MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcopt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcopt 24962
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
Assertion
Ref Expression
pcopt ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃(*π‘β€˜π½)𝐹)( ≃phβ€˜π½)𝐹)

Proof of Theorem pcopt
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
21fveq1i 6898 . . . . . . . . 9 (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)) = (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜(2 Β· π‘₯))
3 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜0) = π‘Œ)
4 iiuni 24814 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) = βˆͺ II
5 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
64, 5cnf 23163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
8 0elunit 13479 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
9 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ βˆͺ 𝐽)
107, 8, 9sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ βˆͺ 𝐽)
113, 10eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽)
12 elii1 24871 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
13 iihalf1 24865 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1))
1412, 13sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1))
15 fvconst2g 7214 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜(2 Β· π‘₯)) = π‘Œ)
1611, 14, 15syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜(2 Β· π‘₯)) = π‘Œ)
172, 16eqtrid 2780 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)) = π‘Œ)
18 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (πΉβ€˜0) = π‘Œ)
1917, 18eqtr4d 2771 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)) = (πΉβ€˜0))
2019ifeq1d 4548 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
2120expr 456 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
22 iffalse 4538 . . . . . 6 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
23 iffalse 4538 . . . . . 6 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
2422, 23eqtr4d 2771 . . . . 5 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
2521, 24pm2.61d1 180 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
2625mpteq2dva 5248 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
27 cntop2 23158 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
29 toptopon2 22833 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
3028, 29sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
311pcoptcl 24961 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
3230, 11, 31syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
3332simp1d 1140 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
34 simpl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3533, 34pcoval 24951 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃(*π‘β€˜π½)𝐹) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (π‘ƒβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
36 iffalse 4538 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
38 elii2 24872 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1))
39 iihalf2 24868 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
4137, 40eqeltrd 2829 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1))
4241ex 412 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0[,]1) β†’ (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1)))
43 iftrue 4535 . . . . . . 7 (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = 0)
4443, 8eqeltrdi 2837 . . . . . 6 (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1))
4542, 44pm2.61d2 181 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1))
4645adantl 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (0[,]1))
47 eqid 2728 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
4847a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
497feqmptd 6967 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
50 fveq2 6897 . . . . 5 (𝑦 = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
51 fvif 6913 . . . . 5 (πΉβ€˜if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
5250, 51eqtrdi 2784 . . . 4 (𝑦 = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
5346, 48, 49, 52fmptco 7138 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜0), (πΉβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
5426, 35, 533eqtr4d 2778 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃(*π‘β€˜π½)𝐹) = (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
55 iitopon 24812 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
5655a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
5756cnmptid 23578 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn II))
588a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 0 ∈ (0[,]1))
5956, 56, 58cnmptc 23579 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
60 eqid 2728 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
61 eqid 2728 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))
62 eqid 2728 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))
63 dfii2 24815 . . . . 5 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
64 0re 11247 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 0 ∈ ℝ)
66 1re 11245 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ 1 ∈ ℝ)
68 halfre 12457 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
69 halfge0 12460 . . . . . . 7 0 ≀ (1 / 2)
70 halflt1 12461 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
7168, 66, 70ltleii 11368 . . . . . . 7 (1 / 2) ≀ 1
72 elicc01 13476 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≀ 1))
7368, 69, 71, 72mpbir3an 1339 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
7473a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (1 / 2) ∈ (0[,]1))
75 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ 𝑦 = (1 / 2))
7675oveq2d 7436 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· (1 / 2)))
77 2cn 12318 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
78 2ne0 12347 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
7977, 78recidi 11976 . . . . . . . 8 (2 Β· (1 / 2)) = 1
8076, 79eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = 1)
8180oveq1d 7435 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
82 1m1e0 12315 . . . . . 6 (1 βˆ’ 1) = 0
8381, 82eqtr2di 2785 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ 0 = ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))
84 retopon 24693 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
85 iccssre 13439 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ)
8664, 68, 85mp2an 691 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ
87 resttopon 23078 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
8884, 86, 87mp2an 691 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2)))
8988a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
9089, 56, 56, 58cnmpt2c 23587 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
91 iccssre 13439 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ)
9268, 66, 91mp2an 691 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ
93 resttopon 23078 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
9484, 92, 93mp2an 691 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1))
9594a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
9695, 56cnmpt1st 23585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))))
9762iihalf2cn 24869 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
9897a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
99 oveq2 7428 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑦))
10099oveq1d 7435 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))
10195, 56, 96, 95, 98, 100cnmpt21 23588 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
10260, 61, 62, 63, 65, 67, 74, 56, 83, 90, 101cnmpopc 24862 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
103 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (1 / 2) ↔ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
104 oveq2 7428 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· π‘₯))
105104oveq1d 7435 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
106103, 105ifbieq2d 4555 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
107106adantr 480 . . . 4 ((𝑦 = π‘₯ ∧ 𝑧 = 0) β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
10856, 57, 59, 56, 56, 102, 107cnmpt12 23584 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) ∈ (II Cn II))
109 id 22 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ = 0)
110109, 69eqbrtrdi 5187 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ ≀ (1 / 2))
111110, 43syl 17 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = 0)
112 c0ex 11239 . . . . 5 0 ∈ V
113111, 47, 112fvmpt 7005 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))β€˜0) = 0)
1148, 113mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))β€˜0) = 0)
115 1elunit 13480 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
11668, 66ltnlei 11366 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ Β¬ 1 ≀ (1 / 2))
11770, 116mpbi 229 . . . . . . . 8 Β¬ 1 ≀ (1 / 2)
118 breq1 5151 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 1 ≀ (1 / 2)))
119117, 118mtbiri 327 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))
120119, 36syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
121 oveq2 7428 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 1 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 1))
122 2t1e2 12406 . . . . . . . . 9 (2 Β· 1) = 2
123121, 122eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (2 Β· π‘₯) = 2)
124123oveq1d 7435 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = (2 βˆ’ 1))
125 2m1e1 12369 . . . . . . 7 (2 βˆ’ 1) = 1
126124, 125eqtrdi 2784 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = 1)
127120, 126eqtrd 2768 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = 1)
128 1ex 11241 . . . . 5 1 ∈ V
129127, 47, 128fvmpt 7005 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))β€˜1) = 1)
130115, 129mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))β€˜1) = 1)
13134, 108, 114, 130reparpht 24938 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), 0, ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))( ≃phβ€˜π½)𝐹)
13254, 131eqbrtrd 5170 1 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ) β†’ (𝑃(*π‘β€˜π½)𝐹)( ≃phβ€˜π½)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  ifcif 4529  {csn 4629  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5676  ran crn 5679   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   Β· cmul 11144   < clt 11279   ≀ cle 11280   βˆ’ cmin 11475   / cdiv 11902  2c2 12298  (,)cioo 13357  [,]cicc 13360   β†Ύt crest 17402  topGenctg 17419  Topctop 22808  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141  IIcii 24808   ≃phcphtpc 24908  *𝑝cpco 24940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-ii 24810  df-htpy 24909  df-phtpy 24910  df-phtpc 24931  df-pco 24945
This theorem is referenced by:  pcophtb  24969  pi1grplem  24989  pi1xfr  24995  pi1xfrcnvlem  24996
  Copyright terms: Public domain W3C validator