MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ge2m1nn 12569
Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 1red 11243 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3 2re 12314 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5 nn0re 12509 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
62, 4, 53jca 1125 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
76adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9 1lt2 12411 . . . . . 6 1 < 2
108, 9jctil 518 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
11 ltleletr 11335 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
127, 10, 11sylc 65 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13 elnnnn0c 12545 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
141, 12, 13sylanbrc 581 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 nn1m1nn 12261 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
17 breq2 5147 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
18 1re 11242 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1918, 3ltnlei 11363 . . . . . . 7 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20 pm2.21 123 . . . . . . 7 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2119, 20sylbi 216 . . . . . 6 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
229, 21ax-mp 5 . . . . 5 (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
2317, 22biimtrdi 252 . . . 4 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2423adantld 489 . . 3 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
25 ax-1 6 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2624, 25jaoi 855 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2716, 26mpcom 38 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cr 11135  1c1 11137   < clt 11276  cle 11277  cmin 11472  cn 12240  2c2 12295  0cn0 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  12570  wwlksm1edg  29734  clwlkclwwlklem2fv2  29848  clwlkclwwlk  29854  pfxlsw2ccat  32716  fmtnoprmfac1  46967  logbpw2m1  47751  blenpw2m1  47763  nnolog2flm1  47774
  Copyright terms: Public domain W3C validator