Theorem 0nelfz1 13570

Description: 0 is not an element of a finite interval of integers starting at 1. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfz1	⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Proof of Theorem 0nelfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11735	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		0re 11209	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11207	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnlei 11330	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
5	1, 4	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
6	5	intnanr 492	. . 3 ⊢ ¬ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)
7	6	intnan 491	. 2 ⊢ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
8		df-nel 3063	. . 3 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
9		elfz2 13541	. . 3 ⊢ (0 ∈ (1...𝑁) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
10	8, 9	xchbinx 337	. 2 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
11	7, 10	mpbir 234	1 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3062   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℤcz 12590  ...cfz 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-z 12591  df-fz 13535

This theorem is referenced by:  lcmflefac  16705  prmodvdslcmf  17106  prmolelcmf  17107  prmgaplcmlem2  17111  prmgaplcm  17119  f1resfz0f1d  35559