MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem1 27246
Description: Lemma for ppiub 27248. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ppiublem1.1 (𝑁 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
ppiublem1.2 𝑀 ∈ ℕ0
ppiublem1.3 𝑁 = (𝑀 + 1)
ppiublem1.4 (2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5})
Assertion
Ref Expression
ppiublem1 (𝑀 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))

Proof of Theorem ppiublem1
StepHypRef Expression
1 ppiublem1.1 . . . . . 6 (𝑁 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
21simpli 483 . . . . 5 𝑁 ≤ 6
3 ppiublem1.3 . . . . 5 𝑁 = (𝑀 + 1)
4 df-6 12333 . . . . 5 6 = (5 + 1)
52, 3, 43brtr3i 5172 . . . 4 (𝑀 + 1) ≤ (5 + 1)
6 ppiublem1.2 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ0
76nn0rei 12537 . . . . 5 𝑀 ∈ ℝ
8 5re 12353 . . . . 5 5 ∈ ℝ
9 1re 11261 . . . . 5 1 ∈ ℝ
107, 8, 9leadd1i 11818 . . . 4 (𝑀 ≤ 5 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (5 + 1))
115, 10mpbir 231 . . 3 𝑀 ≤ 5
12 6re 12356 . . . 4 6 ∈ ℝ
13 5lt6 12447 . . . 4 5 < 6
148, 12, 13ltleii 11384 . . 3 5 ≤ 6
157, 8, 12letri 11390 . . 3 ((𝑀 ≤ 5 ∧ 5 ≤ 6) → 𝑀 ≤ 6)
1611, 14, 15mp2an 692 . 2 𝑀 ≤ 6
176nn0zi 12642 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ
18 5nn 12352 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
1918nnzi 12641 . . . . 5 5 ∈ ℤ
20 eluz2 12884 . . . . 5 (5 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 5))
2117, 19, 11, 20mpbir3an 1342 . . . 4 5 ∈ (ℤ𝑀)
22 elfzp12 13643 . . . 4 (5 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) ↔ ((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5))))
2321, 22ax-mp 5 . . 3 ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) ↔ ((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5)))
24 ppiublem1.4 . . . . 5 (2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5})
25 2nn 12339 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
26 6nn 12355 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℕ
27 prmz 16712 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
29 3z 12650 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℤ
30 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
31 dvdsmul2 16316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (3 · 2))
3229, 30, 31mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ (3 · 2)
33 3t2e6 12432 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
3432, 33breqtri 5168 . . . . . . . . . . . 12 2 ∥ 6
35 dvdsmod 16366 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 6) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
3634, 35mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
3725, 26, 28, 36mp3an12i 1467 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
38 uzid 12893 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
3930, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (ℤ‘2)
40 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
41 dvdsprm 16740 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
4239, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
4337, 42bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 = 𝑃))
44 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃)
45 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (2 = 𝑃 → (4 ≤ 2 ↔ 4 ≤ 𝑃))
4644, 45syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 = 𝑃 → 4 ≤ 2))
47 2lt4 12441 . . . . . . . . . . . 12 2 < 4
48 2re 12340 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
49 4re 12350 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
5048, 49ltnlei 11382 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 2)
5147, 50mpbi 230 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ≤ 2
5251pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 ≤ 2 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
5346, 52syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 = 𝑃 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
5443, 53sylbid 240 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
55 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑀))
5655imbi1d 341 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → ((2 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}) ↔ (2 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5754, 56syl5ibcom 245 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (2 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5857com3r 87 . . . . . 6 (2 ∥ 𝑀 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
59 3nn 12345 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
60 dvdsmul1 16315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 2))
6129, 30, 60mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∥ (3 · 2)
6261, 33breqtri 5168 . . . . . . . . . . . 12 3 ∥ 6
63 dvdsmod 16366 . . . . . . . . . . . 12 (((3 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ 6) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
6462, 63mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
6559, 26, 28, 64mp3an12i 1467 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
66 df-3 12330 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
67 peano2uz 12943 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ (ℤ‘2) → (2 + 1) ∈ (ℤ‘2))
6839, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) ∈ (ℤ‘2)
6966, 68eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ (ℤ‘2)
70 dvdsprm 16740 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (3 ∥ 𝑃 ↔ 3 = 𝑃))
7169, 40, 70sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ 𝑃 ↔ 3 = 𝑃))
7265, 71bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 = 𝑃))
73 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (3 = 𝑃 → (4 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 𝑃))
7444, 73syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 = 𝑃 → 4 ≤ 3))
75 3lt4 12440 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
76 3re 12346 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
7776, 49ltnlei 11382 . . . . . . . . . . . 12 (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3)
7875, 77mpbi 230 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ≤ 3
7978pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 ≤ 3 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
8074, 79syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 = 𝑃 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
8172, 80sylbid 240 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
82 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑀))
8382imbi1d 341 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → ((3 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}) ↔ (3 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8481, 83syl5ibcom 245 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (3 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8584com3r 87 . . . . . 6 (3 ∥ 𝑀 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
86 eleq1a 2836 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {1, 5} → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
8786a1d 25 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {1, 5} → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8858, 85, 873jaoi 1430 . . . . 5 ((2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5}) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8924, 88ax-mp 5 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
903oveq1i 7441 . . . . . 6 (𝑁...5) = ((𝑀 + 1)...5)
9190eleq2i 2833 . . . . 5 ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) ↔ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5))
921simpri 485 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9391, 92biimtrrid 243 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9489, 93jaod 860 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5)) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9523, 94biimtrid 242 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9616, 95pm3.2i 470 1 (𝑀 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547   mod cmo 13909  cdvds 16290  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  ppiublem2  27247
  Copyright terms: Public domain W3C validator