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Theorem pcoass 24387
Description: Order of concatenation does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoass.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoass.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoass.4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoass.5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcoass.6 (𝜑 → (𝐺‘1) = (𝐻‘0))
pcoass.7 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
pcoass (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑥)

Proof of Theorem pcoass
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4492 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ≤ (1 / 4) → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = (2 · 𝑥))
21fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≤ (1 / 4) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)))
32adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)))
4 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
5 elicc01 13383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
65simp1bi 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℝ)
87recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 mulcom 11137 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) = (𝑥 · 2))
104, 8, 9sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) = (𝑥 · 2))
115simp2bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑥)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 0 ≤ 𝑥)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ≤ (1 / 4))
14 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
15 4nn 12236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ
16 nnrecre 12195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 4) ∈ ℝ
1814, 17elicc2i 13330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ (1 / 4)))
197, 12, 13, 18syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)))
20 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
214mul02i 11344 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 · 2) = 0
2217recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 4) ∈ ℂ
23222timesi 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 4))
24 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
25 recdiv2 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) / 2) = (1 / (2 · 2)))
264, 24, 4, 24, 25mp4an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 / 2) / 2) = (1 / (2 · 2))
27 2t2e4 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
2827oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / (2 · 2)) = (1 / 4)
2926, 28eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) / 2) = (1 / 4)
3029, 29oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 2) / 2) + ((1 / 2) / 2)) = ((1 / 4) + (1 / 4))
31 halfcn 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 2) ∈ ℂ
32 2halves 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) ∈ ℂ → (((1 / 2) / 2) + ((1 / 2) / 2)) = (1 / 2))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 2) / 2) + ((1 / 2) / 2)) = (1 / 2)
3430, 33eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 4) + (1 / 4)) = (1 / 2)
3523, 34eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (1 / 4)) = (1 / 2)
364, 22, 35mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 4) · 2) = (1 / 2)
3714, 17, 20, 21, 36iccdili 13408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)) → (𝑥 · 2) ∈ (0[,](1 / 2)))
3819, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝑥 · 2) ∈ (0[,](1 / 2)))
3910, 38eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2)))
40 pcoass.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
41 pcoass.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
42 pcoass.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
43 pcoass.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺‘1) = (𝐻‘0))
4441, 42, 43pcocn 24380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻) ∈ (II Cn 𝐽))
4540, 44pcoval1 24376 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · (2 · 𝑥))))
4640, 41pcoval1 24376 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · (2 · 𝑥))))
4745, 46eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
4839, 47sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
4948anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
503, 49eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
5150adantlr 713 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
52 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝜑)
536ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℝ)
55 letric 11255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (1 / 4) ∨ (1 / 4) ≤ 𝑥))
5653, 17, 55sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (𝑥 ≤ (1 / 4) ∨ (1 / 4) ≤ 𝑥))
5756orcanai 1001 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (1 / 4) ≤ 𝑥)
58 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ≤ (1 / 2))
59 halfre 12367 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
6017, 59elicc2i 13330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 4) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (1 / 2)))
6154, 57, 58, 60syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
6260simp1bi 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
63 readdcl 11134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ℝ)
6462, 17, 63sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ℝ)
6517a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 4) ∈ ℝ)
6660simp2bi 1146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 4) ≤ 𝑥)
6765, 62, 65, 66leadd1dd 11769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → ((1 / 4) + (1 / 4)) ≤ (𝑥 + (1 / 4)))
6834, 67eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 2) ≤ (𝑥 + (1 / 4)))
6959a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
7060simp3bi 1147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → 𝑥 ≤ (1 / 2))
71 2lt4 12328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 4
72 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
73 4re 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
74 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
75 4pos 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 4
7672, 73, 74, 75ltrecii 12071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
7771, 76mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 4) < (1 / 2)
7817, 59, 77ltleii 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 4) ≤ (1 / 2)
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 4) ≤ (1 / 2))
8062, 65, 69, 69, 70, 79le2addd 11774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ≤ ((1 / 2) + (1 / 2)))
81 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
82 2halves 12381 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8480, 83breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ≤ 1)
85 1re 11155 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
8659, 85elicc2i 13330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ ((𝑥 + (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ (𝑥 + (1 / 4)) ∧ (𝑥 + (1 / 4)) ≤ 1))
8764, 68, 84, 86syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
8861, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
89 pcoass.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
9041, 42pco0 24377 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘0) = (𝐺‘0))
9189, 90eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘0))
9240, 44, 91pcoval2 24379 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)))
