MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem1 27090
Description: Lemma for ppiub 27092. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ppiublem1.1 (๐‘ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
ppiublem1.2 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
ppiublem1.3 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
ppiublem1.4 (2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ 3 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘€ โˆˆ {1, 5})
Assertion
Ref Expression
ppiublem1 (๐‘€ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))

Proof of Theorem ppiublem1
StepHypRef Expression
1 ppiublem1.1 . . . . . 6 (๐‘ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
21simpli 483 . . . . 5 ๐‘ โ‰ค 6
3 ppiublem1.3 . . . . 5 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
4 df-6 12283 . . . . 5 6 = (5 + 1)
52, 3, 43brtr3i 5170 . . . 4 (๐‘€ + 1) โ‰ค (5 + 1)
6 ppiublem1.2 . . . . . 6 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
76nn0rei 12487 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„
8 5re 12303 . . . . 5 5 โˆˆ โ„
9 1re 11218 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
107, 8, 9leadd1i 11773 . . . 4 (๐‘€ โ‰ค 5 โ†” (๐‘€ + 1) โ‰ค (5 + 1))
115, 10mpbir 230 . . 3 ๐‘€ โ‰ค 5
12 6re 12306 . . . 4 6 โˆˆ โ„
13 5lt6 12397 . . . 4 5 < 6
148, 12, 13ltleii 11341 . . 3 5 โ‰ค 6
157, 8, 12letri 11347 . . 3 ((๐‘€ โ‰ค 5 โˆง 5 โ‰ค 6) โ†’ ๐‘€ โ‰ค 6)
1611, 14, 15mp2an 689 . 2 ๐‘€ โ‰ค 6
176nn0zi 12591 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
18 5nn 12302 . . . . . 6 5 โˆˆ โ„•
1918nnzi 12590 . . . . 5 5 โˆˆ โ„ค
20 eluz2 12832 . . . . 5 (5 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 5 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค 5))
2117, 19, 11, 20mpbir3an 1338 . . . 4 5 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
22 elfzp12 13586 . . . 4 (5 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†” ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โˆจ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5))))
2321, 22ax-mp 5 . . 3 ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†” ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โˆจ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5)))
24 ppiublem1.4 . . . . 5 (2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ 3 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘€ โˆˆ {1, 5})
25 2nn 12289 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
26 6nn 12305 . . . . . . . . . . 11 6 โˆˆ โ„•
27 prmz 16619 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
29 3z 12599 . . . . . . . . . . . . . 14 3 โˆˆ โ„ค
30 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„ค
31 dvdsmul2 16229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (3 ยท 2))
3229, 30, 31mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆฅ (3 ยท 2)
33 3t2e6 12382 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ยท 2) = 6
3432, 33breqtri 5166 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆฅ 6
35 dvdsmod 16279 . . . . . . . . . . . 12 (((2 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง 2 โˆฅ 6) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
3634, 35mpan2 688 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
3725, 26, 28, 36mp3an12i 1461 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
38 uzid 12841 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3930, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
40 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
41 dvdsprm 16647 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 2 = ๐‘ƒ))
4239, 40, 41sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 2 = ๐‘ƒ))
4337, 42bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 = ๐‘ƒ))
44 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ 4 โ‰ค ๐‘ƒ)
45 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (2 = ๐‘ƒ โ†’ (4 โ‰ค 2 โ†” 4 โ‰ค ๐‘ƒ))
4644, 45syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 = ๐‘ƒ โ†’ 4 โ‰ค 2))
47 2lt4 12391 . . . . . . . . . . . 12 2 < 4
48 2re 12290 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
49 4re 12300 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
5048, 49ltnlei 11339 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 4 โ†” ยฌ 4 โ‰ค 2)
5147, 50mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 4 โ‰ค 2
5251pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 โ‰ค 2 โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})
5346, 52syl6 35 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
5443, 53sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
55 breq2 5145 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 2 โˆฅ ๐‘€))
5655imbi1d 341 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ ((2 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}) โ†” (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
5754, 56syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
5857com3r 87 . . . . . 6 (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
59 3nn 12295 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•
60 dvdsmul1 16228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 3 โˆฅ (3 ยท 2))
6129, 30, 60mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆฅ (3 ยท 2)
6261, 33breqtri 5166 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆฅ 6
63 dvdsmod 16279 . . . . . . . . . . . 12 (((3 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง 3 โˆฅ 6) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘ƒ))
6462, 63mpan2 688 . . . . . . . . . . 11 ((3 โˆˆ โ„• โˆง 6 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘ƒ))
6559, 26, 28, 64mp3an12i 1461 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘ƒ))
66 df-3 12280 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
67 peano2uz 12889 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6839, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
6966, 68eqeltri 2823 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
70 dvdsprm 16647 . . . . . . . . . . 11 ((3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (3 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 3 = ๐‘ƒ))
7169, 40, 70sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” 3 = ๐‘ƒ))
7265, 71bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 = ๐‘ƒ))
73 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (3 = ๐‘ƒ โ†’ (4 โ‰ค 3 โ†” 4 โ‰ค ๐‘ƒ))
7444, 73syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 = ๐‘ƒ โ†’ 4 โ‰ค 3))
75 3lt4 12390 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
76 3re 12296 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
7776, 49ltnlei 11339 . . . . . . . . . . . 12 (3 < 4 โ†” ยฌ 4 โ‰ค 3)
7875, 77mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 4 โ‰ค 3
7978pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 โ‰ค 3 โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})
8074, 79syl6 35 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
8172, 80sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
82 breq2 5145 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†” 3 โˆฅ ๐‘€))
8382imbi1d 341 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ ((3 โˆฅ (๐‘ƒ mod 6) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}) โ†” (3 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8481, 83syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (3 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8584com3r 87 . . . . . 6 (3 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
86 eleq1a 2822 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ {1, 5} โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
8786a1d 25 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ {1, 5} โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8858, 85, 873jaoi 1424 . . . . 5 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ 3 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐‘€ โˆˆ {1, 5}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
8924, 88ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
903oveq1i 7415 . . . . . 6 (๐‘...5) = ((๐‘€ + 1)...5)
9190eleq2i 2819 . . . . 5 ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†” (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5))
921simpri 485 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9391, 92biimtrrid 242 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9489, 93jaod 856 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ mod 6) = ๐‘€ โˆจ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ ((๐‘€ + 1)...5)) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9523, 94biimtrid 241 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5}))
9616, 95pm3.2i 470 1 (๐‘€ โ‰ค 6 โˆง ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ mod 6) โˆˆ (๐‘€...5) โ†’ (๐‘ƒ mod 6) โˆˆ {1, 5})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆจ w3o 1083   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cpr 4625   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490   mod cmo 13840   โˆฅ cdvds 16204  โ„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  ppiublem2  27091
  Copyright terms: Public domain W3C validator