Theorem pwen 8478

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8303	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5451	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		pw2eng 8411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑𝑚 𝐴))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑𝑚 𝐴))
5		2onn 8059	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
6	5	elexi 3428	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
7	6	enref 8331	. . . 4 ⊢ 2o ≈ 2o
8		mapen 8469	. . . 4 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (2o ↑𝑚 𝐵))
9	7, 8	mpan 677	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (2o ↑𝑚 𝐵))
10	1	brrelex2i 5452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
11		pw2eng 8411	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑𝑚 𝐵))
12		ensym 8347	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑𝑚 𝐵) → (2o ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14		entr 8350	. . 3 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (2o ↑𝑚 𝐵) ∧ (2o ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
15	9, 13, 14	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16		entr 8350	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑𝑚 𝐴) ∧ (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
17	4, 15, 16	syl2anc 576	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2048  Vcvv 3409  𝒫 cpw 4416   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  ωcom 7390  2_oc2o 7891   ↑_𝑚 cmap 8198   ≈ cen 8295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-1o 7897  df-2o 7898  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299

This theorem is referenced by:  pwfi  8606  dfac12k  9359  pwdjuidm  9407  pwsdompw  9416  ackbij2lem2  9452  engch  9840  gchdomtri  9841  canthp1lem1  9864  gchdjuidm  9880  gchxpidm  9881  gchpwdom  9882  gchhar  9891  inar1  9987  rexpen  15431  enrelmap  39651  enrelmapr  39652