9352, 88, 92syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)))
9483oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)
95 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 2 ∈ ℂ)
9654recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (1 / 4) ∈ ℂ)
9895, 96, 97adddid 11179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · (𝑥 + (1 / 4))) = ((2 · 𝑥) + (2 · (1 / 4))))
9935oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑥) + (2 · (1 / 4))) = ((2 · 𝑥) + (1 / 2))
10098, 99eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · (𝑥 + (1 / 4))) = ((2 · 𝑥) + (1 / 2)))
101100oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (((2 · 𝑥) + (1 / 2)) − ((1 / 2) + (1 / 2))))
10294, 101eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1) = (((2 · 𝑥) + (1 / 2)) − ((1 / 2) + (1 / 2))))
103 remulcl 11136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
10472, 54, 103sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
105104recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
10631a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
107105, 106, 106pnpcan2d 11550 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (((2 · 𝑥) + (1 / 2)) − ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))
108102, 107eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1) = ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))
109108fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))))
1104, 96, 9sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) = (𝑥 · 2))
11181, 4, 24divcan1i 11899 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2) · 2) = 1
11217, 59, 20, 36, 111iccdili 13408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 · 2) ∈ ((1 / 2)[,]1))
11361, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝑥 · 2) ∈ ((1 / 2)[,]1))
114110, 113eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ ((1 / 2)[,]1))
11531subidi 11472 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) − (1 / 2)) = 0
116 1mhlfehlf 12372 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
11759, 85, 59, 115, 116iccshftli 13406 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑥) ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − (1 / 2)) ∈ (0[,](1 / 2)))
118114, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · 𝑥) − (1 / 2)) ∈ (0[,](1 / 2)))
11941, 42pcoval1 24376 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑥) − (1 / 2)) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = (𝐺‘(2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))))
12052, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = (𝐺‘(2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))))
12195, 105, 106subdid 11611 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = ((2 · (2 · 𝑥)) − (2 · (1 / 2))))
1224, 24recidi 11886 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (1 / 2)) = 1
123122oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (2 · 𝑥)) − (2 · (1 / 2))) = ((2 · (2 · 𝑥)) − 1)
124121, 123eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = ((2 · (2 · 𝑥)) − 1))
125124fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝐺‘(2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
126120, 125eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
12793, 109, 1263eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
128 iffalse 4495 . . . . . . . . . 10 𝑥 ≤ (1 / 4) → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = (𝑥 + (1 / 4)))
129128fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 𝑥 ≤ (1 / 4) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))))
130129adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))))
13140, 41, 89pcoval2 24379 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
13252, 114, 131syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
133127, 130, 1323eqtr4d 2786 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
13451, 133pm2.61dan 811 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
135 iftrue 4492 . . . . . . . 8 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))))
136135fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑥 ≤ (1 / 2) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))))
137136adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))))
138 iftrue 4492 . . . . . . 7 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
139138adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
140134, 137, 1393eqtr4d 2786 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))))
141 elii2 24299 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
142 halfge0 12370 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ (1 / 2)
143 halflt1 12371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) < 1
14459, 85, 143ltleii 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ≤ 1
145 elicc01 13383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
14659, 142, 144, 145mpbir3an 1341 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
147 1elunit 13387 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (0[,]1)
148 iccss2 13335 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
149146, 147, 148mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
150149sseli 3940 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑥 ∈ (0[,]1))
1514, 24div0i 11889 . . . . . . . . . . . 12 (0 / 2) = 0
152 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) = (1 / 2)
15314, 85, 20, 151, 152icccntri 13410 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]1) → (𝑥 / 2) ∈ (0[,](1 / 2)))
15431addid2i 11343 . . . . . . . . . . . 12 (0 + (1 / 2)) = (1 / 2)
15514, 59, 59, 154, 83iccshftri 13404 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 / 2) ∈ (0[,](1 / 2)) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
156150, 153, 1553syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
15740, 44, 91pcoval2 24379 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)))
158156, 157sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)))
15959, 85elicc2i 13330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
160159simp1bi 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
161160recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
162 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 1 ∈ ℂ)
163 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 2 ∈ ℂ)
16424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 2 ≠ 0)
165161, 162, 163, 164divdird 11969 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 + 1) / 2) = ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))
166165oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (2 · ((𝑥 + 1) / 2)) = (2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
167 peano2cn 11327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
168161, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
169168, 163, 164divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (2 · ((𝑥 + 1) / 2)) = (𝑥 + 1))
170166, 169eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝑥 + 1))
171161, 162, 170mvrraddd 11567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1) = 𝑥)
172171fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘𝑥))
173172adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘𝑥))
17441, 42, 43pcoval2 24379 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘𝑥) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
175158, 173, 1743eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
176141, 175sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
177176anassrs 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
