Theorem pwen 9082

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8892	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5681	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		pw2eng 9015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
5		2onn 8572	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
6	5	elexi 3453	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
7	6	enref 8926	. . . 4 ⊢ 2o ≈ 2o
8		mapen 9073	. . . 4 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
9	7, 8	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
10	1	brrelex2i 5682	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
11		pw2eng 9015	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
12		ensym 8944	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14		entr 8947	. . 3 ⊢ (((2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
15	9, 13, 14	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16		entr 8947	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
17	4, 15, 16	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ωcom 7811  2_oc2o 8393   ↑_m cmap 8767   ≈ cen 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888

This theorem is referenced by:  dfac12k  10064  pwdjuidm  10108  pwsdompw  10119  ackbij2lem2  10155  engch  10545  gchdomtri  10546  canthp1lem1  10569  gchdjuidm  10585  gchxpidm  10586  gchpwdom  10587  gchhar  10596  inar1  10692  rexpen  16189  enrelmap  44445  enrelmapr  44446