MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nelfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nelfz1 12921
Description: 0 is not an element of a finite interval of integers starting at 1. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
0nelfz1 0 ∉ (1...𝑁)

Proof of Theorem 0nelfz1
StepHypRef Expression
1 0lt1 11151 . . . . 5 0 < 1
2 0re 10632 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 10630 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
42, 3ltnlei 10750 . . . . 5 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
51, 4mpbi 233 . . . 4 ¬ 1 ≤ 0
65intnanr 491 . . 3 ¬ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)
76intnan 490 . 2 ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
8 df-nel 3116 . . 3 (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
9 elfz2 12892 . . 3 (0 ∈ (1...𝑁) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
108, 9xchbinx 337 . 2 (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
117, 10mpbir 234 1 0 ∉ (1...𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 399  w3a 1084  wcel 2114  wnel 3115   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664  cle 10665  cz 11969  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-z 11970  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  lcmflefac  15981  prmodvdslcmf  16372  prmolelcmf  16373  prmgaplcmlem2  16377  prmgaplcm  16385  f1resfz0f1d  32435
  Copyright terms: Public domain W3C validator