Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom3 8711
 Description: Set exponentiation dominates the mantissa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
mapdom3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4245 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵)
2 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴𝑉)
3 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
42, 3mapsnend 8607 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴m {𝑥}) ≈ 𝐴)
54ensymd 8578 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴m {𝑥}))
6 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐵𝑊)
73snssd 4699 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
8 ssdomg 8573 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → ({𝑥} ⊆ 𝐵 → {𝑥} ≼ 𝐵))
96, 7, 8sylc 65 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → {𝑥} ≼ 𝐵)
10 vex 3413 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1110snnz 4669 . . . . . . . 8 {𝑥} ≠ ∅
12 simpl 486 . . . . . . . . 9 (({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → {𝑥} = ∅)
1312necon3ai 2976 . . . . . . . 8 ({𝑥} ≠ ∅ → ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
1411, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
15 mapdom2 8710 . . . . . . 7 (({𝑥} ≼ 𝐵 ∧ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴m {𝑥}) ≼ (𝐴m 𝐵))
169, 14, 15sylancl 589 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴m {𝑥}) ≼ (𝐴m 𝐵))
17 endomtr 8585 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ (𝐴m {𝑥}) ∧ (𝐴m {𝑥}) ≼ (𝐴m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴m 𝐵))
185, 16, 17syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴m 𝐵))
19183expia 1118 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴m 𝐵)))
2019exlimdv 1934 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴m 𝐵)))
211, 20syl5bi 245 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴m 𝐵)))
22213impia 1114 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴m 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  {csn 4522   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8416   ≈ cen 8524   ≼ cdom 8525 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529 This theorem is referenced by:  infmap2  9678
 Copyright terms: Public domain W3C validator