MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcadd 16146
Description: Non-recursive definition of the carry sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadcadd (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcadd
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 fveq2 6768 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐶𝑥) = (𝐶‘0))
32eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
4 oveq2 7276 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
5 2cn 12031 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
6 exp0 13767 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (2↑0) = 1
84, 7eqtrdi 2795 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
9 oveq2 7276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
10 fzo0 13392 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^0) = ∅
119, 10eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
1211ineq2d 4151 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ ∅))
13 in0 4330 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
1412, 13eqtrdi 2795 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
1514fveq2d 6772 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
16 sadcadd.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
17 0nn0 12231 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
18 fvres 6787 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0)
20 0bits 16127 . . . . . . . . . . . 12 (bits‘0) = ∅
2119, 20eqtr2i 2768 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ((bits ↾ ℕ0)‘0)
2216, 21fveq12i 6774 . . . . . . . . . 10 (𝐾‘∅) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0))
23 bitsf1o 16133 . . . . . . . . . . 11 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
24 f1ocnvfv1 7142 . . . . . . . . . . 11 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0)
2523, 17, 24mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0
2622, 25eqtri 2767 . . . . . . . . 9 (𝐾‘∅) = 0
2715, 26eqtrdi 2795 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
2811ineq2d 4151 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ ∅))
29 in0 4330 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
3028, 29eqtrdi 2795 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
3130fveq2d 6772 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
3231, 26eqtrdi 2795 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
3327, 32oveq12d 7286 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = (0 + 0))
34 00id 11133 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
3533, 34eqtrdi 2795 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = 0)
368, 35breq12d 5091 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ 1 ≤ 0))
373, 36bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0)))
3837imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))))
39 fveq2 6768 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑘))
4039eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
41 oveq2 7276 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
42 oveq2 7276 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
4342ineq2d 4151 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑘)))
4443fveq2d 6772 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))))
4542ineq2d 4151 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑘)))
4645fveq2d 6772 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))
4744, 46oveq12d 7286 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))
4841, 47breq12d 5091 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
4940, 48bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))))
5049imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))))
51 fveq2 6768 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
5251eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
53 oveq2 7276 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
54 oveq2 7276 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
5554ineq2d 4151 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
5655fveq2d 6772 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
5754ineq2d 4151 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
5857fveq2d 6772 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
5956, 58oveq12d 7286 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))
6053, 59breq12d 5091 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
6152, 60bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
6261imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
63 fveq2 6768 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑁))
6463eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
65 oveq2 7276 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
66 oveq2 7276 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
6766ineq2d 4151 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6867fveq2d 6772 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
6966ineq2d 4151 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
7069fveq2d 6772 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
7168, 70oveq12d 7286 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
7265, 71breq12d 5091 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
7364, 72bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
7473imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))))
75 sadval.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
76 sadval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
77 sadval.c . . . . 5 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
7875, 76, 77sadc0 16142 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
79 0lt1 11480 . . . . . 6 0 < 1
80 0re 10961 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
81 1re 10959 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8280, 81ltnlei 11079 . . . . . 6 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
8379, 82mpbi 229 . . . . 5 ¬ 1 ≤ 0
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 1 ≤ 0)
8578, 842falsed 376 . . 3 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))
8675ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
8776ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
88 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
89 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
9086, 87, 77, 88, 16, 89sadcaddlem 16145 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
9190ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
9291expcom 413 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
9392a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
9438, 50, 62, 74, 85, 93nn0ind 12398 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
951, 94mpcom 38 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1541  caddwcad 1611  wcel 2109  cin 3890  wss 3891  c0 4261  ifcif 4464  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5078  cmpt 5161  ccnv 5587  cres 5590  1-1-ontowf1o 6429  cfv 6430  (class class class)co 7268  cmpo 7270  1oc1o 8274  2oc2o 8275  Fincfn 8707  cc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   < clt 10993  cle 10994  cmin 11188  2c2 12011  0cn0 12216  ..^cfzo 13364  seqcseq 13702  cexp 13763  bitscbits 16107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1544  df-fal 1554  df-cad 1612  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-disj 5044  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379  df-dvds 15945  df-bits 16110
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator