Theorem nn0ge2m1nn 11956

Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge2m1nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1red 10634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3		2re 11703	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5		nn0re 11898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	3jca 1123	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9		1lt2 11800	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
10	8, 9	jctil 522	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
11		ltleletr 10725	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
12	7, 10, 11	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13		elnnnn0c 11934	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
14	1, 12, 13	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nn1m1nn 11650	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
17		breq2 5061	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
18		1re 10633	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18, 3	ltnlei 10753	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20		pm2.21 123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
21	19, 20	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
22	9, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
23	17, 22	syl6bi 255	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
24	23	adantld 493	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
25		ax-1 6	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
26	24, 25	jaoi 853	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
27	16, 26	mpcom 38	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  1c1 10530   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11630  2c2 11684  ℕ₀cn0 11889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  11957  wwlksm1edg  27651  clwlkclwwlklem2fv2  27766  clwlkclwwlk  27772  pfxlsw2ccat  30619  fmtnoprmfac1  43717  logbpw2m1  44617  blenpw2m1  44629  nnolog2flm1  44640