Theorem pwen 9082

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8892	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5677	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		pw2eng 9015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
5		2onn 8572	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
6	5	elexi 3455	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
7	6	enref 8926	. . . 4 ⊢ 2o ≈ 2o
8		mapen 9073	. . . 4 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
9	7, 8	mpan 697	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
10	1	brrelex2i 5678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
11		pw2eng 9015	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
12		ensym 8944	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14		entr 8947	. . 3 ⊢ (((2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
15	9, 13, 14	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16		entr 8947	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
17	4, 15, 16	syl2anc 591	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  𝒫 cpw 4532   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ωcom 7810  2_oc2o 8393   ↑_m cmap 8767   ≈ cen 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888

This theorem is referenced by:  dfac12k  10065  pwdjuidm  10109  pwsdompw  10120  ackbij2lem2  10156  engch  10546  gchdomtri  10547  canthp1lem1  10570  gchdjuidm  10586  gchxpidm  10587  gchpwdom  10588  gchhar  10597  inar1  10693  rexpen  16190  enrelmap  44456  enrelmapr  44457