178 iffalse 4495 . . . . . . . 8 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))
179178fveq2d 6846 . . . . . . 7 𝑥 ≤ (1 / 2) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
180179adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
181 iffalse 4495 . . . . . . 7 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
182181adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
183177, 180, 1823eqtr4d 2786 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))))
184140, 183pm2.61dan 811 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))))
185184mpteq2dva 5205 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))))
186 pcoass.7 . . . . . . 7 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
187 iitopon 24242 . . . . . . . . 9 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
188187a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
189188cnmptid 23012 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
190 0elunit 13386 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
191190a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
192188, 188, 191cnmptc 23013 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
193 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
194 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
195 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
196 dfii2 24245 . . . . . . . . 9 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
197 0red 11158 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
198 1red 11156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
199146a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
200 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
201200oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 + (1 / 4)) = ((1 / 2) + (1 / 4)))
20231, 22addcomi 11346 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 2))
203201, 202eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 + (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 2)))
20417, 59ltnlei 11276 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4) < (1 / 2) ↔ ¬ (1 / 2) ≤ (1 / 4))
20577, 204mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 ¬ (1 / 2) ≤ (1 / 4)
206200breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 ≤ (1 / 4) ↔ (1 / 2) ≤ (1 / 4)))
207205, 206mtbiri 326 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ¬ 𝑦 ≤ (1 / 4))
208207iffalsed 4497 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))) = (𝑦 + (1 / 4)))
209200oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 / 2) = ((1 / 2) / 2))
210209, 29eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 / 2) = (1 / 4))
211210oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((𝑦 / 2) + (1 / 2)) = ((1 / 4) + (1 / 2)))
212203, 208, 2113eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))) = ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))
213 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4)))
214 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2)))
21559a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
21673, 75recgt0ii 12061 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (1 / 4)
21714, 17, 216ltleii 11278 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / 4)
21814, 59elicc2i 13330 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ ((1 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) ≤ (1 / 2)))
21917, 217, 78, 218mpbir3an 1341 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2))
220219a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2)))
221 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 4))
222221oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 4)))
223221oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 + (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 4)))
22423, 222, 2233eqtr4a 2802 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (𝑦 + (1 / 4)))
225 retopon 24127 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
226 0xr 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ*
22759rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℝ*
228 lbicc2 13381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → 0 ∈ (0[,](1 / 2)))
229226, 227, 142, 228mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ (0[,](1 / 2))
230 iccss2 13335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ (1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2))) → (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2)))
231229, 219, 230mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2))
232 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
23314, 59, 232mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
234231, 233sstri 3953 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,](1 / 4)) ⊆ ℝ
235 resttopon 22512 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 4)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 4))))
236225, 234, 235mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 4)))
237236a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 4))))
238237, 188cnmpt1st 23019 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 4)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4)))))
239 retop 24125 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
240 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,](1 / 2)) ∈ V
241 restabs 22516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2)) ∧ (0[,](1 / 2)) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ↾t (0[,](1 / 4))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))))
242239, 231, 240, 241mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ↾t (0[,](1 / 4))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4)))
243242eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ↾t (0[,](1 / 4)))
244 resttopon 22512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
245225, 233, 244mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
246245a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
247231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2)))
248194iihalf1cn 24295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
249248a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
250243, 246, 247, 249cnmpt1res 23027 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) Cn II))
251 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
252237, 188, 238, 237, 250, 251cnmpt21 23022 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 4)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ×t II) Cn II))
253 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
25417, 59, 253mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
255 resttopon 22512 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘((1 / 4)[,](1 / 2))))
256225, 254, 255mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘((1 / 4)[,](1 / 2)))
257256a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘((1 / 4)[,](1 / 2))))
258257, 188cnmpt1st 23019 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2)))))
259 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
260254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
261 unitssre 13416 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]1) ⊆ ℝ
262261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℝ)
263149, 87sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ (0[,]1))
264263adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2))) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ (0[,]1))
265259cnfldtopon 24146 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
