MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwen 8289
Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwen (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen
StepHypRef Expression
1 relen 8114 . . . 4 Rel ≈
21brrelexi 5298 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 pw2eng 8222 . . 3 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))
5 2onn 7874 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
65elexi 3365 . . . . 5 2𝑜 ∈ V
76enref 8142 . . . 4 2𝑜 ≈ 2𝑜
8 mapen 8280 . . . 4 ((2𝑜 ≈ 2𝑜𝐴𝐵) → (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
97, 8mpan 670 . . 3 (𝐴𝐵 → (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
101brrelex2i 5299 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
11 pw2eng 8222 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
12 ensym 8158 . . . 4 (𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵) → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
1310, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐴𝐵 → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14 entr 8161 . . 3 (((2𝑜𝑚 𝐴) ≈ (2𝑜𝑚 𝐵) ∧ (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
159, 13, 14syl2anc 573 . 2 (𝐴𝐵 → (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16 entr 8161 . 2 ((𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
174, 15, 16syl2anc 573 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  ωcom 7212  2𝑜c2o 7707  𝑚 cmap 8009  cen 8106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110
This theorem is referenced by:  pwfi  8417  dfac12k  9171  pwcdaidm  9219  pwsdompw  9228  ackbij2lem2  9264  engch  9652  gchdomtri  9653  canthp1lem1  9676  gchcdaidm  9692  gchxpidm  9693  gchpwdom  9694  gchhar  9703  inar1  9799  rexpen  15163  enrelmap  38817  enrelmapr  38818
  Copyright terms: Public domain W3C validator