Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwen 8676
 Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwen (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen
StepHypRef Expression
1 relen 8499 . . . 4 Rel ≈
21brrelex1i 5572 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 pw2eng 8608 . . 3 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
5 2onn 8251 . . . . . 6 2o ∈ ω
65elexi 3460 . . . . 5 2o ∈ V
76enref 8527 . . . 4 2o ≈ 2o
8 mapen 8667 . . . 4 ((2o ≈ 2o𝐴𝐵) → (2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵))
97, 8mpan 689 . . 3 (𝐴𝐵 → (2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵))
101brrelex2i 5573 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
11 pw2eng 8608 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
12 ensym 8543 . . . 4 (𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
1310, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐴𝐵 → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14 entr 8546 . . 3 (((2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
159, 13, 14syl2anc 587 . 2 (𝐴𝐵 → (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16 entr 8546 . 2 ((𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴) ∧ (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
174, 15, 16syl2anc 587 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ωcom 7562  2oc2o 8081   ↑m cmap 8391   ≈ cen 8491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-1o 8087  df-2o 8088  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495 This theorem is referenced by:  pwfi  8805  dfac12k  9560  pwdjuidm  9604  pwsdompw  9617  ackbij2lem2  9653  engch  10041  gchdomtri  10042  canthp1lem1  10065  gchdjuidm  10081  gchxpidm  10082  gchpwdom  10083  gchhar  10092  inar1  10188  rexpen  15575  enrelmap  40713  enrelmapr  40714
 Copyright terms: Public domain W3C validator