MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrnloop 26613
Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgrnloopv.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfgrnloop (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop
StepHypRef Expression
1 nfcv 2933 . . . 4 𝑥𝐼
2 nfcv 2933 . . . 4 𝑥𝐴
3 lfuhgrnloopv.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
4 nfrab1 3325 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
53, 4nfcxfr 2931 . . . 4 𝑥𝐸
61, 2, 5nff 6340 . . 3 𝑥 𝐼:𝐴𝐸
7 hashsn01 13590 . . . . . . 7 ((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1)
8 2pos 11550 . . . . . . . . . 10 0 < 2
9 0re 10441 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 2re 11514 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
119, 10ltnlei 10561 . . . . . . . . . 10 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
128, 11mpbi 222 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 0
13 breq2 4933 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
1412, 13mtbiri 319 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
15 1lt2 11618 . . . . . . . . . 10 1 < 2
16 1re 10439 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1716, 10ltnlei 10561 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
1815, 17mpbi 222 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 1
19 breq2 4933 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
2018, 19mtbiri 319 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
2114, 20jaoi 843 . . . . . . 7 (((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
227, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈})
23 fveq2 6499 . . . . . . 7 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (♯‘(𝐼𝑥)) = (♯‘{𝑈}))
2423breq2d 4941 . . . . . 6 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)) ↔ 2 ≤ (♯‘{𝑈})))
2522, 24mtbiri 319 . . . . 5 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)))
26 lfuhgrnloopv.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27 lfuhgrnloopv.a . . . . . 6 𝐴 = dom 𝐼
2826, 27, 3lfgredgge2 26612 . . . . 5 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → 2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)))
2925, 28nsyl3 136 . . . 4 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3029ex 405 . . 3 (𝐼:𝐴𝐸 → (𝑥𝐴 → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈}))
316, 30ralrimi 3167 . 2 (𝐼:𝐴𝐸 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
32 rabeq0 4225 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3331, 32sylibr 226 1 (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3089  {crab 3093  c0 4179  𝒫 cpw 4422  {csn 4441   class class class wbr 4929  dom cdm 5407  wf 6184  cfv 6188  0cc0 10335  1c1 10336   < clt 10474  cle 10475  2c2 11495  chash 13505  iEdgciedg 26485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-hash 13506
This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  26970
  Copyright terms: Public domain W3C validator