Theorem mapdom3 9151

Description: Set exponentiation dominates the base. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4346	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
2		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	2, 3	mapsnend 9038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≈ 𝐴)
5	4	ensymd 9003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 ↑m {𝑥}))
6		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
7	3	snssd 4812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
8		ssdomg 8998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝑥} ⊆ 𝐵 → {𝑥} ≼ 𝐵))
9	6, 7, 8	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ≼ 𝐵)
10		vex 3478	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	snnz 4780	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
12		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → {𝑥} = ∅)
13	12	necon3ai 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ≠ ∅ → ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
15		mapdom2 9150	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ≼ 𝐵 ∧ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
16	9, 14, 15	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
17		endomtr 9010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 ↑m {𝑥}) ∧ (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
18	5, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
19	18	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
20	19	exlimdv 1936	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
21	1, 20	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
22	21	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943

This theorem is referenced by:  infmap2  10215