266265a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
267266cnmptid 23012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
269268recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℂ)
270266, 266, 269cnmptc 23013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 / 4)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
271259addcn 24228 . . . . . . . . . . . . . 14 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
272271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
273266, 267, 270, 272cnmpt12f 23017 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (1 / 4))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
274259, 214, 196, 260, 262, 264, 273cnmptre 24290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ↦ (𝑥 + (1 / 4))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) Cn II))
275 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (1 / 4)) = (𝑦 + (1 / 4)))
276257, 188, 258, 257, 274, 275cnmpt21 23022 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 + (1 / 4))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
277193, 213, 214, 194, 197, 215, 220, 188, 224, 252, 276cnmpopc 24291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
278 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
27959, 85, 278mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
280 resttopon 22512 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
281225, 279, 280mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
282281a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
283282, 188cnmpt1st 23019 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
284279a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
285149, 156sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ (0[,]1))
286285adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ (0[,]1))
287259divccn 24236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2884, 24, 287mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
289288a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29031a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
291266, 266, 290cnmptc 23013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
292266, 289, 291, 272cnmpt12f 23017 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
293259, 195, 196, 284, 262, 286, 292cnmptre 24290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
294 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 2) = (𝑦 / 2))
295294oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) = ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))
296282, 188, 283, 282, 293, 295cnmpt21 23022 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑦 / 2) + (1 / 2))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
297193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 188, 212, 277, 296cnmpopc 24291 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
298 breq1 5108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
299 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (1 / 4) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 4)))
300299, 251, 275ifbieq12d 4514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))))
301298, 300, 295ifbieq12d 4514 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
302301equcoms 2023 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
303302adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
304303eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
305188, 189, 192, 188, 188, 297, 304cnmpt12 23018 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) ∈ (II Cn II))
306186, 305eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (II Cn II))
307 iiuni 24244 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
308307, 307cnf 22597 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (II Cn II) → 𝑃:(0[,]1)⟶(0[,]1))
309306, 308syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃:(0[,]1)⟶(0[,]1))
310186fmpt 7058 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑃:(0[,]1)⟶(0[,]1))
311309, 310sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ (0[,]1))
312186a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))))
31340, 44, 91pcocn 24380 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∈ (II Cn 𝐽))
314 eqid 2736 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
315307, 314cnf 22597 . . . . . 6 ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)):(0[,]1)⟶ 𝐽)
316313, 315syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)):(0[,]1)⟶ 𝐽)
317316feqmptd 6910 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘𝑦)))
318 fveq2 6842 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘𝑦) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))))
319311, 312, 317, 318fmptcof 7076 . . 3 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∘ 𝑃) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))))
32040, 41, 89pcocn 24380 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
321320, 42pcoval 24374 . . 3 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))))
322185, 319, 3213eqtr4rd 2787 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∘ 𝑃))
323 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
324323, 142eqbrtrdi 5144 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≤ (1 / 2))
325324iftrued 4494 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))))
326323, 217eqbrtrdi 5144 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≤ (1 / 4))
327326iftrued 4494 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = (2 · 𝑥))
328 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
329 2t0e0 12322 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
330328, 329eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
331325, 327, 3303eqtrd 2780 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = 0)
332 c0ex 11149 . . . . 5 0 ∈ V
333331, 186, 332fvmpt 6948 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → (𝑃‘0) = 0)
334191, 333syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃‘0) = 0)
335147a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
33659, 85ltnlei 11276 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
337143, 336mpbi 229 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
338 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
339337, 338mtbiri 326 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
340339iffalsed 4497 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))
341 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 / 2) = (1 / 2))
342341oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) = ((1 / 2) + (1 / 2)))
343342, 83eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) = 1)
344340, 343eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = 1)
345 1ex 11151 . . . . 5 1 ∈ V
346344, 186, 345fvmpt 6948 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) → (𝑃‘1) = 1)
347335, 346syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃‘1) = 1)
348313, 306, 334, 347reparpht 24361 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∘ 𝑃)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)))
349322, 348eqbrtrd 5127 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  4c4 12210  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575   ×t ctx 22911  IIcii 24238  phcphtpc 24332  *𝑝cpco 24363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-pco 24368
This theorem is referenced by:  pcophtb  24392  pi1grplem  24412  pi1xfr  24418  pi1xfrcnvlem  24419
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