Theorem 0nelfz1 13286

Description: 0 is not an element of a finite interval of integers starting at 1. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfz1	⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Proof of Theorem 0nelfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11508	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		0re 10988	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 10986	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnlei 11107	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
5	1, 4	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
6	5	intnanr 488	. . 3 ⊢ ¬ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)
7	6	intnan 487	. 2 ⊢ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
8		df-nel 3052	. . 3 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
9		elfz2 13257	. . 3 ⊢ (0 ∈ (1...𝑁) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
10	8, 9	xchbinx 334	. 2 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
11	7, 10	mpbir 230	1 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3051   class class class wbr 5079  (class class class)co 7272  0cc0 10882  1c1 10883   < clt 11020   ≤ cle 11021  ℤcz 12330  ...cfz 13250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-z 12331  df-fz 13251

This theorem is referenced by:  lcmflefac  16364  prmodvdslcmf  16759  prmolelcmf  16760  prmgaplcmlem2  16764  prmgaplcm  16772  f1resfz0f1d  33081