Theorem mapdom3 9188

Description: Set exponentiation dominates the base. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4359	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
2		simp1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	2, 3	mapsnend 9075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≈ 𝐴)
5	4	ensymd 9044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 ↑m {𝑥}))
6		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
7	3	snssd 4814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
8		ssdomg 9039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝑥} ⊆ 𝐵 → {𝑥} ≼ 𝐵))
9	6, 7, 8	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ≼ 𝐵)
10		vex 3482	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	snnz 4781	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
12		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → {𝑥} = ∅)
13	12	necon3ai 2963	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ≠ ∅ → ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
15		mapdom2 9187	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ≼ 𝐵 ∧ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
16	9, 14, 15	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
17		endomtr 9051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 ↑m {𝑥}) ∧ (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
18	5, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
19	18	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
20	19	exlimdv 1931	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
21	1, 20	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
22	21	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986

This theorem is referenced by:  infmap2  10255