MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcadd 16492
Description: Non-recursive definition of the carry sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadcadd (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcadd
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐶𝑥) = (𝐶‘0))
32eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
4 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
5 2cn 12339 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
6 exp0 14103 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (2↑0) = 1
84, 7eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
9 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
10 fzo0 13720 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^0) = ∅
119, 10eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
1211ineq2d 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ ∅))
13 in0 4401 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
1412, 13eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
1514fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
16 sadcadd.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
17 0nn0 12539 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
18 fvres 6926 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0)
20 0bits 16473 . . . . . . . . . . . 12 (bits‘0) = ∅
2119, 20eqtr2i 2764 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ((bits ↾ ℕ0)‘0)
2216, 21fveq12i 6913 . . . . . . . . . 10 (𝐾‘∅) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0))
23 bitsf1o 16479 . . . . . . . . . . 11 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
24 f1ocnvfv1 7296 . . . . . . . . . . 11 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0)
2523, 17, 24mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0
2622, 25eqtri 2763 . . . . . . . . 9 (𝐾‘∅) = 0
2715, 26eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
2811ineq2d 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ ∅))
29 in0 4401 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
3028, 29eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
3130fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
3231, 26eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
3327, 32oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = (0 + 0))
34 00id 11434 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
3533, 34eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = 0)
368, 35breq12d 5161 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ 1 ≤ 0))
373, 36bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0)))
3837imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))))
39 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑘))
4039eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
41 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
42 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
4342ineq2d 4228 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑘)))
4443fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))))
4542ineq2d 4228 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑘)))
4645fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))
4744, 46oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))
4841, 47breq12d 5161 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
4940, 48bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))))
5049imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))))
51 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
5251eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
53 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
54 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
5554ineq2d 4228 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
5655fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
5754ineq2d 4228 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
5857fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
5956, 58oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))
6053, 59breq12d 5161 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
6152, 60bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
6261imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
63 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑁))
6463eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
65 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
66 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
6766ineq2d 4228 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6867fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
6966ineq2d 4228 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
7069fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
7168, 70oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
7265, 71breq12d 5161 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
7364, 72bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
7473imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))))
75 sadval.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
76 sadval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
77 sadval.c . . . . 5 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
7875, 76, 77sadc0 16488 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
79 0lt1 11783 . . . . . 6 0 < 1
80 0re 11261 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
81 1re 11259 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8280, 81ltnlei 11380 . . . . . 6 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
8379, 82mpbi 230 . . . . 5 ¬ 1 ≤ 0
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 1 ≤ 0)
8578, 842falsed 376 . . 3 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))
8675ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
8776ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
88 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
89 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
9086, 87, 77, 88, 16, 89sadcaddlem 16491 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
9190ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
9291expcom 413 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
9392a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
9438, 50, 62, 74, 85, 93nn0ind 12711 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
951, 94mpcom 38 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  caddwcad 1603  wcel 2106  cin 3962  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cres 5691  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8498  2oc2o 8499  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  2c2 12319  0cn0 12524  ..^cfzo 13691  seqcseq 14039  cexp 14099  bitscbits 16453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-cad 1604  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-bits 16456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator