Theorem lfgrnloop 29070

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloop	⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐼
2		nfcv 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
4		nfrab1 3440	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
5	3, 4	nfcxfr 2895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
6	1, 2, 5	nff 6712	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐼:𝐴⟶𝐸
7		hashsn01 14437	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1)
8		2pos 12351	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
9		0re 11245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		2re 12322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	9, 10	ltnlei 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
12	8, 11	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
13		breq2 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
14	12, 13	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
15		1lt2 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
16		1re 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	16, 10	ltnlei 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
18	15, 17	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
19		breq2 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
20	18, 19	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
21	14, 20	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
22	7, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈})
23		fveq2 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (♯‘(𝐼‘𝑥)) = (♯‘{𝑈}))
24	23	breq2d 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘𝑥)) ↔ 2 ≤ (♯‘{𝑈})))
25	22, 24	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘𝑥)))
26		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
28	26, 27, 3	lfgredgge2 29069	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘𝑥)))
29	25, 28	nsyl3 138	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
31	6, 30	ralrimi 3243	. 2 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
32		rabeq0 4368	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
33	31, 32	sylibr 234	1 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  {crab 3419  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {csn 4606   class class class wbr 5123  dom cdm 5665  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  0cc0 11137  1c1 11138   < clt 11277   ≤ cle 11278  2c2 12303  ♯chash 14351  iEdgciedg 28942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-hash 14352

This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  29431