MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem1 26566
Description: Lemma for ppiub 26568. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ppiublem1.1 (๐‘ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
ppiublem1.2 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
ppiublem1.3 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
ppiublem1.4 (2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ 3 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘€ โˆˆ {1, 5})
Assertion
Ref Expression
ppiublem1 (๐‘€ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))

Proof of Theorem ppiublem1
StepHypRef Expression
1 ppiublem1.1 . . . . . 6 (๐‘ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
21simpli 485 . . . . 5 ๐‘ โ‰ค 6
3 ppiublem1.3 . . . . 5 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
4 df-6 12227 . . . . 5 6 = (5 + 1)
52, 3, 43brtr3i 5139 . . . 4 (๐‘€ + 1) โ‰ค (5 + 1)
6 ppiublem1.2 . . . . . 6 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
76nn0rei 12431 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„
8 5re 12247 . . . . 5 5 โˆˆ โ„
9 1re 11162 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
107, 8, 9leadd1i 11717 . . . 4 (๐‘€ โ‰ค 5 โ†” (๐‘€ + 1) โ‰ค (5 + 1))
115, 10mpbir 230 . . 3 ๐‘€ โ‰ค 5
12 6re 12250 . . . 4 6 โˆˆ โ„
13 5lt6 12341 . . . 4 5 < 6
148, 12, 13ltleii 11285 . . 3 5 โ‰ค 6
157, 8, 12letri 11291 . . 3 ((๐‘€ โ‰ค 5 โˆง 5 โ‰ค 6) โ†’ ๐‘€ โ‰ค 6)
1611, 14, 15mp2an 691 . 2 ๐‘€ โ‰ค 6
176nn0zi 12535 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
18 5nn 12246 . . . . . 6 5 โˆˆ โ„•
1918nnzi 12534 . . . . 5 5 โˆˆ โ„ค
20 eluz2 12776 . . . . 5 (5 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 5 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค 5))
2117, 19, 11, 20mpbir3an 1342 . . . 4 5 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
22 elfzp12 13527 . . . 4 (5 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†” ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โˆจ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5))))
2321, 22ax-mp 5 . . 3 ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†” ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โˆจ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5)))
24 ppiublem1.4 . . . . 5 (2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ 3 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘€ โˆˆ {1, 5})
25 2nn 12233 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
26 6nn 12249 . . . . . . . . . . 11 6 โˆˆ โ„•
27 prmz 16558 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
29 3z 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 3 โˆˆ โ„ค
30 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„ค
31 dvdsmul2 16168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (3 ยท 2))
3229, 30, 31mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆฅ (3 ยท 2)
33 3t2e6 12326 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ยท 2) = 6
3432, 33breqtri 5135 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆฅ 6
35 dvdsmod 16218 . . . . . . . . . . . 12 (((2 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง 2 โˆฅ 6) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
3634, 35mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
3725, 26, 28, 36mp3an12i 1466 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
38 uzid 12785 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3930, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
40 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
41 dvdsprm 16586 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 2 = ๐‘ƒ))
4239, 40, 41sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 2 = ๐‘ƒ))
4337, 42bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 = ๐‘ƒ))
44 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ 4 โ‰ค ๐‘ƒ)
45 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (2 = ๐‘ƒ โ†’ (4 โ‰ค 2 โ†” 4 โ‰ค ๐‘ƒ))
4644, 45syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 = ๐‘ƒ โ†’ 4 โ‰ค 2))
47 2lt4 12335 . . . . . . . . . . . 12 2 < 4
48 2re 12234 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
49 4re 12244 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
5048, 49ltnlei 11283 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 4 โ†” ยฌ 4 โ‰ค 2)
5147, 50mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 4 โ‰ค 2
5251pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 โ‰ค 2 โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})
5346, 52syl6 35 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
5443, 53sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
55 breq2 5114 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘€))
5655imbi1d 342 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ ((2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}) โ†” (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
5754, 56syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
5857com3r 87 . . . . . 6 (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
59 3nn 12239 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•
60 dvdsmul1 16167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 3 โˆฅ (3 ยท 2))
6129, 30, 60mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆฅ (3 ยท 2)
6261, 33breqtri 5135 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆฅ 6
63 dvdsmod 16218 . . . . . . . . . . . 12 (((3 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง 3 โˆฅ 6) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘ƒ))
6462, 63mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 ((3 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘ƒ))
6559, 26, 28, 64mp3an12i 1466 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘ƒ))
66 df-3 12224 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
67 peano2uz 12833 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6839, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
6966, 68eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
70 dvdsprm 16586 . . . . . . . . . . 11 ((3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (3 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 3 = ๐‘ƒ))
7169, 40, 70sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 3 = ๐‘ƒ))
7265, 71bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 = ๐‘ƒ))
73 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (3 = ๐‘ƒ โ†’ (4 โ‰ค 3 โ†” 4 โ‰ค ๐‘ƒ))
7444, 73syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 = ๐‘ƒ โ†’ 4 โ‰ค 3))
75 3lt4 12334 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
76 3re 12240 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
7776, 49ltnlei 11283 . . . . . . . . . . . 12 (3 < 4 โ†” ยฌ 4 โ‰ค 3)
7875, 77mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 4 โ‰ค 3
7978pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 โ‰ค 3 โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})
8074, 79syl6 35 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
8172, 80sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
82 breq2 5114 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘€))
8382imbi1d 342 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ ((3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}) โ†” (3 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8481, 83syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (3 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8584com3r 87 . . . . . 6 (3 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
86 eleq1a 2833 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ {1, 5} โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
8786a1d 25 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ {1, 5} โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8858, 85, 873jaoi 1428 . . . . 5 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ 3 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘€ โˆˆ {1, 5}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8924, 88ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
903oveq1i 7372 . . . . . 6 (๐‘...5) = ((๐‘€ + 1)...5)
9190eleq2i 2830 . . . . 5 ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†” (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5))
921simpri 487 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9391, 92biimtrrid 242 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9489, 93jaod 858 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โˆจ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5)) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9523, 94biimtrid 241 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9616, 95pm3.2i 472 1 (๐‘€ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1087   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cpr 4593   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431   mod cmo 13781   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  ppiublem2  26567
  Copyright terms: Public domain W3C validator