Theorem 0nelfz1 13486

Description: 0 is not an element of a finite interval of integers starting at 1. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfz1	⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Proof of Theorem 0nelfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11661	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		0re 11135	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnlei 11256	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
5	1, 4	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
6	5	intnanr 487	. . 3 ⊢ ¬ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)
7	6	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
8		df-nel 3035	. . 3 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
9		elfz2 13457	. . 3 ⊢ (0 ∈ (1...𝑁) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
10	8, 9	xchbinx 334	. 2 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
11	7, 10	mpbir 231	1 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3034   class class class wbr 5074  (class class class)co 7356  0cc0 11027  1c1 11028   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℤcz 12513  ...cfz 13450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-z 12514  df-fz 13451

This theorem is referenced by:  lcmflefac  16606  prmodvdslcmf  17007  prmolelcmf  17008  prmgaplcmlem2  17012  prmgaplcm  17020  f1resfz0f1d  35284