Theorem pwen 9090

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8900	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5688	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		pw2eng 9023	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
5		2onn 8580	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
6	5	elexi 3465	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
7	6	enref 8934	. . . 4 ⊢ 2o ≈ 2o
8		mapen 9081	. . . 4 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
9	7, 8	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
10	1	brrelex2i 5689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
11		pw2eng 9023	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
12		ensym 8952	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14		entr 8955	. . 3 ⊢ (((2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
15	9, 13, 14	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16		entr 8955	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
17	4, 15, 16	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ωcom 7818  2_oc2o 8401   ↑_m cmap 8775   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896

This theorem is referenced by:  dfac12k  10070  pwdjuidm  10114  pwsdompw  10125  ackbij2lem2  10161  engch  10551  gchdomtri  10552  canthp1lem1  10575  gchdjuidm  10591  gchxpidm  10592  gchpwdom  10593  gchhar  10602  inar1  10698  rexpen  16165  enrelmap  44353  enrelmapr  44354