MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwen 9097
Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwen (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen
StepHypRef Expression
1 relen 8891 . . . 4 Rel ≈
21brrelex1i 5689 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 pw2eng 9025 . . 3 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
5 2onn 8589 . . . . . 6 2o ∈ ω
65elexi 3463 . . . . 5 2o ∈ V
76enref 8928 . . . 4 2o ≈ 2o
8 mapen 9088 . . . 4 ((2o ≈ 2o𝐴𝐵) → (2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵))
97, 8mpan 689 . . 3 (𝐴𝐵 → (2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵))
101brrelex2i 5690 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
11 pw2eng 9025 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
12 ensym 8946 . . . 4 (𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
1310, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐴𝐵 → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14 entr 8949 . . 3 (((2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
159, 13, 14syl2anc 585 . 2 (𝐴𝐵 → (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16 entr 8949 . 2 ((𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴) ∧ (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
174, 15, 16syl2anc 585 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3444  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  ωcom 7803  2oc2o 8407  m cmap 8768  cen 8883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887
This theorem is referenced by:  pwfiOLD  9294  dfac12k  10088  pwdjuidm  10132  pwsdompw  10145  ackbij2lem2  10181  engch  10569  gchdomtri  10570  canthp1lem1  10593  gchdjuidm  10609  gchxpidm  10610  gchpwdom  10611  gchhar  10620  inar1  10716  rexpen  16115  enrelmap  42357  enrelmapr  42358
  Copyright terms: Public domain W3C validator