MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcopt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcopt2 24968
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
Assertion
Ref Expression
pcopt2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝑃)( ≃phβ€˜π½)𝐹)

Proof of Theorem pcopt2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . 9 𝑃 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
21fveq1i 6901 . . . . . . . 8 (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
3 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜1) = π‘Œ)
4 iiuni 24819 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]1) = βˆͺ II
5 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
64, 5cnf 23168 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
76adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽)
8 1elunit 13485 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (0[,]1)
9 ffvelcdm 7094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ βˆͺ 𝐽)
107, 8, 9sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ βˆͺ 𝐽)
113, 10eqeltrrd 2829 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽)
12 elii2 24877 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1))
13 iihalf2 24873 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
15 fvconst2g 7218 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = π‘Œ)
1611, 14, 15syl2an 594 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘Œ})β€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = π‘Œ)
172, 16eqtrid 2779 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = π‘Œ)
18 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (πΉβ€˜1) = π‘Œ)
1917, 18eqtr4d 2770 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜1))
2019anassrs 466 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜1))
2120ifeq2da 4562 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1)))
2221mpteq2dva 5250 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1))))
23 simpl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
24 cntop2 23163 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2524adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
26 toptopon2 22838 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
2725, 26sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
281pcoptcl 24966 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
2927, 11, 28syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
3029simp1d 1139 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
3123, 30pcoval 24956 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝑃) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (π‘ƒβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
32 iftrue 4536 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = (2 Β· π‘₯))
3332adantl 480 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = (2 Β· π‘₯))
34 elii1 24876 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
35 iihalf1 24870 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1))
3634, 35sylbir 234 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (0[,]1))
3733, 36eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ≀ (1 / 2)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1))
3837ex 411 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0[,]1) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1)))
39 iffalse 4539 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = 1)
4039, 8eqeltrdi 2836 . . . . . 6 (Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1))
4138, 40pm2.61d1 180 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1))
4241adantl 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) ∈ (0[,]1))
43 eqidd 2728 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)))
447feqmptd 6970 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
45 fveq2 6900 . . . . 5 (𝑦 = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)))
46 fvif 6916 . . . . 5 (πΉβ€˜if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1))
4745, 46eqtrdi 2783 . . . 4 (𝑦 = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1)))
4842, 43, 44, 47fmptco 7142 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΉβ€˜1))))
4922, 31, 483eqtr4d 2777 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝑃) = (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))))
50 iitopon 24817 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
5150a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
5251cnmptid 23583 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn II))
53 0elunit 13484 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
5453a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 0 ∈ (0[,]1))
5551, 51, 54cnmptc 23584 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
56 eqid 2727 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
57 eqid 2727 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))
58 eqid 2727 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))
59 dfii2 24820 . . . . 5 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
60 0re 11252 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 0 ∈ ℝ)
62 1re 11250 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 1 ∈ ℝ)
64 halfre 12462 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
65 halfge0 12465 . . . . . . 7 0 ≀ (1 / 2)
66 halflt1 12466 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
6764, 62, 66ltleii 11373 . . . . . . 7 (1 / 2) ≀ 1
68 elicc01 13481 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≀ 1))
6964, 65, 67, 68mpbir3an 1338 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
7069a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (1 / 2) ∈ (0[,]1))
71 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ 𝑦 = (1 / 2))
7271oveq2d 7440 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· (1 / 2)))
73 2cn 12323 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
74 2ne0 12352 . . . . . . 7 2 β‰  0
7573, 74recidi 11981 . . . . . 6 (2 Β· (1 / 2)) = 1
7672, 75eqtrdi 2783 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = 1)
77 retopon 24698 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
78 iccssre 13444 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ)
7960, 64, 78mp2an 690 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ
80 resttopon 23083 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
8177, 79, 80mp2an 690 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2)))
8281a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
8382, 51cnmpt1st 23590 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))))
8457iihalf1cn 24871 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II)
8584a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II))
86 oveq2 7432 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑦))
8782, 51, 83, 82, 85, 86cnmpt21 23593 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 Β· 𝑦)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
88 iccssre 13444 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ)
8964, 62, 88mp2an 690 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ
90 resttopon 23083 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
9177, 89, 90mp2an 690 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1))
9291a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
938a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ 1 ∈ (0[,]1))
9492, 51, 51, 93cnmpt2c 23592 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
9556, 57, 58, 59, 61, 63, 70, 51, 76, 87, 94cnmpopc 24867 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (2 Β· 𝑦), 1)) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
96 breq1 5153 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (1 / 2) ↔ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
97 oveq2 7432 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· π‘₯))
9896, 97ifbieq1d 4554 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (2 Β· 𝑦), 1) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))
9998adantr 479 . . . 4 ((𝑦 = π‘₯ ∧ 𝑧 = 0) β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (2 Β· 𝑦), 1) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))
10051, 52, 55, 51, 51, 95, 99cnmpt12 23589 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)) ∈ (II Cn II))
101 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ = 0)
102101, 65eqbrtrdi 5189 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ ≀ (1 / 2))
103102, 32syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = (2 Β· π‘₯))
104 oveq2 7432 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 0))
105 2t0e0 12417 . . . . . . 7 (2 Β· 0) = 0
106104, 105eqtrdi 2783 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (2 Β· π‘₯) = 0)
107103, 106eqtrd 2767 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = 0)
108 eqid 2727 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))
109 c0ex 11244 . . . . 5 0 ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 7008 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))β€˜0) = 0)
11153, 110mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))β€˜0) = 0)
11264, 62ltnlei 11371 . . . . . . . 8 ((1 / 2) < 1 ↔ Β¬ 1 ≀ (1 / 2))
11366, 112mpbi 229 . . . . . . 7 Β¬ 1 ≀ (1 / 2)
114 breq1 5153 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 1 ≀ (1 / 2)))
115113, 114mtbiri 326 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))
116115, 39syl 17 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1) = 1)
117 1ex 11246 . . . . 5 1 ∈ V
118116, 108, 117fvmpt 7008 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))β€˜1) = 1)
1198, 118mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1))β€˜1) = 1)
12023, 100, 111, 119reparpht 24943 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (2 Β· π‘₯), 1)))( ≃phβ€˜π½)𝐹)
12149, 120eqbrtrd 5172 1 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝑃)( ≃phβ€˜π½)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3947  ifcif 4530  {csn 4630  βˆͺ cuni 4910   class class class wbr 5150   ↦ cmpt 5233   Γ— cxp 5678  ran crn 5681   ∘ ccom 5684  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   Β· cmul 11149   < clt 11284   ≀ cle 11285   βˆ’ cmin 11480   / cdiv 11907  2c2 12303  (,)cioo 13362  [,]cicc 13365   β†Ύt crest 17407  topGenctg 17424  Topctop 22813  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146  IIcii 24813   ≃phcphtpc 24913  *𝑝cpco 24945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-ii 24815  df-htpy 24914  df-phtpy 24915  df-phtpc 24936  df-pco 24950
This theorem is referenced by:  pcophtb  24974  pi1xfrcnvlem  25001
  Copyright terms: Public domain W3C validator