MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwen 9150
Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwen (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen
StepHypRef Expression
1 relen 8944 . . . 4 Rel ≈
21brrelex1i 5733 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 pw2eng 9078 . . 3 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
5 2onn 8641 . . . . . 6 2o ∈ ω
65elexi 3494 . . . . 5 2o ∈ V
76enref 8981 . . . 4 2o ≈ 2o
8 mapen 9141 . . . 4 ((2o ≈ 2o𝐴𝐵) → (2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵))
97, 8mpan 689 . . 3 (𝐴𝐵 → (2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵))
101brrelex2i 5734 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
11 pw2eng 9078 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
12 ensym 8999 . . . 4 (𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
1310, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐴𝐵 → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14 entr 9002 . . 3 (((2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
159, 13, 14syl2anc 585 . 2 (𝐴𝐵 → (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16 entr 9002 . 2 ((𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴) ∧ (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
174, 15, 16syl2anc 585 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3475  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ωcom 7855  2oc2o 8460  m cmap 8820  cen 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940
This theorem is referenced by:  pwfiOLD  9347  dfac12k  10142  pwdjuidm  10186  pwsdompw  10199  ackbij2lem2  10235  engch  10623  gchdomtri  10624  canthp1lem1  10647  gchdjuidm  10663  gchxpidm  10664  gchpwdom  10665  gchhar  10674  inar1  10770  rexpen  16171  enrelmap  42748  enrelmapr  42749
  Copyright terms: Public domain W3C validator