Theorem lfgrnloop 29157

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloop	⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐼
2		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
4		nfrab1 3454	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
5	3, 4	nfcxfr 2901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
6	1, 2, 5	nff 6733	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐼:𝐴⟶𝐸
7		hashsn01 14452	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1)
8		2pos 12367	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
9		0re 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		2re 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	9, 10	ltnlei 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
12	8, 11	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
13		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
14	12, 13	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
15		1lt2 12435	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
16		1re 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	16, 10	ltnlei 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
18	15, 17	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
19		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
20	18, 19	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
21	14, 20	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
22	7, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈})
23		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (♯‘(𝐼‘𝑥)) = (♯‘{𝑈}))
24	23	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘𝑥)) ↔ 2 ≤ (♯‘{𝑈})))
25	22, 24	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘𝑥)))
26		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
28	26, 27, 3	lfgredgge2 29156	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘𝑥)))
29	25, 28	nsyl3 138	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
31	6, 30	ralrimi 3255	. 2 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
32		rabeq0 4394	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
33	31, 32	sylibr 234	1 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   ≤ cle 11294  2c2 12319  ♯chash 14366  iEdgciedg 29029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  29518