Theorem 0nelfz1 13463

Description: 0 is not an element of a finite interval of integers starting at 1. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfz1	⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Proof of Theorem 0nelfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11663	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		0re 11138	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11136	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnlei 11258	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
5	1, 4	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
6	5	intnanr 487	. . 3 ⊢ ¬ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)
7	6	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
8		df-nel 3038	. . 3 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
9		elfz2 13434	. . 3 ⊢ (0 ∈ (1...𝑁) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
10	8, 9	xchbinx 334	. 2 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
11	7, 10	mpbir 231	1 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℤcz 12492  ...cfz 13427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-z 12493  df-fz 13428

This theorem is referenced by:  lcmflefac  16579  prmodvdslcmf  16979  prmolelcmf  16980  prmgaplcmlem2  16984  prmgaplcm  16992  f1resfz0f1d  35289