MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrnloop 28118
Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgrnloopv.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfgrnloop (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . 4 𝑥𝐼
2 nfcv 2904 . . . 4 𝑥𝐴
3 lfuhgrnloopv.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
4 nfrab1 3425 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
53, 4nfcxfr 2902 . . . 4 𝑥𝐸
61, 2, 5nff 6665 . . 3 𝑥 𝐼:𝐴𝐸
7 hashsn01 14322 . . . . . . 7 ((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1)
8 2pos 12261 . . . . . . . . . 10 0 < 2
9 0re 11162 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 2re 12232 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
119, 10ltnlei 11281 . . . . . . . . . 10 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
128, 11mpbi 229 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 0
13 breq2 5110 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
1412, 13mtbiri 327 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
15 1lt2 12329 . . . . . . . . . 10 1 < 2
16 1re 11160 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1716, 10ltnlei 11281 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
1815, 17mpbi 229 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 1
19 breq2 5110 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
2018, 19mtbiri 327 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
2114, 20jaoi 856 . . . . . . 7 (((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
227, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈})
23 fveq2 6843 . . . . . . 7 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (♯‘(𝐼𝑥)) = (♯‘{𝑈}))
2423breq2d 5118 . . . . . 6 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)) ↔ 2 ≤ (♯‘{𝑈})))
2522, 24mtbiri 327 . . . . 5 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)))
26 lfuhgrnloopv.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27 lfuhgrnloopv.a . . . . . 6 𝐴 = dom 𝐼
2826, 27, 3lfgredgge2 28117 . . . . 5 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → 2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)))
2925, 28nsyl3 138 . . . 4 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3029ex 414 . . 3 (𝐼:𝐴𝐸 → (𝑥𝐴 → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈}))
316, 30ralrimi 3239 . 2 (𝐼:𝐴𝐸 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
32 rabeq0 4345 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3331, 32sylibr 233 1 (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  {crab 3406  c0 4283  𝒫 cpw 4561  {csn 4587   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  wf 6493  cfv 6497  0cc0 11056  1c1 11057   < clt 11194  cle 11195  2c2 12213  chash 14236  iEdgciedg 27990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  28475
  Copyright terms: Public domain W3C validator