MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem1 27153
Description: Lemma for ppiub 27155. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ppiublem1.1 (๐‘ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
ppiublem1.2 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
ppiublem1.3 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
ppiublem1.4 (2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ 3 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘€ โˆˆ {1, 5})
Assertion
Ref Expression
ppiublem1 (๐‘€ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))

Proof of Theorem ppiublem1
StepHypRef Expression
1 ppiublem1.1 . . . . . 6 (๐‘ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
21simpli 482 . . . . 5 ๐‘ โ‰ค 6
3 ppiublem1.3 . . . . 5 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
4 df-6 12309 . . . . 5 6 = (5 + 1)
52, 3, 43brtr3i 5172 . . . 4 (๐‘€ + 1) โ‰ค (5 + 1)
6 ppiublem1.2 . . . . . 6 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
76nn0rei 12513 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„
8 5re 12329 . . . . 5 5 โˆˆ โ„
9 1re 11244 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
107, 8, 9leadd1i 11799 . . . 4 (๐‘€ โ‰ค 5 โ†” (๐‘€ + 1) โ‰ค (5 + 1))
115, 10mpbir 230 . . 3 ๐‘€ โ‰ค 5
12 6re 12332 . . . 4 6 โˆˆ โ„
13 5lt6 12423 . . . 4 5 < 6
148, 12, 13ltleii 11367 . . 3 5 โ‰ค 6
157, 8, 12letri 11373 . . 3 ((๐‘€ โ‰ค 5 โˆง 5 โ‰ค 6) โ†’ ๐‘€ โ‰ค 6)
1611, 14, 15mp2an 690 . 2 ๐‘€ โ‰ค 6
176nn0zi 12617 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
18 5nn 12328 . . . . . 6 5 โˆˆ โ„•
1918nnzi 12616 . . . . 5 5 โˆˆ โ„ค
20 eluz2 12858 . . . . 5 (5 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 5 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค 5))
2117, 19, 11, 20mpbir3an 1338 . . . 4 5 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
22 elfzp12 13612 . . . 4 (5 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†” ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โˆจ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5))))
2321, 22ax-mp 5 . . 3 ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†” ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โˆจ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5)))
24 ppiublem1.4 . . . . 5 (2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ 3 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘€ โˆˆ {1, 5})
25 2nn 12315 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
26 6nn 12331 . . . . . . . . . . 11 6 โˆˆ โ„•
27 prmz 16645 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2827adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
29 3z 12625 . . . . . . . . . . . . . 14 3 โˆˆ โ„ค
30 2z 12624 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„ค
31 dvdsmul2 16255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (3 ยท 2))
3229, 30, 31mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆฅ (3 ยท 2)
33 3t2e6 12408 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ยท 2) = 6
3432, 33breqtri 5168 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆฅ 6
35 dvdsmod 16305 . . . . . . . . . . . 12 (((2 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง 2 โˆฅ 6) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
3634, 35mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
3725, 26, 28, 36mp3an12i 1461 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
38 uzid 12867 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3930, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
40 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
41 dvdsprm 16673 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 2 = ๐‘ƒ))
4239, 40, 41sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 2 = ๐‘ƒ))
4337, 42bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 = ๐‘ƒ))
44 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ 4 โ‰ค ๐‘ƒ)
45 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (2 = ๐‘ƒ โ†’ (4 โ‰ค 2 โ†” 4 โ‰ค ๐‘ƒ))
4644, 45syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 = ๐‘ƒ โ†’ 4 โ‰ค 2))
47 2lt4 12417 . . . . . . . . . . . 12 2 < 4
48 2re 12316 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
49 4re 12326 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
5048, 49ltnlei 11365 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 4 โ†” ยฌ 4 โ‰ค 2)
5147, 50mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 4 โ‰ค 2
5251pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 โ‰ค 2 โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})
5346, 52syl6 35 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
5443, 53sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
55 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘€))
5655imbi1d 340 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ ((2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}) โ†” (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
5754, 56syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
5857com3r 87 . . . . . 6 (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
59 3nn 12321 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•
60 dvdsmul1 16254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 3 โˆฅ (3 ยท 2))
6129, 30, 60mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆฅ (3 ยท 2)
6261, 33breqtri 5168 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆฅ 6
63 dvdsmod 16305 . . . . . . . . . . . 12 (((3 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง 3 โˆฅ 6) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘ƒ))
6462, 63mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 ((3 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘ƒ))
6559, 26, 28, 64mp3an12i 1461 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘ƒ))
66 df-3 12306 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
67 peano2uz 12915 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6839, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
6966, 68eqeltri 2821 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
70 dvdsprm 16673 . . . . . . . . . . 11 ((3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (3 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 3 = ๐‘ƒ))
7169, 40, 70sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 3 = ๐‘ƒ))
7265, 71bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 = ๐‘ƒ))
73 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (3 = ๐‘ƒ โ†’ (4 โ‰ค 3 โ†” 4 โ‰ค ๐‘ƒ))
7444, 73syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 = ๐‘ƒ โ†’ 4 โ‰ค 3))
75 3lt4 12416 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
76 3re 12322 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
7776, 49ltnlei 11365 . . . . . . . . . . . 12 (3 < 4 โ†” ยฌ 4 โ‰ค 3)
7875, 77mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 4 โ‰ค 3
7978pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 โ‰ค 3 โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})
8074, 79syl6 35 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
8172, 80sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
82 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘€))
8382imbi1d 340 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ ((3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}) โ†” (3 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8481, 83syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (3 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8584com3r 87 . . . . . 6 (3 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
86 eleq1a 2820 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ {1, 5} โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
8786a1d 25 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ {1, 5} โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8858, 85, 873jaoi 1424 . . . . 5 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ 3 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘€ โˆˆ {1, 5}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8924, 88ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
903oveq1i 7426 . . . . . 6 (๐‘...5) = ((๐‘€ + 1)...5)
9190eleq2i 2817 . . . . 5 ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†” (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5))
921simpri 484 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9391, 92biimtrrid 242 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9489, 93jaod 857 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โˆจ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5)) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9523, 94biimtrid 241 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9616, 95pm3.2i 469 1 (๐‘€ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆจ w3o 1083   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cpr 4626   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279  โ„•cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  ...cfz 13516   mod cmo 13866   โˆฅ cdvds 16230  โ„™cprime 16641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-prm 16642
This theorem is referenced by:  ppiublem2  27154
  Copyright terms: Public domain W3C validator