MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem1 25464
Description: Lemma for ppiub 25466. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ppiublem1.1 (𝑁 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
ppiublem1.2 𝑀 ∈ ℕ0
ppiublem1.3 𝑁 = (𝑀 + 1)
ppiublem1.4 (2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5})
Assertion
Ref Expression
ppiublem1 (𝑀 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))

Proof of Theorem ppiublem1
StepHypRef Expression
1 ppiublem1.1 . . . . . 6 (𝑁 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
21simpli 484 . . . . 5 𝑁 ≤ 6
3 ppiublem1.3 . . . . 5 𝑁 = (𝑀 + 1)
4 df-6 11558 . . . . 5 6 = (5 + 1)
52, 3, 43brtr3i 4997 . . . 4 (𝑀 + 1) ≤ (5 + 1)
6 ppiublem1.2 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ0
76nn0rei 11762 . . . . 5 𝑀 ∈ ℝ
8 5re 11578 . . . . 5 5 ∈ ℝ
9 1re 10494 . . . . 5 1 ∈ ℝ
107, 8, 9leadd1i 11049 . . . 4 (𝑀 ≤ 5 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (5 + 1))
115, 10mpbir 232 . . 3 𝑀 ≤ 5
12 6re 11581 . . . 4 6 ∈ ℝ
13 5lt6 11672 . . . 4 5 < 6
148, 12, 13ltleii 10616 . . 3 5 ≤ 6
157, 8, 12letri 10622 . . 3 ((𝑀 ≤ 5 ∧ 5 ≤ 6) → 𝑀 ≤ 6)
1611, 14, 15mp2an 688 . 2 𝑀 ≤ 6
176nn0zi 11861 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ
18 5nn 11577 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
1918nnzi 11860 . . . . 5 5 ∈ ℤ
20 eluz2 12103 . . . . 5 (5 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 5))
2117, 19, 11, 20mpbir3an 1334 . . . 4 5 ∈ (ℤ𝑀)
22 elfzp12 12840 . . . 4 (5 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) ↔ ((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5))))
2321, 22ax-mp 5 . . 3 ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) ↔ ((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5)))
24 ppiublem1.4 . . . . 5 (2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5})
25 2nn 11564 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
26 6nn 11580 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℕ
27 prmz 15852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
29 3z 11869 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℤ
30 2z 11868 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
31 dvdsmul2 15469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (3 · 2))
3229, 30, 31mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ (3 · 2)
33 3t2e6 11657 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
3432, 33breqtri 4993 . . . . . . . . . . . 12 2 ∥ 6
35 dvdsmod 15515 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 6) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
3634, 35mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
3725, 26, 28, 36mp3an12i 1457 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
38 uzid 12112 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
3930, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (ℤ‘2)
40 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
41 dvdsprm 15880 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
4239, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
4337, 42bitrd 280 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 = 𝑃))
44 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃)
45 breq2 4972 . . . . . . . . . . 11 (2 = 𝑃 → (4 ≤ 2 ↔ 4 ≤ 𝑃))
4644, 45syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 = 𝑃 → 4 ≤ 2))
47 2lt4 11666 . . . . . . . . . . . 12 2 < 4
48 2re 11565 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
49 4re 11575 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
5048, 49ltnlei 10614 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 2)
5147, 50mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ≤ 2
5251pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 ≤ 2 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
5346, 52syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 = 𝑃 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
5443, 53sylbid 241 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
55 breq2 4972 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑀))
5655imbi1d 343 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → ((2 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}) ↔ (2 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5754, 56syl5ibcom 246 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (2 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5857com3r 87 . . . . . 6 (2 ∥ 𝑀 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
59 3nn 11570 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
60 dvdsmul1 15468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 2))
6129, 30, 60mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∥ (3 · 2)
6261, 33breqtri 4993 . . . . . . . . . . . 12 3 ∥ 6
63 dvdsmod 15515 . . . . . . . . . . . 12 (((3 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ 6) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
6462, 63mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
6559, 26, 28, 64mp3an12i 1457 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
66 df-3 11555 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
67 peano2uz 12154 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ (ℤ‘2) → (2 + 1) ∈ (ℤ‘2))
6839, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) ∈ (ℤ‘2)
6966, 68eqeltri 2881 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ (ℤ‘2)
70 dvdsprm 15880 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (3 ∥ 𝑃 ↔ 3 = 𝑃))
7169, 40, 70sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ 𝑃 ↔ 3 = 𝑃))
7265, 71bitrd 280 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 = 𝑃))
73 breq2 4972 . . . . . . . . . . 11 (3 = 𝑃 → (4 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 𝑃))
7444, 73syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 = 𝑃 → 4 ≤ 3))
75 3lt4 11665 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
76 3re 11571 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
7776, 49ltnlei 10614 . . . . . . . . . . . 12 (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3)
7875, 77mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ≤ 3
7978pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 ≤ 3 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
8074, 79syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 = 𝑃 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
8172, 80sylbid 241 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
82 breq2 4972 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑀))
8382imbi1d 343 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → ((3 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}) ↔ (3 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8481, 83syl5ibcom 246 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (3 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8584com3r 87 . . . . . 6 (3 ∥ 𝑀 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
86 eleq1a 2880 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {1, 5} → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
8786a1d 25 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {1, 5} → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8858, 85, 873jaoi 1420 . . . . 5 ((2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5}) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8924, 88ax-mp 5 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
903oveq1i 7033 . . . . . 6 (𝑁...5) = ((𝑀 + 1)...5)
9190eleq2i 2876 . . . . 5 ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) ↔ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5))
921simpri 486 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9391, 92syl5bir 244 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9489, 93jaod 854 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5)) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9523, 94syl5bi 243 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9616, 95pm3.2i 471 1 (𝑀 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3o 1079  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  {cpr 4480   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395   < clt 10528  cle 10529  cn 11492  2c2 11546  3c3 11547  4c4 11548  5c5 11549  6c6 11550  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  ...cfz 12746   mod cmo 13091  cdvds 15444  cprime 15848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-dvds 15445  df-prm 15849
This theorem is referenced by:  ppiublem2  25465
  Copyright terms: Public domain W3C validator