Theorem sadcadd 16165

Description: Non-recursive definition of the carry sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadcadd	⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sadcp1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘0))
3	2	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
4		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
5		2cn 12048	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 13786	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2↑0) = 1
8	4, 7	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
9		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
10		fzo0 13411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^0) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
12	11	ineq2d 4146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ ∅))
13		in0 4325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
15	14	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
16		sadcadd.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
17		0nn0 12248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18		fvres 6793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((bits ↾ ℕ0)‘0) = (bits‘0)
20		0bits 16146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (bits‘0) = ∅
21	19, 20	eqtr2i 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ = ((bits ↾ ℕ0)‘0)
22	16, 21	fveq12i 6780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾‘∅) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0))
23		bitsf1o 16152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
24		f1ocnvfv1 7148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0)
25	23, 17, 24	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘0)) = 0
26	22, 25	eqtri 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾‘∅) = 0
27	15, 26	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
28	11	ineq2d 4146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ ∅))
29		in0 4325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∩ ∅) = ∅
30	28, 29	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
31	30	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘∅))
32	31, 26	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = 0)
33	27, 32	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = (0 + 0))
34		00id 11150	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = 0)
36	8, 35	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ 1 ≤ 0))
37	3, 36	bibi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0)))
38	37	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))))
39		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑘))
40	39	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
41		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
42		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
43	42	ineq2d 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑘)))
44	43	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))))
45	42	ineq2d 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑘)))
46	45	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))
47	44, 46	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))
48	41, 47	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
49	40, 48	bibi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))))
50	49	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))))
51		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
52	51	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
53		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
54		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
55	54	ineq2d 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
56	55	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
57	54	ineq2d 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
58	57	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
59	56, 58	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))
60	53, 59	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
61	52, 60	bibi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
62	61	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
63		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑁))
64	63	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
65		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
66		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
67	66	ineq2d 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
68	67	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
69	66	ineq2d 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐵 ∩ (0..^𝑥)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
70	69	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))) = (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
71	68, 70	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
72	65, 71	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
73	64, 72	bibi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥))))) ↔ (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
74	73	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ (2↑𝑥) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑥))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑥)))))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))))
75		sadval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
76		sadval.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
77		sadval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
78	75, 76, 77	sadc0 16161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
79		0lt1 11497	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
80		0re 10977	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
81		1re 10975	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
82	80, 81	ltnlei 11096	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
83	79, 82	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 ≤ 0)
85	78, 84	2falsed 377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘0) ↔ 1 ≤ 0))
86	75	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
87	76	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
88		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
89		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))))
90	86, 87, 77, 88, 16, 89	sadcaddlem 16164	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))
91	90	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1))))))))
92	91	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘))))) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
93	92	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑘) ↔ (2↑𝑘) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑘))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑘)))))) → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))))))
94	38, 50, 62, 74, 85, 93	nn0ind 12415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))))
95	1, 94	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  caddwcad 1608   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291  Fincfn 8733  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ..^cfzo 13382  seqcseq 13721  ↑cexp 13782  bitscbits 16126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-bits 16129

This theorem is referenced by: (None)