Theorem lfgrnloop 27784

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloop	⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2904	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐼
2		nfcv 2904	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
4		nfrab1 3422	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
5	3, 4	nfcxfr 2902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
6	1, 2, 5	nff 6647	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐼:𝐴⟶𝐸
7		hashsn01 14231	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1)
8		2pos 12177	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
9		0re 11078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		2re 12148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	9, 10	ltnlei 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
12	8, 11	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
13		breq2 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
14	12, 13	mtbiri 326	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
15		1lt2 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
16		1re 11076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	16, 10	ltnlei 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
18	15, 17	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
19		breq2 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
20	18, 19	mtbiri 326	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
21	14, 20	jaoi 854	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
22	7, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈})
23		fveq2 6825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (♯‘(𝐼‘𝑥)) = (♯‘{𝑈}))
24	23	breq2d 5104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘𝑥)) ↔ 2 ≤ (♯‘{𝑈})))
25	22, 24	mtbiri 326	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘𝑥)))
26		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
28	26, 27, 3	lfgredgge2 27783	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘𝑥)))
29	25, 28	nsyl3 138	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
30	29	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
31	6, 30	ralrimi 3236	. 2 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
32		rabeq0 4331	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
33	31, 32	sylibr 233	1 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  {crab 3403  ∅c0 4269  𝒫 cpw 4547  {csn 4573   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  0cc0 10972  1c1 10973   < clt 11110   ≤ cle 11111  2c2 12129  ♯chash 14145  iEdgciedg 27656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-hash 14146

This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  28141