MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrnloop 28982
Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgrnloopv.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfgrnloop (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop
StepHypRef Expression
1 nfcv 2892 . . . 4 𝑥𝐼
2 nfcv 2892 . . . 4 𝑥𝐴
3 lfuhgrnloopv.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
4 nfrab1 3439 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
53, 4nfcxfr 2890 . . . 4 𝑥𝐸
61, 2, 5nff 6713 . . 3 𝑥 𝐼:𝐴𝐸
7 hashsn01 14407 . . . . . . 7 ((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1)
8 2pos 12345 . . . . . . . . . 10 0 < 2
9 0re 11246 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 2re 12316 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
119, 10ltnlei 11365 . . . . . . . . . 10 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
128, 11mpbi 229 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 0
13 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
1412, 13mtbiri 326 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
15 1lt2 12413 . . . . . . . . . 10 1 < 2
16 1re 11244 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1716, 10ltnlei 11365 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
1815, 17mpbi 229 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 1
19 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
2018, 19mtbiri 326 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
2114, 20jaoi 855 . . . . . . 7 (((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
227, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈})
23 fveq2 6892 . . . . . . 7 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (♯‘(𝐼𝑥)) = (♯‘{𝑈}))
2423breq2d 5155 . . . . . 6 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)) ↔ 2 ≤ (♯‘{𝑈})))
2522, 24mtbiri 326 . . . . 5 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)))
26 lfuhgrnloopv.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27 lfuhgrnloopv.a . . . . . 6 𝐴 = dom 𝐼
2826, 27, 3lfgredgge2 28981 . . . . 5 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → 2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)))
2925, 28nsyl3 138 . . . 4 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3029ex 411 . . 3 (𝐼:𝐴𝐸 → (𝑥𝐴 → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈}))
316, 30ralrimi 3245 . 2 (𝐼:𝐴𝐸 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
32 rabeq0 4380 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3331, 32sylibr 233 1 (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  {crab 3419  c0 4318  𝒫 cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  wf 6539  cfv 6543  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278  cle 11279  2c2 12297  chash 14321  iEdgciedg 28854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322
This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  29343
  Copyright terms: Public domain W3C validator