Theorem sadcadd 16533

Description: Non-recursive definition of the carry sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadcadd	⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚, 𝑛, 𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚, 𝑛, 𝑐)   𝐾(𝑚, 𝑛, 𝑐)   𝑁(𝑚, 𝑐)

Proof of Theorem sadcadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sadcp1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘0))
3	2	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
4		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
5		2cn 12327	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 14114	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2↑0) = 1
8	4, 7	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
9		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
10		fzo0 13724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^0) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
12	11	ineq2d 4173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ ∅))
13		in0 4352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
15	14	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
16		sadcadd.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
17		0nn0 12530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0)
20		0bits 16514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (bits‘0) = ∅
21	19, 20	eqtr2i 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ = ((bits ↾ ℕ0)‘0)
22	16, 21	fveq12i 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾‘∅) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0))
23		bitsf1o 16520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
24		f1ocnvfv1 7280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0)
25	23, 17, 24	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0
26	22, 25	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾‘∅) = 0
27	15, 26	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
28	11	ineq2d 4173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ ∅))
29		in0 4352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∩ ∅) = ∅
30	28, 29	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
31	30	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
32	31, 26	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
33	27, 32	oveq12d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = (0 + 0))
34		00id 11396	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = 0)
36	8, 35	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ 1 ≤ 0))
37	3, 36	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0)))
38	37	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))))
39		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑘))
40	39	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
41		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
42		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
43	42	ineq2d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑘)))
44	43	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))))
45	42	ineq2d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑘)))
46	45	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))
47	44, 46	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))
48	41, 47	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
49	40, 48	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))))
50	49	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))))
51		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
52	51	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
53		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
54		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
55	54	ineq2d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
56	55	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
57	54	ineq2d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
58	57	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
59	56, 58	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))
60	53, 59	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
61	52, 60	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
62	61	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
63		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑁))
64	63	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
65		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
66		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
67	66	ineq2d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
68	67	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
69	66	ineq2d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
70	69	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
71	68, 70	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
72	65, 71	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
73	64, 72	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
74	73	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))))
75		sadval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
76		sadval.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
77		sadval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
78	75, 76, 77	sadc0 16529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
79		0lt1 11747	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
80		0re 11221	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
81		1re 11219	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
82	80, 81	ltnlei 11342	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
83	79, 82	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 ≤ 0)
85	78, 84	2falsed 379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))
86	75	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
87	76	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
88		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
89		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
90	86, 87, 77, 88, 16, 89	sadcaddlem 16532	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
91	90	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
92	91	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
93	92	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
94	38, 50, 62, 74, 85, 93	nn0ind 12702	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
95	1, 94	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  caddwcad 1639   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  1_oc1o 8448  2_oc2o 8449  Fincfn 8945  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ..^cfzo 13694  seqcseq 14050  ↑cexp 14110  bitscbits 16494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-cad 1640  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-sum 15757  df-dvds 16328  df-bits 16497

This theorem is used by: (None)