Theorem nn0ge2m1nn 12716

Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge2m1nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		1red 11348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3		2re 12457	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5		nn0re 12655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9		1lt2 12555	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
10	8, 9	jctil 529	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
11		ltleletr 11442	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
12	7, 10, 11	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13		elnnnn0c 12691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
14	1, 12, 13	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nn1m1nn 12396	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
17		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
18		1re 11347	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18, 3	ltnlei 11470	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20		pm2.21 124	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
21	19, 20	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
22	9, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
23	17, 22	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
24	23	adantld 496	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
25		ax-1 6	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
26	24, 25	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
27	16, 26	mpcom 39	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647

This theorem is used by:  nn0ge2m1nn0  12717  wwlksm1edg  30527  clwlkclwwlklem2fv2  30644  clwlkclwwlk  30650  pfxlsw2ccat  33609  fmtnoprmfac1  48923  logbpw2m1  50010  blenpw2m1  50022  nnolog2flm1  50033