Theorem 0nelfz1 13275

Description: 0 is not an element of a finite interval of integers starting at 1. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfz1	⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Proof of Theorem 0nelfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11497	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		0re 10977	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 10975	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnlei 11096	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
5	1, 4	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
6	5	intnanr 488	. . 3 ⊢ ¬ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)
7	6	intnan 487	. 2 ⊢ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
8		df-nel 3050	. . 3 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
9		elfz2 13246	. . 3 ⊢ (0 ∈ (1...𝑁) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
10	8, 9	xchbinx 334	. 2 ⊢ (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
11	7, 10	mpbir 230	1 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3049   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-z 12320  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  lcmflefac  16353  prmodvdslcmf  16748  prmolelcmf  16749  prmgaplcmlem2  16753  prmgaplcm  16761  f1resfz0f1d  33072