Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcopt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcopt 23634
 Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
Assertion
Ref Expression
pcopt ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝐹)

Proof of Theorem pcopt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
21fveq1i 6646 . . . . . . . . 9 (𝑃‘(2 · 𝑥)) = (((0[,]1) × {𝑌})‘(2 · 𝑥))
3 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹‘0) = 𝑌)
4 iiuni 23493 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) = II
5 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
64, 5cnf 21858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
76adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
8 0elunit 12849 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
9 ffvelrn 6826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝐽)
107, 8, 9sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹‘0) ∈ 𝐽)
113, 10eqeltrrd 2891 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝑌 𝐽)
12 elii1 23547 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
13 iihalf1 23543 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
1412, 13sylbir 238 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
15 fvconst2g 6941 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 𝐽 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘(2 · 𝑥)) = 𝑌)
1611, 14, 15syl2an 598 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (((0[,]1) × {𝑌})‘(2 · 𝑥)) = 𝑌)
172, 16syl5eq 2845 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (𝑃‘(2 · 𝑥)) = 𝑌)
18 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘0) = 𝑌)
1917, 18eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (𝑃‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘0))
2019ifeq1d 4443 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
2120expr 460 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
22 iffalse 4434 . . . . . 6 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))
23 iffalse 4434 . . . . . 6 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))
2422, 23eqtr4d 2836 . . . . 5 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
2521, 24pm2.61d1 183 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
2625mpteq2dva 5125 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
27 cntop2 21853 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2827adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
29 toptopon2 21530 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
3028, 29sylib 221 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
311pcoptcl 23633 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝑌 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
3230, 11, 31syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
3332simp1d 1139 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
34 simpl 486 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3533, 34pcoval 23623 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
36 iffalse 4434 . . . . . . . . 9 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = ((2 · 𝑥) − 1))
3736adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = ((2 · 𝑥) − 1))
38 elii2 23548 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
39 iihalf2 23545 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
4137, 40eqeltrd 2890 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
4241ex 416 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]1) → (¬ 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1)))
43 iftrue 4431 . . . . . . 7 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = 0)
4443, 8eqeltrdi 2898 . . . . . 6 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
4542, 44pm2.61d2 184 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
4645adantl 485 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
47 eqid 2798 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))
4847a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))))
497feqmptd 6708 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦)))
50 fveq2 6645 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))))
51 fvif 6661 . . . . 5 (𝐹‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))
5250, 51eqtrdi 2849 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) → (𝐹𝑦) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
5346, 48, 49, 52fmptco 6868 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
5426, 35, 533eqtr4d 2843 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))))
55 iitopon 23491 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5655a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5756cnmptid 22273 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
588a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 0 ∈ (0[,]1))
5956, 56, 58cnmptc 22274 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
60 eqid 2798 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
61 eqid 2798 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
62 eqid 2798 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
63 dfii2 23494 . . . . 5 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
64 0re 10634 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
66 1re 10632 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 1 ∈ ℝ)
68 halfre 11841 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
69 halfge0 11844 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 2)
70 halflt1 11845 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
7168, 66, 70ltleii 10754 . . . . . . 7 (1 / 2) ≤ 1
72 elicc01 12846 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
7368, 69, 71, 72mpbir3an 1338 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
7473a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
75 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
7675oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
77 2cn 11702 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
78 2ne0 11731 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
7977, 78recidi 11362 . . . . . . . 8 (2 · (1 / 2)) = 1
8076, 79eqtrdi 2849 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = 1)
8180oveq1d 7150 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
82 1m1e0 11699 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
8381, 82eqtr2di 2850 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 0 = ((2 · 𝑦) − 1))
84 retopon 23376 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
85 iccssre 12809 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
8664, 68, 85mp2an 691 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
87 resttopon 21773 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
8884, 86, 87mp2an 691 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
8988a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
9089, 56, 56, 58cnmpt2c 22282 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
91 iccssre 12809 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
9268, 66, 91mp2an 691 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
93 resttopon 21773 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
9484, 92, 93mp2an 691 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
9594a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
9695, 56cnmpt1st 22280 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
9762iihalf2cn 23546 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
9897a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
99 oveq2 7143 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
10099oveq1d 7150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
10195, 56, 96, 95, 98, 100cnmpt21 22283 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
10260, 61, 62, 63, 65, 67, 74, 56, 83, 90, 101cnmpopc 23540 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
103 breq1 5033 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
104 oveq2 7143 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))
105104oveq1d 7150 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
106103, 105ifbieq2d 4450 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑦) − 1)) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))
107106adantr 484 . . . 4 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑦) − 1)) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))
10856, 57, 59, 56, 56, 102, 107cnmpt12 22279 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) ∈ (II Cn II))
109 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
110109, 69eqbrtrdi 5069 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≤ (1 / 2))
111110, 43syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = 0)
112 c0ex 10626 . . . . 5 0 ∈ V
113111, 47, 112fvmpt 6745 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘0) = 0)
1148, 113mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘0) = 0)
115 1elunit 12850 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
11668, 66ltnlei 10752 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
11770, 116mpbi 233 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
118 breq1 5033 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
119117, 118mtbiri 330 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
120119, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = ((2 · 𝑥) − 1))
121 oveq2 7143 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
122 2t1e2 11790 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
123121, 122eqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
124123oveq1d 7150 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
125 2m1e1 11753 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
126124, 125eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
127120, 126eqtrd 2833 . . . . 5 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = 1)
128 1ex 10628 . . . . 5 1 ∈ V
129127, 47, 128fvmpt 6745 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘1) = 1)
130115, 129mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘1) = 1)
13134, 108, 114, 130reparpht 23610 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))))( ≃ph𝐽)𝐹)
13254, 131eqbrtrd 5052 1 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  {csn 4525  ∪ cuni 4800   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ran crn 5520   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10527  0cc0 10528  1c1 10529   · cmul 10533   < clt 10666   ≤ cle 10667   − cmin 10861   / cdiv 11288  2c2 11682  (,)cioo 12728  [,]cicc 12731   ↾t crest 16688  topGenctg 16705  Topctop 21505  TopOnctopon 21522   Cn ccn 21836  IIcii 23487   ≃phcphtpc 23581  *𝑝cpco 23612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607  ax-mulf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936  df-ii 23489  df-htpy 23582  df-phtpy 23583  df-phtpc 23604  df-pco 23617 This theorem is referenced by:  pcophtb  23641  pi1grplem  23661  pi1xfr  23667  pi1xfrcnvlem  23668
 Copyright terms: Public domain W3C validator