Theorem pwen 8937

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8738	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5643	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		pw2eng 8865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
5		2onn 8472	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
6	5	elexi 3451	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
7	6	enref 8773	. . . 4 ⊢ 2o ≈ 2o
8		mapen 8928	. . . 4 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
9	7, 8	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵))
10	1	brrelex2i 5644	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
11		pw2eng 8865	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
12		ensym 8789	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14		entr 8792	. . 3 ⊢ (((2o ↑m 𝐴) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
15	9, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16		entr 8792	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ (2o ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
17	4, 15, 16	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ωcom 7712  2_oc2o 8291   ↑_m cmap 8615   ≈ cen 8730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734

This theorem is referenced by:  pwfiOLD  9114  dfac12k  9903  pwdjuidm  9947  pwsdompw  9960  ackbij2lem2  9996  engch  10384  gchdomtri  10385  canthp1lem1  10408  gchdjuidm  10424  gchxpidm  10425  gchpwdom  10426  gchhar  10435  inar1  10531  rexpen  15937  enrelmap  41605  enrelmapr  41606