Theorem pwen 9063

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8874	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5670	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		pw2eng 8996	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
5		2onn 8557	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
6	5	elexi 3459	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
7	6	enref 8907	. . . 4 ⊢ 2o ≈ 2o
8		mapen 9054	. . . 4 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
9	7, 8	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
10	1	brrelex2i 5671	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
11		pw2eng 8996	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
12		ensym 8925	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14		entr 8928	. . 3 ⊢ (((2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
15	9, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16		entr 8928	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
17	4, 15, 16	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ωcom 7796  2_oc2o 8379   ↑_m cmap 8750   ≈ cen 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870

This theorem is referenced by:  dfac12k  10039  pwdjuidm  10083  pwsdompw  10094  ackbij2lem2  10130  engch  10519  gchdomtri  10520  canthp1lem1  10543  gchdjuidm  10559  gchxpidm  10560  gchpwdom  10561  gchhar  10570  inar1  10666  rexpen  16137  enrelmap  44100  enrelmapr  44101