MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ge2m1nn 12593
Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 1red 11265 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3 2re 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5 nn0re 12533 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
62, 4, 53jca 1125 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
76adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9 1lt2 12435 . . . . . 6 1 < 2
108, 9jctil 518 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
11 ltleletr 11357 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
127, 10, 11sylc 65 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13 elnnnn0c 12569 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
141, 12, 13sylanbrc 581 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 nn1m1nn 12285 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
17 breq2 5157 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
18 1re 11264 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1918, 3ltnlei 11385 . . . . . . 7 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20 pm2.21 123 . . . . . . 7 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2119, 20sylbi 216 . . . . . 6 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
229, 21ax-mp 5 . . . . 5 (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
2317, 22biimtrdi 252 . . . 4 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2423adantld 489 . . 3 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
25 ax-1 6 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2624, 25jaoi 855 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2716, 26mpcom 38 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cr 11157  1c1 11159   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  12594  wwlksm1edg  29815  clwlkclwwlklem2fv2  29929  clwlkclwwlk  29935  pfxlsw2ccat  32814  fmtnoprmfac1  47137  logbpw2m1  47955  blenpw2m1  47967  nnolog2flm1  47978
  Copyright terms: Public domain W3C validator