MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrnloop 29061
Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgrnloopv.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfgrnloop (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop
StepHypRef Expression
1 nfcv 2892 . . . 4 𝑥𝐼
2 nfcv 2892 . . . 4 𝑥𝐴
3 lfuhgrnloopv.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
4 nfrab1 3439 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
53, 4nfcxfr 2890 . . . 4 𝑥𝐸
61, 2, 5nff 6724 . . 3 𝑥 𝐼:𝐴𝐸
7 hashsn01 14433 . . . . . . 7 ((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1)
8 2pos 12367 . . . . . . . . . 10 0 < 2
9 0re 11266 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 2re 12338 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
119, 10ltnlei 11385 . . . . . . . . . 10 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
128, 11mpbi 229 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 0
13 breq2 5157 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
1412, 13mtbiri 326 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
15 1lt2 12435 . . . . . . . . . 10 1 < 2
16 1re 11264 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1716, 10ltnlei 11385 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
1815, 17mpbi 229 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 1
19 breq2 5157 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (♯‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
2018, 19mtbiri 326 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
2114, 20jaoi 855 . . . . . . 7 (((♯‘{𝑈}) = 0 ∨ (♯‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈}))
227, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 2 ≤ (♯‘{𝑈})
23 fveq2 6901 . . . . . . 7 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (♯‘(𝐼𝑥)) = (♯‘{𝑈}))
2423breq2d 5165 . . . . . 6 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)) ↔ 2 ≤ (♯‘{𝑈})))
2522, 24mtbiri 326 . . . . 5 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)))
26 lfuhgrnloopv.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27 lfuhgrnloopv.a . . . . . 6 𝐴 = dom 𝐼
2826, 27, 3lfgredgge2 29060 . . . . 5 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → 2 ≤ (♯‘(𝐼𝑥)))
2925, 28nsyl3 138 . . . 4 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3029ex 411 . . 3 (𝐼:𝐴𝐸 → (𝑥𝐴 → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈}))
316, 30ralrimi 3245 . 2 (𝐼:𝐴𝐸 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
32 rabeq0 4389 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3331, 32sylibr 233 1 (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  c0 4325  𝒫 cpw 4607  {csn 4633   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  wf 6550  cfv 6554  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298  cle 11299  2c2 12319  chash 14347  iEdgciedg 28933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348
This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  29422
  Copyright terms: Public domain W3C validator