Theorem mapdom3 9148

Description: Set exponentiation dominates the base. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4300	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
2		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	2, 3	mapsnend 9044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≈ 𝐴)
5	4	ensymd 9012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 ↑m {𝑥}))
6		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
7	3	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
8		ssdomg 9007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝑥} ⊆ 𝐵 → {𝑥} ≼ 𝐵))
9	6, 7, 8	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ≼ 𝐵)
10		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	snnz 4737	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
12		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → {𝑥} = ∅)
13	12	necon3ai 2980	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ≠ ∅ → ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
15		mapdom2 9147	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ≼ 𝐵 ∧ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
16	9, 14, 15	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
17		endomtr 9019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 ↑m {𝑥}) ∧ (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
18	5, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
19	18	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
20	19	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
21	1, 20	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
22	21	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827   ≈ cen 8950   ≼ cdom 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955

This theorem is used by:  infmap2  10220