MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcadd 15796
Description: Non-recursive definition of the carry sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadcadd (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcadd
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 fveq2 6652 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐶𝑥) = (𝐶‘0))
32eleq2d 2899 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
4 oveq2 7148 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
5 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
6 exp0 13429 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (2↑0) = 1
84, 7syl6eq 2873 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
9 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
10 fzo0 13056 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^0) = ∅
119, 10syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
1211ineq2d 4163 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ ∅))
13 in0 4317 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
1412, 13syl6eq 2873 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
1514fveq2d 6656 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
16 sadcadd.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
17 0nn0 11900 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
18 fvres 6671 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0)
20 0bits 15777 . . . . . . . . . . . 12 (bits‘0) = ∅
2119, 20eqtr2i 2846 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ((bits ↾ ℕ0)‘0)
2216, 21fveq12i 6658 . . . . . . . . . 10 (𝐾‘∅) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0))
23 bitsf1o 15783 . . . . . . . . . . 11 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
24 f1ocnvfv1 7016 . . . . . . . . . . 11 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0)
2523, 17, 24mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0
2622, 25eqtri 2845 . . . . . . . . 9 (𝐾‘∅) = 0
2715, 26syl6eq 2873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
2811ineq2d 4163 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ ∅))
29 in0 4317 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
3028, 29syl6eq 2873 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
3130fveq2d 6656 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
3231, 26syl6eq 2873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
3327, 32oveq12d 7158 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = (0 + 0))
34 00id 10804 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
3533, 34syl6eq 2873 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = 0)
368, 35breq12d 5055 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ 1 ≤ 0))
373, 36bibi12d 349 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0)))
3837imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))))
39 fveq2 6652 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑘))
4039eleq2d 2899 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
41 oveq2 7148 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
42 oveq2 7148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
4342ineq2d 4163 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑘)))
4443fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))))
4542ineq2d 4163 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑘)))
4645fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))
4744, 46oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))
4841, 47breq12d 5055 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
4940, 48bibi12d 349 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))))
5049imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))))
51 fveq2 6652 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
5251eleq2d 2899 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
53 oveq2 7148 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
54 oveq2 7148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
5554ineq2d 4163 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
5655fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
5754ineq2d 4163 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
5857fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
5956, 58oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))
6053, 59breq12d 5055 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
6152, 60bibi12d 349 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
6261imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
63 fveq2 6652 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑁))
6463eleq2d 2899 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
65 oveq2 7148 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
66 oveq2 7148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
6766ineq2d 4163 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6867fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
6966ineq2d 4163 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
7069fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
7168, 70oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
7265, 71breq12d 5055 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
7364, 72bibi12d 349 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
7473imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))))
75 sadval.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
76 sadval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
77 sadval.c . . . . 5 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
7875, 76, 77sadc0 15792 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
79 0lt1 11151 . . . . . 6 0 < 1
80 0re 10632 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
81 1re 10630 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8280, 81ltnlei 10750 . . . . . 6 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
8379, 82mpbi 233 . . . . 5 ¬ 1 ≤ 0
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 1 ≤ 0)
8578, 842falsed 380 . . 3 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))
8675ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
8776ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
88 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
89 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
9086, 87, 77, 88, 16, 89sadcaddlem 15795 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
9190ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
9291expcom 417 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
9392a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
9438, 50, 62, 74, 85, 93nn0ind 12065 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
951, 94mpcom 38 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  caddwcad 1608  wcel 2114  cin 3907  wss 3908  c0 4265  ifcif 4439  𝒫 cpw 4511   class class class wbr 5042  cmpt 5122  ccnv 5531  cres 5534  1-1-ontowf1o 6333  cfv 6334  (class class class)co 7140  cmpo 7142  1oc1o 8082  2oc2o 8083  Fincfn 8496  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  2c2 11680  0cn0 11885  ..^cfzo 13028  seqcseq 13364  cexp 13425  bitscbits 15757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-dvds 15599  df-bits 15760
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator