . . . . . 8 0 < (1 / 2)
7064, 68, 69ltleii 10445 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 2)
71 halflt1 11517 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
7268, 66, 71ltleii 10445 . . . . . . 7 (1 / 2) ≤ 1
73 elicc01 12510 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
7468, 70, 72, 73mpbir3an 1434 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
7574a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
76 simprl 778 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
7776oveq2d 6890 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
78 2cn 11375 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
79 2ne0 11396 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
8078, 79recidi 11041 . . . . . . . 8 (2 · (1 / 2)) = 1
8177, 80syl6eq 2856 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = 1)
8281oveq1d 6889 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
83 1m1e0 11373 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
8482, 83syl6req 2857 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 0 = ((2 · 𝑦) − 1))
85 retopon 22780 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
86 iccssre 12473 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
8764, 68, 86mp2an 675 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
88 resttopon 21179 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
8985, 87, 88mp2an 675 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
9089a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
9190, 56, 56, 58cnmpt2c 21687 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
92 iccssre 12473 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
9368, 66, 92mp2an 675 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
94 resttopon 21179 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
9585, 93, 94mp2an 675 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
9695a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
9796, 56cnmpt1st 21685 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
9862iihalf2cn 22946 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
9998a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
100 oveq2 6882 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
101100oveq1d 6889 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
10296, 56, 97, 96, 99, 101cnmpt21 21688 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
10360, 61, 62, 63, 65, 67, 75, 56, 84, 91, 102cnmpt2pc 22940 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
104 breq1 4847 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
105 oveq2 6882 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))
106105oveq1d 6889 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
107104, 106ifbieq2d 4304 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑦) − 1)) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))
108107adantr 468 . . . 4 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑦) − 1)) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))
10956, 57, 59, 56, 56, 103, 108cnmpt12 21684 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) ∈ (II Cn II))
110 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
111110, 70syl6eqbr 4883 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≤ (1 / 2))
112111, 43syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = 0)
113 c0ex 10319 . . . . 5 0 ∈ V
114112, 47, 113fvmpt 6503 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘0) = 0)
1158, 114mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘0) = 0)
116 1elunit 12512 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
11768, 66ltnlei 10443 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
11871, 117mpbi 221 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
119 breq1 4847 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
120118, 119mtbiri 318 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
121120, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = ((2 · 𝑥) − 1))
122 oveq2 6882 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
123 2t1e2 11454 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
124122, 123syl6eq 2856 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
125124oveq1d 6889 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
126 2m1e1 11418 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
127125, 126syl6eq 2856 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
128121, 127eqtrd 2840 . . . . 5 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = 1)
129 1ex 10321 . . . . 5 1 ∈ V
130128, 47, 129fvmpt 6503 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘1) = 1)
131116, 130mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘1) = 1)
13234, 109, 115, 131reparpht 23010 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))))( ≃ph𝐽)𝐹)
13354, 132eqbrtrd 4866 1 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wss 3769  ifcif 4279  {csn 4370   cuni 4630   class class class wbr 4844  cmpt 4923   × cxp 5309  ran crn 5312  ccom 5315  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222   · cmul 10226   < clt 10359  cle 10360  cmin 10551   / cdiv 10969  2c2 11356  (,)cioo 12393  [,]cicc 12396  t crest 16286  topGenctg 16303  Topctop 20911  TopOnctopon 20928   Cn ccn 21242  IIcii 22891  phcphtpc 22981  *𝑝cpco 23012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-mulg 17746  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-ii 22893  df-htpy 22982  df-phtpy 22983  df-phtpc 23004  df-pco 23017
This theorem is referenced by:  pcophtb  23041  pi1grplem  23061  pi1xfr  23067  pi1xfrcnvlem  23068
  Copyright terms: Public domain W3C validator