Theorem sadcadd 16349

Description: Non-recursive definition of the carry sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadcadd	⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sadcp1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fveq2 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘0))
3	2	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
4		oveq2 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
5		2cn 12237	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 13981	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2↑0) = 1
8	4, 7	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
9		oveq2 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
10		fzo0 13606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^0) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
12	11	ineq2d 4177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ ∅))
13		in0 4356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
15	14	fveq2d 6851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
16		sadcadd.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
17		0nn0 12437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18		fvres 6866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0)
20		0bits 16330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (bits‘0) = ∅
21	19, 20	eqtr2i 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ = ((bits ↾ ℕ0)‘0)
22	16, 21	fveq12i 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾‘∅) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0))
23		bitsf1o 16336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
24		f1ocnvfv1 7227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0)
25	23, 17, 24	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0
26	22, 25	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾‘∅) = 0
27	15, 26	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
28	11	ineq2d 4177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ ∅))
29		in0 4356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∩ ∅) = ∅
30	28, 29	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
31	30	fveq2d 6851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
32	31, 26	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
33	27, 32	oveq12d 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = (0 + 0))
34		00id 11339	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = 0)
36	8, 35	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ 1 ≤ 0))
37	3, 36	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0)))
38	37	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))))
39		fveq2 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑘))
40	39	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
41		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
42		oveq2 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
43	42	ineq2d 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑘)))
44	43	fveq2d 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))))
45	42	ineq2d 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑘)))
46	45	fveq2d 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))
47	44, 46	oveq12d 7380	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))
48	41, 47	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
49	40, 48	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))))
50	49	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))))
51		fveq2 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
52	51	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
53		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
54		oveq2 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
55	54	ineq2d 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
56	55	fveq2d 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
57	54	ineq2d 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
58	57	fveq2d 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
59	56, 58	oveq12d 7380	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))
60	53, 59	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
61	52, 60	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
62	61	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
63		fveq2 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑁))
64	63	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
65		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
66		oveq2 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
67	66	ineq2d 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
68	67	fveq2d 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
69	66	ineq2d 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
70	69	fveq2d 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
71	68, 70	oveq12d 7380	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
72	65, 71	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
73	64, 72	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
74	73	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))))
75		sadval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
76		sadval.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
77		sadval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
78	75, 76, 77	sadc0 16345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
79		0lt1 11686	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
80		0re 11166	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
81		1re 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
82	80, 81	ltnlei 11285	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
83	79, 82	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 ≤ 0)
85	78, 84	2falsed 376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))
86	75	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
87	76	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
88		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
89		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
90	86, 87, 77, 88, 16, 89	sadcaddlem 16348	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
91	90	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
92	91	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
93	92	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
94	38, 50, 62, 74, 85, 93	nn0ind 12607	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
95	1, 94	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  caddwcad 1607   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  ifcif 4491  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  –1-1-onto→wf1o 6500  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1_oc1o 8410  2_oc2o 8411  Fincfn 8890  ℂcc 11058  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   < clt 11198   ≤ cle 11199   − cmin 11394  2c2 12217  ℕ₀cn0 12422  ..^cfzo 13577  seqcseq 13916  ↑cexp 13977  bitscbits 16310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-dju 9846  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-xnn0 12495  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583  df-dvds 16148  df-bits 16313

This theorem is referenced by: (None)