Theorem mapdom3 9179

Description: Set exponentiation dominates the base. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4302	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
2		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	2, 3	mapsnend 9075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≈ 𝐴)
5	4	ensymd 9043	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 ↑m {𝑥}))
6		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
7	3	snssd 4746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
8		ssdomg 9038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝑥} ⊆ 𝐵 → {𝑥} ≼ 𝐵))
9	6, 7, 8	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ≼ 𝐵)
10		vex 3457	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	snnz 4736	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
12		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → {𝑥} = ∅)
13	12	necon3ai 2983	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ≠ ∅ → ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
15		mapdom2 9178	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ≼ 𝐵 ∧ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
16	9, 14, 15	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
17		endomtr 9050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 ↑m {𝑥}) ∧ (𝐴 ↑m {𝑥}) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
18	5, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
19	18	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
20	19	exlimdv 1967	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
21	1, 20	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)))
22	21	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  {csn 4587   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986

This theorem is used by:  infmap2  10305