MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcadd 16426
Description: Non-recursive definition of the carry sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadcadd (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcadd
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐶𝑥) = (𝐶‘0))
32eleq2d 2815 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
4 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
5 2cn 12311 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
6 exp0 14056 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (2↑0) = 1
84, 7eqtrdi 2784 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
9 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
10 fzo0 13682 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^0) = ∅
119, 10eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
1211ineq2d 4208 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ ∅))
13 in0 4387 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
1412, 13eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
1514fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
16 sadcadd.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
17 0nn0 12511 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
18 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0)
20 0bits 16407 . . . . . . . . . . . 12 (bits‘0) = ∅
2119, 20eqtr2i 2757 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ((bits ↾ ℕ0)‘0)
2216, 21fveq12i 6897 . . . . . . . . . 10 (𝐾‘∅) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0))
23 bitsf1o 16413 . . . . . . . . . . 11 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
24 f1ocnvfv1 7279 . . . . . . . . . . 11 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0)
2523, 17, 24mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0
2622, 25eqtri 2756 . . . . . . . . 9 (𝐾‘∅) = 0
2715, 26eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
2811ineq2d 4208 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ ∅))
29 in0 4387 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
3028, 29eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
3130fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
3231, 26eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
3327, 32oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = (0 + 0))
34 00id 11413 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
3533, 34eqtrdi 2784 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = 0)
368, 35breq12d 5155 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ 1 ≤ 0))
373, 36bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0)))
3837imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))))
39 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑘))
4039eleq2d 2815 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
41 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
42 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
4342ineq2d 4208 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑘)))
4443fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))))
4542ineq2d 4208 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑘)))
4645fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))
4744, 46oveq12d 7432 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))
4841, 47breq12d 5155 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
4940, 48bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))))
5049imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))))
51 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
5251eleq2d 2815 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
53 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
54 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
5554ineq2d 4208 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
5655fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
5754ineq2d 4208 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
5857fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
5956, 58oveq12d 7432 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))
6053, 59breq12d 5155 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
6152, 60bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
6261imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
63 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑁))
6463eleq2d 2815 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
65 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
66 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
6766ineq2d 4208 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6867fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
6966ineq2d 4208 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
7069fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
7168, 70oveq12d 7432 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
7265, 71breq12d 5155 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
7364, 72bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
7473imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))))
75 sadval.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
76 sadval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
77 sadval.c . . . . 5 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
7875, 76, 77sadc0 16422 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
79 0lt1 11760 . . . . . 6 0 < 1
80 0re 11240 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
81 1re 11238 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8280, 81ltnlei 11359 . . . . . 6 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
8379, 82mpbi 229 . . . . 5 ¬ 1 ≤ 0
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 1 ≤ 0)
8578, 842falsed 376 . . 3 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))
8675ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
8776ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
88 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
89 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
9086, 87, 77, 88, 16, 89sadcaddlem 16425 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
9190ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
9291expcom 413 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
9392a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
9438, 50, 62, 74, 85, 93nn0ind 12681 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
951, 94mpcom 38 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  caddwcad 1600  wcel 2099  cin 3944  wss 3945  c0 4318  ifcif 4524  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  cmpt 5225  ccnv 5671  cres 5674  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  (class class class)co 7414  cmpo 7416  1oc1o 8473  2oc2o 8474  Fincfn 8957  cc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   < clt 11272  cle 11273  cmin 11468  2c2 12291  0cn0 12496  ..^cfzo 13653  seqcseq 13992  cexp 14052  bitscbits 16387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-cad 1601  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659  df-dvds 16225  df-bits 16390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator