Theorem nn0ge2m1nn 12537

Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge2m1nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1red 11211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3		2re 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5		nn0re 12477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9		1lt2 12379	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
10	8, 9	jctil 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
11		ltleletr 11303	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
12	7, 10, 11	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13		elnnnn0c 12513	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
14	1, 12, 13	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nn1m1nn 12229	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
17		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
18		1re 11210	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18, 3	ltnlei 11331	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20		pm2.21 123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
21	19, 20	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
22	9, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
23	17, 22	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
24	23	adantld 491	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
25		ax-1 6	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
26	24, 25	jaoi 855	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
27	16, 26	mpcom 38	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  1c1 11107   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  ℕ₀cn0 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  12538  wwlksm1edg  29124  clwlkclwwlklem2fv2  29238  clwlkclwwlk  29244  pfxlsw2ccat  32103  fmtnoprmfac1  46219  logbpw2m1  47206  blenpw2m1  47218  nnolog2flm1  47229