MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcopt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcopt2 24901
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
Assertion
Ref Expression
pcopt2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝑃)( ≃phβ€˜π½)𝐹)

Proof of Theorem pcopt2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . 9 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
21fveq1i 6885 . . . . . . . 8 (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
3 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜1) = π‘Œ)
4 iiuni 24752 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]1) = βˆͺ II
5 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
64, 5cnf 23101 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
8 1elunit 13450 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (0[,]1)
9 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ βˆͺ 𝐽)
107, 8, 9sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ βˆͺ 𝐽)
113, 10eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽)
12 elii2 24810 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1))
13 iihalf2 24806 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
15 fvconst2g 7198 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = π‘Œ)
1611, 14, 15syl2an 595 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = π‘Œ)
172, 16eqtrid 2778 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = π‘Œ)
18 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (πΉβ€˜1) = π‘Œ)
1917, 18eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜1))
2019anassrs 467 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜1))
2120ifeq2da 4555 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1)))
2221mpteq2dva 5241 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1))))
23 simpl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
24 cntop2 23096 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
26 toptopon2 22771 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
2725, 26sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
281pcoptcl 24899 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
2927, 11, 28syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
3029simp1d 1139 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
3123, 30pcoval 24889 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝑃) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
32 iftrue 4529 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = (2 Β· π‘₯))
3332adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = (2 Β· π‘₯))
34 elii1 24809 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
35 iihalf1 24803 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1))
3634, 35sylbir 234 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1))
3733, 36eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1))
3837ex 412 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0[,]1) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1)))
39 iffalse 4532 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = 1)
4039, 8eqeltrdi 2835 . . . . . 6 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1))
4138, 40pm2.61d1 180 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1))
4241adantl 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1))
43 eqidd 2727 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)))
447feqmptd 6953 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
45 fveq2 6884 . . . . 5 (𝑦 = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)))
46 fvif 6900 . . . . 5 (πΉβ€˜if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1))
4745, 46eqtrdi 2782 . . . 4 (𝑦 = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1)))
4842, 43, 44, 47fmptco 7122 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1))))
4922, 31, 483eqtr4d 2776 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝑃) = (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))))
50 iitopon 24750 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
5150a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
5251cnmptid 23516 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn II))
53 0elunit 13449 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
5453a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 0 ∈ (0[,]1))
5551, 51, 54cnmptc 23517 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
56 eqid 2726 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
57 eqid 2726 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))
58 eqid 2726 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))
59 dfii2 24753 . . . . 5 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
60 0re 11217 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 0 ∈ ℝ)
62 1re 11215 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 1 ∈ ℝ)
64 halfre 12427 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
65 halfge0 12430 . . . . . . 7 0 ≀ (1 / 2)
66 halflt1 12431 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
6764, 62, 66ltleii 11338 . . . . . . 7 (1 / 2) ≀ 1
68 elicc01 13446 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≀ 1))
6964, 65, 67, 68mpbir3an 1338 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
7069a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (1 / 2) ∈ (0[,]1))
71 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ 𝑦 = (1 / 2))
7271oveq2d 7420 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· (1 / 2)))
73 2cn 12288 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
74 2ne0 12317 . . . . . . 7 2 β‰  0
7573, 74recidi 11946 . . . . . 6 (2 Β· (1 / 2)) = 1
7672, 75eqtrdi 2782 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = 1)
77 retopon 24631 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
78 iccssre 13409 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ)
7960, 64, 78mp2an 689 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ
80 resttopon 23016 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
8177, 79, 80mp2an 689 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2)))
8281a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
8382, 51cnmpt1st 23523 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))))
8457iihalf1cn 24804 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II)
8584a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II))
86 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑦))
8782, 51, 83, 82, 85, 86cnmpt21 23526 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 Β· 𝑦)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
88 iccssre 13409 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ)
8964, 62, 88mp2an 689 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ
90 resttopon 23016 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
9177, 89, 90mp2an 689 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1))
9291a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
938a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 1 ∈ (0[,]1))
9492, 51, 51, 93cnmpt2c 23525 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
9556, 57, 58, 59, 61, 63, 70, 51, 76, 87, 94cnmpopc 24800 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (2 Β· 𝑦), 1)) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
96 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (1 / 2) ↔ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
97 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· π‘₯))
9896, 97ifbieq1d 4547 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (2 Β· 𝑦), 1) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))
9998adantr 480 . . . 4 ((𝑦 = π‘₯ ∧ 𝑧 = 0) β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (2 Β· 𝑦), 1) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))
10051, 52, 55, 51, 51, 95, 99cnmpt12 23522 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)) ∈ (II Cn II))
101 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ = 0)
102101, 65eqbrtrdi 5180 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ ≀ (1 / 2))
103102, 32syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = (2 Β· π‘₯))
104 oveq2 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 0))
105 2t0e0 12382 . . . . . . 7 (2 Β· 0) = 0
106104, 105eqtrdi 2782 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (2 Β· π‘₯) = 0)
107103, 106eqtrd 2766 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = 0)
108 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))
109 c0ex 11209 . . . . 5 0 ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 6991 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))β€˜0) = 0)
11153, 110mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))β€˜0) = 0)
11264, 62ltnlei 11336 . . . . . . . 8 ((1 / 2) < 1 ↔ Β¬ 1 ≀ (1 / 2))
11366, 112mpbi 229 . . . . . . 7 Β¬ 1 ≀ (1 / 2)
114 breq1 5144 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 1 ≀ (1 / 2)))
115113, 114mtbiri 327 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))
116115, 39syl 17 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = 1)
117 1ex 11211 . . . . 5 1 ∈ V
118116, 108, 117fvmpt 6991 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))β€˜1) = 1)
1198, 118mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))β€˜1) = 1)
12023, 100, 111, 119reparpht 24876 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)))( ≃phβ€˜π½)𝐹)
12149, 120eqbrtrd 5163 1 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝑃)( ≃phβ€˜π½)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  (,)cioo 13327  [,]cicc 13330   β†Ύt crest 17373  topGenctg 17390  Topctop 22746  TopOnctopon 22763   Cn ccn 23079  IIcii 24746   ≃phcphtpc 24846  *𝑝cpco 24878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-ii 24748  df-htpy 24847  df-phtpy 24848  df-phtpc 24869  df-pco 24883
This theorem is referenced by:  pcophtb  24907  pi1xfrcnvlem  24934
  Copyright terms: Public domain W3C validator